多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用課件

1、高 等 數(shù) 學 （二）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學教學部張靜華高等數(shù)學（二）第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章 二重積分第十章 三重積分第十一章 曲線積分第十二章 無窮級數(shù)第十一章 曲面積分目錄第一節(jié) 多元函數(shù)基本的概念第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 全微分第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法區(qū)域通常可用含有點的坐標 的一、多元函數(shù)的概念第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 平面區(qū)域所謂平面區(qū)域，通常是指平面上的一條或幾條曲線所圍成的連成圍成區(qū)域的曲線（或點）稱為區(qū)域的邊界。包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域；一片的圖形。所分邊界的區(qū)域稱為半開

2、區(qū)域。在平面上建立了直角坐標系后，一個或幾個不等式來表示。xyo開區(qū)域（開圓）例如：不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；只包含部xyo閉區(qū)域（閉圓）xyo開區(qū)域例1對于區(qū)域 D，如果存在一個中心在原點，半徑足夠大的圓使 D 全部包含在這圓內(nèi)，則稱 D 為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)xyo半開區(qū)域例2域。 鄰域設(shè)是 xOy 平面上的一點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點所成的集合，稱為點的鄰域，記作在幾何上，是 xOy 平面上以點為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點所成的集合。x0yx0y 二元函數(shù)的概念定義：設(shè) D 是 x O y 面上的一個點集，對任意的點，變量 z 按照某個對應(yīng)關(guān)系 f 總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，

3、則稱 z 是 x，y 的二元函數(shù)，記為稱 x ，y 為自變量，z 為因變量，點集 D 稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。函數(shù)在點處的函數(shù)值，記為， 二元函數(shù)定義域的求法二元函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系。對由解析式給出的函數(shù)，它的定義域是使函數(shù)表達式有意義的點的全體，可用不等式或不等式組表示；對應(yīng)用問題中的函數(shù)，則要根據(jù)自變量的具體意義來確定它的范圍。例1：求下列函數(shù)的定義域并用圖形表示 解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有，即故所求函數(shù)的定義域是xyo2例1（1） 解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有xyo1212例1（2），即 解：定義域為xyo例1（3）例2： 二元函數(shù)，則；

4、若，則.例3：設(shè)，求解：這是一個求函數(shù)表達式的題目，一個常用的方法是對 f中的表達式作變量替換。令，則從而，所以例4：設(shè)，求解：首先應(yīng) 求出函 數(shù) 表 達 式求 函 數(shù) 表 達 的另一個常用的方法 是 將等 號 右 邊的表 達 式 用 f 中的 表 達 式來表示。則 二元函數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)的定義域為 D，對，空間中的點構(gòu)成的圖形，一般是一張曲面（如下圖），稱為函數(shù)的圖象。xyz0 xyMD二、二元函數(shù)的極限定義：在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域內(nèi)的任意一點，沿任意路徑無限趨近于點時，無限地趨近于一個確定的常數(shù) A ，時，函數(shù)以 A 為極限，記為或注意： 定義中的點時，是指點 P 可以

5、沿任何方向、任何途徑無限地趨近于，而一元函數(shù)極限中的是指 x 沿 x 軸無限趨近于； 如果點 P 只取 某 些 特殊方式 ，函數(shù) 值逼 近 某 一 確定值，并不能斷定函數(shù)的極限一定存在；而當點 P 沿不同方式趨于點時，函數(shù)值逼近不同的值，則極限不存在。設(shè)函數(shù)如果當點相應(yīng)的函數(shù)值則稱當例5：討論二元函數(shù)當時的極限。解：由于例5練習：問 是否存在？練習解：因為所以 不存在。念和定理，都可以直接類推到二元函數(shù)，這里不作詳細的有關(guān)一元函數(shù)極限的運算法則和定理以及無窮小的概敘述，僅在后面舉例說明。說明三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點連續(xù)。如果二元函數(shù)在區(qū)域 D

6、 上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在 D 上連續(xù)。區(qū)域 D 上連續(xù)的二元函數(shù)的圖象是一張不間斷、無裂縫的曲面。二元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則該函數(shù)在 D 上一定能取到最大值和最小值。由常數(shù)、x 或 y 的基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復(fù)合且能用一個式子表達的函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。二元初等函數(shù)在它的定義區(qū)域內(nèi)的每一點都連續(xù)。四、求二元函數(shù)極限的常用方法：例6 利用二元初等函數(shù)的連續(xù)性例6：求解：函數(shù) 是初等函數(shù)，它的定義域是 R2，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在點 處連續(xù)，因此 通過變量替換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限例7：求原式例8：求解：解：，原式

7、例7、8例9：求解：原式例9 若事先已肯定在點 P0 處極限存在，則可使P 沿一殊途徑趨于 P0 而求出其極限。例10：（A）e （B）0 （C）y （D）1解：原式例10第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算 偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，得到一個一元函數(shù). 若自變量 x 有增量，相應(yīng)地函數(shù) z 有關(guān)于 x 的增量（稱為偏增量）如果存在，在點處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，或等四式中的某一式。固定則稱此極限值為函數(shù)記作偏導(dǎo)數(shù)的定義同理，函數(shù)在點處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作或偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)1）如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這樣的偏導(dǎo)數(shù)是 x、y 的函數(shù)，稱為函數(shù)對自

8、變量 x 的偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)），記作或類似地可以定義函數(shù)對自變量 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作或顯然，偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)2）例1：設(shè) 求例1解：練習（2011專插本）設(shè) 則練習A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2解： 偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法。對二元函數(shù)的某一個自變量（如 x ）求偏導(dǎo)數(shù)時，只要把另一個自變量（ 如 y ）看作常數(shù) ，而對該自變量 x 用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求得結(jié)果。偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法可以推廣到二元以上的多元函數(shù)。例2：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為所以例2例3：設(shè)，求分析：求函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)，可先求出偏導(dǎo)函數(shù)，然后將該點的坐標代入，即

9、求出偏導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值。數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)定義，求，可以 先 把 y 的 值 代 入求得，然后求關(guān)于 x 在處的導(dǎo)數(shù)。解：，則所以此外，由函例4：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例4所以因為所以例5：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .解：u例5（1）解：例5（2）解法一：例5（3）解法一解法二：例5（3）解法二解：例5（4）解：由 ，得例5（5）例6：設(shè) 滿足分析：實質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問題。當 y 任意給定時，求例6求就是 x 的一元函數(shù)的積分問題，但這里求積分后還含有y 的任意函數(shù)，要由 定出這個任意函數(shù)。解：將等式 兩邊對 x 求積分，得例6（續(xù)）其中 為待定函數(shù)。由 式，得故因此，例7：理想氣體

10、的狀態(tài)方程為 P V = R T，其中 R 為常數(shù)，求證：證：由狀態(tài)方程可得從而故注意： 對 一元 函數(shù) 來說，既可看作導(dǎo)數(shù) 的整 體記號，也可理解為“微商”。但對二元函數(shù)而言，則只能看成整體記號，不能理解為之商。例7 偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間沒有必然聯(lián)系。例如，函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，事實上（ 見7.1 例5 ）偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性（續(xù)）又如，函數(shù)在點處是連續(xù)的（圓錐、無裂縫），的偏導(dǎo)數(shù)不存在。但在點x o y z 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義x o y z y0 x0 設(shè)曲面的方程為 ，M0 是該曲面上的一點，過點 M0作平面 ，截此平面得一條曲線，其方程 為則偏導(dǎo)

11、數(shù) 表示上述曲線在點 M0 處的切線 M0Tx 對x 軸正向的斜率。同理，偏導(dǎo)數(shù) 就是曲面被平面 所截得的曲線在點 M0 處的的切線 M0Ty 對 y 軸正向的斜率。Tx .Ty 例8例8：求曲線 在點 處的切線與 x 軸正向所成的傾角。解：所給的曲線是曲面 與平面 的交線， 所以根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該曲線在點 處的切線關(guān)于x 軸的斜率為二、高階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么，在 D 內(nèi)都是 x、y 的函數(shù)。個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也 存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏、設(shè)函數(shù)如果這兩導(dǎo)數(shù)。對不同自變量的二階偏導(dǎo)數(shù)，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)常采用下列記號表示：二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的記號

12、類似于二階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以給出二元函數(shù)的三階、四階直至 n 階偏導(dǎo)數(shù)的概念，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以直接類推到三元及三元以上的函數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)例9：求函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例9所以例10：求函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例10所以定理從上例的解中可以看到，函數(shù) 的兩個混合 偏導(dǎo)數(shù) 、 雖然對 x 和 y 的求導(dǎo)次序不同，但它們是相等的。我們自然要問，對于一般的二元函數(shù) 是否也具有這個性質(zhì)？若不是，那么，在什么條件下，它的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等？下面的定理回答了這個問題。定理：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)次序無關(guān)。對初等函 數(shù) 的 混 合偏導(dǎo)

13、數(shù) 而言，一 般 都 是 連續(xù)的，這是就與求導(dǎo)次序無關(guān)，因此有練習：練習解： 設(shè) 設(shè)練習（續(xù)）解： 設(shè)第三節(jié) 全微分一、全微分的概念（全增量） 二元函數(shù)的全增量設(shè)，記，稱為二元函數(shù)的全增量。x： x y： y z： 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，且 稱函數(shù) 在 處可微，并稱 為 全微分的定義、 存在。如果函數(shù) 在點 處的全微分，記為 ，即全微分的定義，則由于 x、y 都是自變量，所以則如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點處都可微，則稱該函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)可微。二元函數(shù)的全微分概念可以類比推廣到二元以上的多元函數(shù)如：若存在全微分，則有全微分的概念（續(xù)）例1：求函數(shù) 的全微分。解：因為例1故所求的全微

14、分例2例2：求函數(shù) 在點 處的全微分。解：因為所以，故所求全微分例3例3：設(shè) ，求解：令，則從而即由，得，從而例3（續(xù)）由，得所以，例4例4：已知 ，求 解：例5：求函數(shù) 在點 處，當時的全增量及全微分的值.解：全增量x ： 2 2.02y ：- 1 - 1.01z ： f ( 2, - 1 ) f ( 2.02, - 1.01 )例5全微分誤差二、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的相互關(guān)系在點連續(xù)在點可微在點連續(xù)在點處均存在關(guān)于二元函數(shù)的可微性有如下結(jié)果：設(shè)函數(shù)，則（證明略）例6例6：考察函數(shù) 在點 處偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微？解：因為所以，同理，即 在點 處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。而因為所以函數(shù) 在點 處不可微

15、。例6（續(xù)）的偏導(dǎo)數(shù)在 的鄰域內(nèi)均存在，但在 處它的偏導(dǎo)數(shù)練習練習：試證函數(shù)不連續(xù)，而函數(shù) 卻在 處可微。第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法定理：設(shè)函數(shù)復(fù)合而，其復(fù)合關(guān)系圖如下：若都在點具有對 的偏導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可有下列公式計算：得復(fù)合函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則復(fù)合函數(shù) 在一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)，則是 x 的一元函數(shù)。則其復(fù)合關(guān)系圖如下：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)1） 設(shè)由得復(fù)合函數(shù)其復(fù)合關(guān)系圖如下：則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)2）例1：設(shè)解：例1例2：設(shè)解：例2例3：設(shè)解：例3例4：設(shè)函數(shù)解：例4例5：設(shè)解：令， 則例5例6：設(shè)解：例6例7

16、：設(shè) ，且 f 和 g 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)例7數(shù)，求解：例8（2012廣東專插本）設(shè)函數(shù) f(u) 可微，且 ，則例8在點 處的全微分 .解：令，則例9：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證：令，則例9例9（續(xù)）則練習：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，求證：令，則練習1例10：設(shè) ，f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和解：令 ，則其中， 仍是含有中間變量 u 和例10其中， 仍是含有中間變量 u 和v 的復(fù)合函數(shù)。其復(fù)合關(guān)系圖：將上式兩邊對 x 求偏導(dǎo)，并應(yīng)用四則運算求導(dǎo)法則，得例10（續(xù)1）例10（續(xù)2）類似地可得例10（續(xù)3）練習 設(shè)解：令則練習2練習2（續(xù)1）練習2（續(xù)2）定一個可導(dǎo)隱函數(shù) ，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為

17、：二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、由方程 所確定的隱函數(shù) 的求導(dǎo)公式設(shè)函數(shù) 可微， ，由方程 確一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式的證明事實上，在方程 的兩邊對 x 求全導(dǎo)數(shù)，得由于，則由上式可解出，即設(shè)函數(shù)，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)例1：設(shè)解：令，則從而可微，由方程例1例2：設(shè) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù) 及分析：復(fù)合關(guān)系圖例2分別由 和 確定，求解：首先（）下面分別求 和例2（續(xù)）由 兩邊對 x 求導(dǎo)，得又由 兩邊對 x 求導(dǎo)，得把 、 代入（）式，得設(shè)函數(shù) 可微， 由方程確 定 一 個可求偏 導(dǎo)數(shù) 的 二 元 隱函數(shù) ，則二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式2、由方程 所確定的二元隱函數(shù) 的求導(dǎo)公式例3：設(shè)解：

18、令，則例3由方程 確定了函數(shù) ，則例4（2011廣東省大學生數(shù)學競賽、經(jīng)濟管理類、本科）例4解：例5：設(shè) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 由方程例5所確定，求分析：復(fù)合關(guān)系圖所以，又下面求 和例5（續(xù)1）設(shè)，則從而則所以例5（續(xù)2）第七節(jié) 多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值在點的某鄰域內(nèi)有定義，對該鄰域內(nèi)異于的任意一點，都有則稱為函數(shù)的極大（?。┲担Q點為函數(shù) 的 極大（?。┲?點 。函 數(shù)的 極大值 、極小值 統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。定義：設(shè)函數(shù)定理 1（必要條件） 設(shè)函數(shù) 在點 處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點 處有極值，則在該點的偏導(dǎo)數(shù) 必為零，即定理1使二元函數(shù)的兩個一

19、階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點叫做該函數(shù)的駐點。即若點 為函數(shù) 的駐點，則定理 2（充分條件）設(shè)為函數(shù)的駐點，且在點的某鄰域內(nèi)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若令，則 時，函數(shù)有極值，且時，有極大值，時，有極小值； 時，函數(shù)沒有極值； 時，函數(shù)可能有極值，也可能沒有極值。定理2例1：求函數(shù) 的極值。解： 由得駐點因為在點 處：所以，函數(shù)在點 處沒有極值。例1由 又知，函數(shù)在點 處有極大值，極大值為因為在點 處：所以，函數(shù)在點 處有極值，且例1（續(xù)）二、多元函數(shù)的最值在第一節(jié)中已經(jīng)知道，有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值，在閉區(qū)域的邊界上取得。區(qū)域內(nèi)部的點取得，得，域 D 上的最值的方法是：函數(shù)在 D 的邊界上的最大值和最小值；最大（小）者就是二元函數(shù)在 D 上的最大（?。┲?。道函數(shù)的最大值（最小值）一定在 D 的內(nèi)部取得，在 D 內(nèi)只有一個駐點，在 D 上的最大值（最小值）。法由于要求出在 D 的邊界上的最大值和最小值，所以往往相當復(fù)雜。在通常