平面直線與立體相交課件

1、問題的提出： 試繪制如圖所示機件的三視圖？第六章 平面、直線與立體相交6.4 直線與立體相交6.1 平面與立體相交概述6.2 平面與平面立體相交6.3 平面與曲面立體相交6.1 平面與立體相交概述一、概述二、截交線的求法三、圓柱、圓錐、球的截交線一、概述在一些零件的表面上常常見到平面與零件表面相交的情況。 這種平面與立體相交，可看作是立體被平面所切割，平面P稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線，截交線所圍成的平面圖形稱為截斷面。（1）截交線是封閉的平面圖形 （2）截交線是截平面與立體表面的共有線，其上的點是截平面與立體表面共有點。截交線的性質(zhì)：二、截交線的求法(1)輔助平面法 在應(yīng)用此

2、法時，應(yīng)注意選擇輔助平面，以使它與曲面的交線最簡單易畫（直線或圓）。 三面共點的原理，所作輔助平面與曲面交于一條曲線，而與截平面交于一條直線，所得曲線與直線的交點則為截平面與曲面交線上的點。利用此法可求得截交線上的一般點或某些特殊點。二、截交線的求法 對于平面立體則運用直線與平面相交求交點及兩個平面求交線的方法，求出各棱線與截平面的交點，或各棱面與截平面的交線連接而成。(2)表面取點法 利用立體表面在投影面上的投影有積聚性的特點求之. 平面截切平面立體，在平面立體表面留有的交線，稱為平面立體的截交線。平面立體截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。一、平面立體體截交線的性質(zhì)平面立體截交線是截平

3、面與平面立體表面的公有線。平面多邊形的頂點是平面立體棱線與截平面的交點，邊是截平面與平面立體各表面的交線（截交線段）。 62 平面與平面立體相交截平面截交線截斷面P二、 平面立體截交線的求法1、線面交點法2、面面交線法 將平面立體上參與相交的各條棱線與截平面求交點，并將位于立體同一棱面上的兩交點依次連接起來，即為所求平面立體的截交線。 將平面立體上參與相交的各棱面與截平面求交線，這些交線即圍成所求的平面立體截交線。1234SABCD三、求截交線的作圖步驟1) 空間分析及投影分析2) 畫出截交線的投影a、截平面與立體的那幾個表面相交 確定截交線的形狀（多少截交線段） 確定截交線的投影特性（積聚性

4、）b、截平面、立體表面是否具有積聚性 運用線面交點法（棱線法）或面面交線法（棱面法），分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。3) 整理立體的棱線投影作圖：作出三棱錐的棱線SA、SB、SC與截平面P的交點、的V面投影1、2、3。根據(jù)點的投影規(guī)律求出H、W面投影1、2、3和1、2、3。依次連接各交點的同面投影即為所求。實形可用換面法求得截斷面的實形。解 因截平面P為正垂面，故截平面的正面投影積聚在PV上，H面和W面截交線可利用求三棱錐各棱線與截平面交點來求。【例1】 三棱錐被所截，完成截交線的投影及截斷面實形【例2】完成五棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間分析2、投影分析3、投影作圖

5、4、整理圖線 截交線為平面五邊形，對V面具有積聚性 截平面為正垂面，截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，要求的是截交線的水平投影和側(cè)面投影。123455134212345【例3】求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。625 13 4 123456123456【例4】求立體切割后的投影235411166543264（5）2（3）【例5】求正四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。1、空間分析立體表面交線的形狀？ 空間10邊形2、投影分析 截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上；121039485761210391210938484756675水平截平面截切的交線平行于四棱錐對應(yīng)底邊；側(cè)平截平面截切的

6、交線平行于四棱錐前后棱線。3、投影作圖4、整理圖線【例6】完成四棱臺上部開槽后的水平投影和側(cè)面投影空間分析 水平截平面與四棱臺四各棱面相交，交于四條邊； 兩個側(cè)平截平面均與四棱臺三個面相交，分別交于三條邊； 截平面之間有二條交線；125678439101256261547381093478109整理棱線投影【例7】 求立體截割后的投影71188711121056943961（3）2（4）105 1（2）83（4）10 （5）9 11（6）（7）【例8】求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。P154328762367184 515476328一、 曲面立體截交線性質(zhì)6-3 平面與曲面立體相交二、 曲面

7、立體截交線的求解方法和步驟三、 圓柱截的交線四、 圓錐截的交線五、 球的截交線六、 圓環(huán)的截交線七、 復(fù)合體的截交線 平面截切曲面立體，在曲面立體表面留有的交線，稱為曲面立體的截交線。一、 曲面立體截交線性質(zhì) 1、截交線是截平面與曲面立體表面的公有線。截交線上的點為截平面與曲面立體表面的公有點。 2、截交線的形狀通常為平面曲線，特殊情況下可含有直線段組成。是封閉的平面圖形。截交線的形狀取決于曲面立體表面性質(zhì)和截平面與曲面立體的相對位置。6-3 平面與曲面立體相交截平面截交線二、 曲面立體截交線的求解方法與步驟1、表面取點法 利用截平面的積聚性和曲面上表面取點法來求截交線的另兩個投影。 條件：截

8、平面具有積聚性，從而相當(dāng)于已知一截交線的一個投影。2、輔助平面法 利用三面共點的原理來求。二、 曲面立體截交線的求解方法與步驟1、截交分析 a)截平面和立體表面的積聚性;b)截交線段的多少；c)截交線的對稱性；d)截交線在各投影面上的可見性。2、求特殊點 包括：極限位置點（最高、最低、最前、最后、最左和最右點）和轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。3、求一般點 用表面取點法或輔助平面法求足夠多的一般點4、整理曲面立體輪廓線 檢查曲面立體被截切后的輪廓素線。擦除被截掉部分的投影，判別截交線的可見性，光滑連接截交線。截平面位置平行于軸線垂直于軸線傾斜于軸線截交線兩條直素線圓橢圓立體圖投影圖三、圓柱的截交線【例9】

9、完成圓柱體截切后的側(cè)面投影?！纠?0】補畫出立體的左視圖2.作左切面上的投影 1.作圓柱的左視圖3.作下部通槽的投影4.判別可見性5.整理并擦除多余的線, 完成作圖.【例11】完成圓柱體被截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間分析分析截平面與立體的相對位置水平面截切，截交線為矩形；側(cè)平面截切為圓弧。2、投影分析 分析截平面與投影面的相對位置。13243、投影作圖4、整理輪廓素線截交線的正面投影落在水平截平面和側(cè)平截平面的積聚性投影上；截交線的側(cè)面投影落在圓柱面和水平截平面的積聚性投影上；12341234分 析： 該立體是在圓柱筒的上部開出一個方槽后形成的 。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩

10、個平行于軸線的側(cè)平面Q 。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面和Q彼此相交于直線段。 【例12】 補畫被挖切后立體的投影 。 平面與圓柱相交作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。（3） 作出穿孔的三面投影圖。QP【例13】作出圓柱體被截切后的水平投影。 cddcabab1、空間分析 分析截平面與圓柱體軸線的相對位置，確定截交線的形狀橢圓。2、投影分析 截交線的正面投影和側(cè)面投影分別落在截平面和圓柱面的積聚性投影上，要求的是截交線水平投影。3、投影作圖4、整理輪廓線abdc【例14】 分

11、析圓柱體截交線為橢圓的投影特性1、當(dāng)45截交線橢圓的長軸投影后，仍為投影橢圓的長軸；4545452、當(dāng)45截交線橢圓的長軸投影后，成為投影橢圓的短軸；3、當(dāng)45截交線橢圓的長軸投影后，與短軸相等，橢圓的投影成為圓；【例15】求圓柱截交線解題步驟1分析 截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合；2求出截交線上的特殊點、 、 、；3求一般點；4 順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3311 22445532514截平面位置過錐頂垂直于軸線傾斜于軸線平行或傾斜于軸線=0，或傾斜于軸線=截交線兩直素線（交于錐頂?shù)膬芍本€）圓周橢圓

12、雙曲線拋物線立體圖投影圖四、圓錐面的截交線【例16】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析 截交線為橢圓，截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，要作出橢圓的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖 運用錐面取點方法作出橢圓長短軸端點、轉(zhuǎn)向輪廓線上點和一般點，用曲線光滑連接各點。3、整理輪廓線【例17】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析 截交線形狀為拋物線。拋物線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，求作拋物線的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖 運用錐面取點方法作出拋物線頂點和底端點、轉(zhuǎn)向輪廓線上點和一般點，用曲線光滑連接各點。3、整理輪廓線【例18】完成圓錐截切后

13、的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析 截交線為圓弧和兩根直線段，兩截平面間有一條交線。截交線的正面投影落在截平面的正面積聚性投影上，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖 截交線圓弧的水平投影反映圓弧的實形。3、整理輪廓線作圖：作出俯、左視圖中的中心線及圓錐的投影。作出水平面Q截錐的交線圓K。定出它與正垂面P的交線。連S1、S2、S1、S2，即得正垂面P截錐的交線S、S。作出側(cè)平面截錐的雙曲線。先作出平面Q與R的交線，則為所求雙曲線上的的兩個最高點。再作出錐底與R平面的交線，則此兩點為雙曲線上的最低點。然后在Q和底面之間作適當(dāng)?shù)妮o助水平面求出若干個一般點，。連接各點即得雙曲線的投影。

14、判別可見性，完成全圖?！纠?9】 試完成帶缺口圓錐的俯、左視圖 【例20】完成圓錐截穿孔后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析 截交線為圓弧、橢圓弧和直線段組成的空間曲線，三條截平面間的交線。截交線的正面投影落在截平面的正面積聚性投影上。2、投影作圖 分別求解各個截平面的截交線，截交線上的點可運用錐面取點方法獲得。3、整理輪廓線瀏覽三維動畫五、球的截交線【例21】完成圓球截切后的水平投影和側(cè)面投影。【例22】完成半球被截切后的水平投影和側(cè)面投影。【例23】 求圓球截交線221【例24】 求圓球截交線33312六、平面與圓環(huán)相交 平面與圓環(huán)相交時，截平面與圓環(huán)面的相對位置不同，截交線的形狀亦

15、不相同。當(dāng)截平面垂直于圓環(huán)軸線或通過圓環(huán)圓環(huán)軸線截切時，截交線為圓；當(dāng)截平面處于其它位置時，截交線一般為一條或兩條封閉的平面曲線?？捎幂o助平面法求得圓環(huán)的截交線。解 正平面截切圓環(huán)，截交線的V面投影反映實形，是封閉的平面曲線，其H面投影積聚在PH上。作圖：求作特殊點。點、分別是最左、最右點，H面投影在PH與轉(zhuǎn)向輪廓線相交處，由1、2求得1、2；點、為最高點，點、為最低點，由H面投影3、4、（5）、（6）求得3、4、5、6；點、是內(nèi)環(huán)面上的點，用輔助圓法由7、（8）求得7、8。求作一般點。如選取、四點用輔助平面Q1和Q2求點的V面投影。 【例25】 圓環(huán)被正平面P所截，求截交線的V面投影 組合回

16、轉(zhuǎn)體通常由多個基本回轉(zhuǎn)體組合形成，求解這類形體截交線時，應(yīng)首先分析組合回轉(zhuǎn)體是由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。七、組合回轉(zhuǎn)體的截交線【例26】 試求回轉(zhuǎn)面被正平面所截的截交線。 【例27】 試完成圖示連桿頭的截交線投影。 解 連桿頭是由圓柱面、內(nèi)環(huán)面和球面組成的同軸復(fù)合回轉(zhuǎn)體，被前后兩個對稱的正平面P1、P2所截而成。其截交線是由截球所得的交線圓弧與截圓環(huán)所得的一般曲線組合而成。其分界點、處在環(huán)與球的分界圓上，即在過正視轉(zhuǎn)向線兩圓弧的切點a所作垂直于連桿頭軸線的圓周上。由于截平面前后對稱，其截交線的正面投影前后重合且反映實形，其余投

17、影積聚成直線，且與截平面的相應(yīng)投影重合。作圖：作圖：【例28】 試完成頂尖截交線的投影 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接?！纠?9】求作頂尖的俯視圖45【例30】 求組合立體截切后的水平投影和側(cè)面投影?！纠?1】完成組合回轉(zhuǎn)體截切后的正面投影。圓球體圓環(huán)體圓柱體6-4 直線與立體相交1、貫穿點直線與立體表面的交點2、貫穿點的性質(zhì)1）既屬于直線，又屬于立體表面2）成對出現(xiàn)3、求法直線與平面立體相交，相當(dāng)于直線和平面相交；直線與曲面立體相交，則用輔助平面法4、求解步驟： 1）包含直線作輔助平面2）求輔助平面與立體的交線3）求交線與已知直線的交點【例32】 直線與棱柱、圓柱的貫穿點1212abab112abab2【例33】 求直線與三棱錐的交點 解 采用輔助平面法求解。包含直線L作正垂面PV。求出P與棱錐的截交線。求出123與L的交點a、b，由a、b找出a、b，則A、B為所求的貫穿點。判別可見性。如圖所示，顯然兩貫穿點A、B之間的一段為立體里面的線不必畫出。其余部分，則由于A、B所處的平面SCD、SDE的H、V面投影均為可見，故其余部分亦為可見。作圖：【例34】 求直線與圓錐的交點。解 由于圓錐的投影均無積聚性，故只能用輔助平面法求其交點。顯然，包含直線L作通過錐頂S的一般