理想流體動(dòng)力學(xué)和恒定平面勢流課件

1、第四章 理想流體動(dòng)力學(xué) 和恒定平面勢流4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程采用微元體積法：在運(yùn)動(dòng)的理想流體中，取一個(gè)正平行六面體流體微團(tuán)，如圖所示。分析某一瞬時(shí)該流體微團(tuán)的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況。在某瞬時(shí) t ： 形心M( x, y, z ) 處的流動(dòng)速度為ux，uy，uz ，又設(shè)流體密度為，流體所受的單位質(zhì)量力為 ，它在各軸上的分力為X、Y、Z。由于理想流體沒有粘滯性，不存在切應(yīng)力，故表面力只有動(dòng)壓強(qiáng) p，（與靜壓強(qiáng)不同，運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)稱為動(dòng)壓強(qiáng)），動(dòng)壓強(qiáng)的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向，其大小是位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即以 x 方向?yàn)槔治鍪芰Γ?. 質(zhì)量力2. 表面力切向應(yīng)力0（理想流體）法向應(yīng)力壓強(qiáng)根

2、據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程整理上式，得x方向上單位質(zhì)量流體的運(yùn)動(dòng)方程，同理，可推得在 y、z 方向的運(yùn)動(dòng)方程：（4.2）理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）寫為向量形式：式中，為哈密爾頓算子， 為單位質(zhì)量力向量。 若ux= uy= uz = 0 ，則歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程變?yōu)榱黧w靜力學(xué)中歐拉平衡微分方程式（2.3）。一般地，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程中有p，ux，uy，uz 四個(gè)未知量，還必須聯(lián)立連續(xù)性方程才能求解。伯努利積分條件4.2.1 沿流線的伯努利積分和在重力場中的伯努利方程（1）恒定流動(dòng) （2）沿流線積分（3）質(zhì)量力有勢（4）不可壓縮流體4.2 理想流體恒定元流的伯努利方程1

3、.恒定流動(dòng)2.沿流線積分分別乘以流線微分方程式相加得3.質(zhì)量力有勢 力勢函數(shù)U(x,y,z) ，有勢函數(shù)存在的力稱為有勢的力，有該函數(shù)存在的力場稱為勢場。當(dāng)力勢函數(shù)存在時(shí)，有：又因?yàn)樗杂兄R(shí)點(diǎn)回顧：（3） 勢函數(shù)（力函數(shù)）4.不可壓縮流體積分理想流體中，沿流線伯努利積分式中C為積分常數(shù)。上式表明，在有勢力場的作用下，常密度理想恒定流中，同一條流線上的 值保持不變。一般情況下，積分常數(shù)C的值隨流線而變。重力場中理想流體的伯努利方程：若作用于流體上的質(zhì)量力只有重力，重力是有勢力，則積分代入（4.5）對同一條流線上的任意兩點(diǎn)，有4.2.2 由動(dòng)量定理推導(dǎo)理想液體恒定元流的伯努利方程動(dòng)量定律：任一運(yùn)

4、動(dòng)物體在某一時(shí)段內(nèi)動(dòng)量的增量，等于該時(shí)段內(nèi)作用于該物體上所有力所作的功之和。如圖所示，設(shè)一恒定元流，取過流斷面1-1，2-2為控制斷面。因?yàn)槭呛愣鳎晕⒃鞴艿奈恢煤托螤畈浑S時(shí)間變化。設(shè)經(jīng)過dt時(shí)段后，所取得元流段流到斷面 的位置，斷面1-1和2-2分別移動(dòng)了距離 和 ，元流的動(dòng)能會(huì)發(fā)生變化。因?yàn)榱黧w只能在管中流動(dòng)，且沒有匯流和分流，所以1-2段元流所具有的動(dòng)能是 段動(dòng)能之和； 段元流動(dòng)能為 段動(dòng)能之和。因?yàn)槭呛愣?，各空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間而變，所以 段流體所具有的動(dòng)能經(jīng)過dt時(shí)段后不變。經(jīng)過dt時(shí)段后元流段的動(dòng)能增量為 段流體動(dòng)能之差，即：或：計(jì)算各作用力所作的功：質(zhì)量力和表面力質(zhì)量

5、力所作的功：重力微元流管重力所作的功相當(dāng)于在 dt 時(shí)段里 段流體移到 處，該微元段流體重力所作的功，即：表面力（壓力）所作的功：式中z1，z2 分別為dA1，dA2 的形心高度。根據(jù)動(dòng)能定律：對于單位重力流體，上式各項(xiàng)除以dQdt，移項(xiàng)后得：4.3.1 元流伯努利方程的物理意義單位重力流體伯努利方程：位能 z總勢能 總機(jī)械能 C壓能 動(dòng)能 4.3 元流伯努利方程的意義和應(yīng)用元流各過流斷面上單位重力流體所具有的總機(jī)械能沿程不變。且在不同過流斷面上位能、壓能、動(dòng)能之間可以相互轉(zhuǎn)化。位置水頭 z 總水頭 H壓強(qiáng)水頭 測壓管水頭 速度水頭 4.3.2 元流伯努利方程的幾何意義單位重力流體伯努利方程：

6、元流各過流斷面上總水頭 沿程保持不變（守恒），且在不同過流斷面上位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化。測壓管水頭線可升可降。彎管前端封閉，側(cè)面孔置于測點(diǎn)A，水面上升高度h1，則A點(diǎn)處水流總能量同一彎管側(cè)面不開孔，前端開孔，置于A點(diǎn)，受彎管水流阻擋，流速變零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓能，故H=h2，則可得4.3.3 畢托管原理M0 和M點(diǎn)的伯努利方程：又 ，所以c 稱為畢托管校正系數(shù)，一般在1.01.04之間。在要求精度不是很高的情況下，可取c=1.0。但實(shí)際上，由于流體具有粘滯性，能量轉(zhuǎn)換時(shí)會(huì)有損失，故【例4.1】流體繞流如圖，上游無窮遠(yuǎn)處流速為壓強(qiáng) 。水流受到迎面物體的阻擋，在物體的表面上的

7、頂沖點(diǎn)S處的流速減至零，壓強(qiáng)升高，稱S點(diǎn)為滯流點(diǎn)或駐點(diǎn)。求滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)?！窘狻吭O(shè)滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)為pS ，忽略粘滯性。通過S點(diǎn)流線上的伯努利方程將 代入上式，整理得：故滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)pS為0.073m (H2O)【例4.2】設(shè)用畢托管測量管內(nèi)A點(diǎn)流速。已知壓差計(jì)左右兩支水銀柱液面高差h=0.02m，畢托管校正系數(shù)c=1.0，試求水流中A點(diǎn)的流速?！窘狻吭O(shè)在畢托管放入前A點(diǎn)處的壓強(qiáng)為pA，放入后駐點(diǎn)壓強(qiáng)為pS。由壓強(qiáng)分布： 4.4 恒定平面勢流的 流速勢函數(shù)和流函數(shù) 如前所述，在流場中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí)刻處處為零，無旋流動(dòng)也稱為有勢流動(dòng)。所以，只有在理想流體中才可能存在有勢流動(dòng)

8、，具有粘性的實(shí)際流體都不會(huì)是有勢流動(dòng)。但在某些場合，當(dāng)粘滯性對流動(dòng)的影響很微小而可以忽略時(shí)，可以將這種實(shí)際流體的流動(dòng)按理想流體來處理，以簡化分析。這種處理方法對于勢流情況也是適用的。實(shí)際上，在分析某些堰（閘）泄流、波浪運(yùn)動(dòng)、邊界層外流動(dòng)以及地下滲流等復(fù)雜流動(dòng)時(shí)，都是將它們看作有勢流動(dòng)，用勢流理論來簡化處理。4.4.1 流速勢函數(shù) 考慮恒定平面（二維）勢流，根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，它與無旋流動(dòng)是等價(jià)的。二維無旋流的條件：即：由數(shù)學(xué)分析可知，上式是使表達(dá)式 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件，即：函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。也可以說，存在速度勢函數(shù) 的流動(dòng)為有勢流動(dòng)。因此，無旋流動(dòng)又稱為有勢流動(dòng)，簡稱勢

9、流。由此可得另一方面，考慮平面流場中的連續(xù)方程不可壓縮流體無旋流動(dòng)的連續(xù)性方程。將 和 代入上式，得：或：或：（4.16）為拉普拉斯算子，上式稱為拉普拉斯方程。從上可見，在不可壓流體的有勢流動(dòng)中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形式，這樣把求解無旋流動(dòng)的問題，就變?yōu)榍蠼鉂M足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問題。由于拉普拉斯方程是二階線性齊次偏微分方程，其解服從疊加原理，因此可以用勢流疊加方法來求解復(fù)雜的勢流問題。 求解拉普拉斯方程有解析法，如復(fù)變函數(shù)法、分離變量法等。但工程中的勢流問題，一般都極為復(fù)雜，解析法往往無法解決，所以多采用流網(wǎng)法（圖解法）、差分法、有限元、邊界元等數(shù)值計(jì)算方法來求解

10、勢流問題。4.4.2 流函數(shù) 根據(jù)平面流動(dòng)的流線方程和連續(xù)方程，可導(dǎo)出流函數(shù)。二元流動(dòng)的流線方程：移項(xiàng)，得：不可壓縮流體連續(xù)方程：由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件對上式積分可得式中（x，y）稱為流函數(shù)。不可壓縮流體平面流動(dòng)中必然存在流函數(shù)。（x，y）的全微分為：比較式（4.19）和（4.20），可得：由上可知，在研究不可壓縮流體平面流動(dòng)時(shí)，如能求出流函數(shù)，即可求得任意一點(diǎn)的兩個(gè)速度分量，就可簡化分析過程。所以流函數(shù)是很重要、很有用的概念。流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）流函數(shù)等值線就是流線將流線方程式（4.17）代入（4.19），得：即：由此可見，在同一條流線上各點(diǎn)的流函數(shù)為一

11、常數(shù)，故等流函數(shù)線即為流線。（2）任意兩條流線間通過的單寬流量等于該兩流函數(shù)值之差設(shè)在兩條流線和 +之間有一固定流量dq，因?yàn)槭瞧矫鎲栴}，在z軸方向可以取一單位長度，所以dq稱為單寬流量。取ab為兩流線之間的單寬過流寬度，線段ab在坐標(biāo)軸上的投影分別是ac=dx，bc=dy，流速投影分別為ux，-uy，因此將（4.22）代入，得積分得：上述結(jié)論無論對理想流還是粘性流、無旋流還是有旋流都適用。（3）平面勢流中流函數(shù)與流速勢函數(shù)一樣，滿足拉普拉斯方程 （只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程）平面有勢流中將式（4.22）代入，即可得（4）流線族與等勢線族正交斜率：斜率：等流線等勢線比較式（4.13）和（4.22），還可得： 這是平面勢流中聯(lián)系流速勢函數(shù)和流函數(shù)的一對極重要的關(guān)系式，在復(fù)變函數(shù)中，稱為柯西-黎曼條件。滿足這種關(guān)系的兩個(gè)函數(shù)稱為共軛函數(shù)，所以在恒定平面勢流中，流函數(shù)的與流速勢函數(shù)是共軛函數(shù)?！纠?.3】繪圖表示 的流線、等勢線、流動(dòng)方向，并找出在（1，1）上的流速及方向。解：因所以流線是為常數(shù)的線，故為雙曲線其坐標(biāo)計(jì)算見表4.1及圖4.9。求流速勢函數(shù)：再求對y的偏導(dǎo)數(shù)得：與 比較