水文統(tǒng)計(jì)課件

1、工程水文學(xué)第四章 水文統(tǒng)計(jì)頻率計(jì)算相關(guān)分析水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性水文現(xiàn)象也包含著偶然性(隨機(jī)性) ，對(duì)水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機(jī)現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 第一節(jié) 頻率計(jì)算 概述水文分析計(jì)算常用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法 流域或地區(qū)水資源開發(fā)利用，首先要了解流域內(nèi)未來的河道的來水量，以合理規(guī)劃； 水利工程規(guī)劃設(shè)計(jì)，需弄清未來河流中可能的洪水量及其過程，以確定工程的規(guī)模。對(duì)未來長(zhǎng)期徑流情勢(shì)（屬隨機(jī)變量）的估計(jì)，只能依據(jù)其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行概率預(yù)估。所謂“概率預(yù)估”，即分析水文變量出現(xiàn)超過某個(gè)數(shù)值的可能性為多少。水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù) （1）頻率計(jì)算根據(jù)已有的資料（樣本），應(yīng)用

2、概率理論和頻率計(jì)算，推求指定頻率的水文特征值。 （2）相關(guān)分析研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長(zhǎng)、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報(bào)。ABC1950197519852009199219502009水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù) （3）誤差分析根據(jù)誤差理論，估計(jì)水文計(jì)算中的隨機(jī)誤差范圍。 水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù) （1）分布函數(shù)的形式不同在工程數(shù)學(xué)中，常采用不及制累積概率形式： 水文學(xué)上，習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個(gè)值的概率，采用超過制累積概率形式：水文統(tǒng)計(jì)與概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要差別表示隨機(jī)變量 X 大于或等于值x的概率，其幾何曲線稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計(jì)頻率曲線，簡(jiǎn)稱頻率曲線）。（2）

3、概率密度曲線和分布曲線畫法習(xí)慣不同 水文統(tǒng)計(jì)與概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要差別xPg(x)xg(x)xPG(xp)G(x)xG(x)(%)10000(a)(b)（2）概率密度曲線和分布曲線畫法習(xí)慣不同 水文統(tǒng)計(jì)與概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要差別概率分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)的負(fù)值，稱為概率密度函數(shù)水文上通常稱概率分布曲線為累積頻率曲線頻率計(jì)算基本內(nèi)容確定分布線形和參數(shù)估計(jì)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線理論頻率曲線設(shè)事件A在 n 次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了 m 次，則稱：為事件A 在n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。注意：n不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)。二、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線1頻率二、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線2經(jīng)驗(yàn)頻率及計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率：根據(jù)實(shí)測(cè)水文資料，按從大到

4、小順序，采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的頻率。注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=n時(shí)，P=100%，說明樣本的最末項(xiàng)為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算公式：這樣，當(dāng)m=n=12 時(shí)，該公式在水文計(jì)算中通常稱為期望公式重現(xiàn)期：是指某一隨機(jī)事件在很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)平均多長(zhǎng)時(shí)間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗(yàn)中，某一隨機(jī)事件重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。重現(xiàn)期 Recurrence interval/return perioda.當(dāng)研究洪水或暴雨問題 水文上關(guān)心

5、的是大于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長(zhǎng)時(shí)期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于某水文變量XP 事件的平均重現(xiàn)的間隔期T ：式中， T：重現(xiàn)期，以年計(jì)； P：大于某水文變量 XP 事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。重現(xiàn)期指在很長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于等于xP的頻率為P ，則小于xP事件的頻率應(yīng)為等于b. 當(dāng)研究枯水問題1-P 枯水問題的重現(xiàn)期為：（1）當(dāng)研究暴雨或洪水時(shí)（一般p50%）【例】：當(dāng)某一洪水的頻率為p=1%時(shí)，則T=100年，稱此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪

6、水平均100年可能會(huì)遇到一次。（2）當(dāng)研究枯水或年徑流時(shí)（一般p50%）【例】：對(duì)于p=90%的枯水流量，則T=10年，稱此為十年一遇枯水流量，表示小于等于這樣的流量平均10年可能會(huì)遇到一次。經(jīng)驗(yàn)頻率曲線繪制步驟：將樣本系列 按從大到小的順序排列；用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算系列中各項(xiàng)的頻率；以水文變量X為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)頻率P為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)； 根據(jù)點(diǎn)群趨勢(shì)繪出一條平滑的曲線。 經(jīng)驗(yàn)頻率曲線繪制根據(jù)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率P的水文變量值XP經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：年降雨量x排序（ m）頻率(%) P=m/（n+1）131017.71210215.41100323.11050430.810

7、10538.5990646.2950753.8920861.5910969.29051076.98501184.68201292.3n=12其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗(yàn)分布曲線:P (Xx)X（年降雨量：mm）問題：這樣求到的樣本經(jīng)驗(yàn)頻率分布是否符合實(shí)際？三、理論曲線線型1正態(tài)分布 許多隨機(jī)變量如水文測(cè)量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。式中， ：均值（平均數(shù)）； ：均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）。f (x) a. 單峰，只有一個(gè)最高點(diǎn)； b. 對(duì)于平均數(shù)(均值）對(duì)稱, Cs= 0

8、； c. 曲線二端趨于 ， 并以x 軸為漸近線； d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：正態(tài)曲線與X軸所圍成的面積為1數(shù)學(xué)上可以證明：正態(tài)分布的密度曲線在 處出現(xiàn)拐點(diǎn)，而且：f (x)頻率格紙橫坐標(biāo)的劃分0.01%，3.7250%，0概率密度函數(shù)表達(dá)式： 2.皮爾遜 型分布(P- 型) 可見，當(dāng)以上三個(gè)參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。式中, （） 的伽瑪函數(shù), , , a 0：三個(gè)參數(shù)，它們與三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)具有函數(shù)關(guān)系，其表達(dá)式為： f(x)皮爾遜 型概率密度曲線 a0M0(x)Me(x)xPx一端有限另一端無限的不對(duì)稱單峰正偏曲線P-III型曲線的特點(diǎn)：在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P所相應(yīng)的

9、隨機(jī)變量的取值xP，即求出的 xP滿足下列等式： 按上式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換： 取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù)) ， 即 代入上式，, , a0 以相應(yīng)的 函數(shù)關(guān)系式表示，簡(jiǎn)化后得：0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)P CsP-III型曲線離均系數(shù) P 值表注：詳表見附表1被積函數(shù)含有參數(shù) , Cs ，而 包含在 中，制成 對(duì)應(yīng)關(guān)系表：因此，由給定的CS 及P，從P-III型曲線離均系數(shù) 值表，查出P ，再由下式求：xP即為指定概率 P 所相應(yīng)的隨機(jī)變

10、量的取值。這是水文統(tǒng)計(jì)分析中要求計(jì)算的一個(gè)量如求頻率P=1/100（水文學(xué)常稱為百年一遇）時(shí)的徑流量QP=0.01?！舅憷壳蠼猓河?CS =1.0及P =1%，查附表1得P = 3.02 已知: 某地年平均降雨量 =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,若年降雨量符合P - III型分布試求：P=1% 的年降雨量。另一種求解方法（該法更常用）上例的解法：由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表2得:引入模比系數(shù)： 由由此建立 的 對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系P-III型曲線模比系數(shù) KP 值表（見附表2）P-III型曲線模比系數(shù) KP 值表（附表2） P(%)C

11、V0.010.10.20.330.512510205075909599（一） CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.891.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三） CS=2CV （三） CS=6CV參數(shù)估計(jì)：水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠從總體中抽出的樣本(觀測(cè)的系列)去估計(jì)總體參數(shù)。四、頻率曲線參數(shù)估計(jì) Statistical parame

12、ters estimation估算方法有： 矩法； 適線法； 極大似然法； 權(quán)函數(shù)法； 一、隨機(jī)變量參數(shù)a.均值（樣本的算術(shù)平均值）:已知樣本的隨機(jī)系列：x1, x2, x3, xn，分別求樣本的三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù) 。 均值代表樣本水平高低，表示樣本系列的平均情況。【例】甲河多年平均流量Q甲=2500m3/s,乙河多年平均流量Q乙=100m3/s，說明甲河水資源比乙河豐富。不能反應(yīng)系列的離散程度b.樣本均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）:均值相同的兩個(gè)系列，值越大，離散程度愈大。均值不同的兩個(gè)系列，通過值來比較離散程度？【例】甲系列 , 乙系列 。不合適！式中， 稱作模比系數(shù)c.樣本的離差系數(shù):【例】甲系列 , 乙系

13、列 。甲系列的離散程度比乙系列的要小c.樣本的離差系數(shù):反映樣本系列的離散程度，需要知道系列對(duì)稱情況？CV值愈大，分布愈分散；CV 值愈小，分布愈集中。CV1CV2CV2 CV1f(x)x變差系數(shù)對(duì)密度函數(shù)的影響注意：以上三個(gè)公式求到的參數(shù)是根據(jù)樣本求參得到，故與相應(yīng)的總體的參數(shù)是不相等的。d. 樣本的偏態(tài)系數(shù):反映樣本系列對(duì)稱情況CS=0，系列對(duì)稱分布f(x)x偏態(tài)系數(shù)對(duì)密度函數(shù)的影響Cs0CS 0 , 稱為正偏；CS 0 , 稱為負(fù)偏。矩法-參數(shù)估計(jì)方法矩法：是用樣本估計(jì)總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計(jì)頻率曲線參數(shù)的一種方法。特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便，事先不用選定頻率曲線線形。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的證

14、明可知： 以上求到的樣本平均值 為總體平均數(shù)的無偏估計(jì)量，然而CV , CS 則不是總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)量，稱為有偏估計(jì)量。故需要對(duì)參數(shù)CV , CS 進(jìn)行修正，使其變成無偏估計(jì)量。無偏估計(jì)量： 由統(tǒng)計(jì)學(xué)的定義，若 是未知數(shù) 的估計(jì)量，而且 ，則稱 為 的無偏估計(jì)量。 (當(dāng) n 較大時(shí))Cv , Cs 的無偏估計(jì)量的修正計(jì)算式： 用上述的無偏估算公式計(jì)算的很多同容量的樣本的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的均值，可望等于總體的同名參數(shù)。 由于水文系列總體是無限的，而樣本的容量是有限的，因此，由樣本求到的參數(shù)對(duì)于總體的參數(shù)存在一定的誤差，則稱為抽樣誤差。因此，以樣本參數(shù)替代相應(yīng)的總體參數(shù)時(shí)，在生產(chǎn)實(shí)際應(yīng)用中需要考慮這

15、一誤差。但該誤差無法準(zhǔn)確求到，只能在概率意義下作出某種估計(jì)。現(xiàn)以樣本的平均值說明其抽樣誤差概念：抽樣誤差：Sampling error樣本平均數(shù)的抽樣分布均值誤差的抽樣分布總體的平均值 從總體抽出的樣本 均值 的抽樣誤差樣本1:樣本2:樣本i:樣本n:. . 同理， 也是隨機(jī)變量，其分布稱為均值誤差的抽樣分布。 樣本的某個(gè)抽樣值xi 是一隨機(jī)變量，故作為xi 函數(shù)的樣本平均數(shù) 亦是一隨機(jī)變量，具有一定的概率分布，其分布稱為樣本平均數(shù)的抽樣分布。a. 根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)中心極限定理，當(dāng)樣本容量n 較大時(shí)，樣本平均數(shù)的抽樣分布趨近于正態(tài)分布;b. 可以證明，當(dāng)樣本無限增多，樣本平均數(shù)的抽樣分布的期望值=

16、總體的均值，即 結(jié)論：c. 樣本平均數(shù)的抽樣誤差，可以用抽樣分布中的標(biāo)準(zhǔn)差/均方差 (稱為均方誤, Mean square error)來度量： 同理，與樣本平均數(shù)的抽樣誤差類似，樣本的 CV , CS 的抽樣誤差，可以它們相應(yīng)的抽樣分布的均方誤 來表示 。 因此，只要樣本參數(shù)的均方誤為已知的，則可以對(duì)該樣本參數(shù)的抽樣誤差可作出估計(jì)。 上式的物理意義是：若隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，則以此樣本的均值作為總體均值的估計(jì)值時(shí)，有68.3%的可能性其誤差不超過 ；有99.7%的可能性誤差不超過 。由于抽樣分布通常為正態(tài)分布，由正態(tài)分布的特性可知：如何求出各種統(tǒng)計(jì)參數(shù)的均方誤？ 當(dāng)總體為P-III型分布時(shí)，其樣

17、本各參數(shù)的均方誤計(jì)算式分別為：當(dāng)樣本容量不大時(shí)，由樣本系列直接計(jì)算CS誤差較大。說明：以上均方誤計(jì)算公式中，CV，CS分別為總體的均方差，離差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，但總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)是未知的，故可用樣本的相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)代替。結(jié)論： (1) 樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)抽樣誤差隨樣本的均方差、離差系數(shù)CV及偏態(tài)系數(shù)CS的增大而增大； (2) 樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)抽樣誤差隨樣本的容量n的增大而減少。 依據(jù)(2)可知水文計(jì)算常用延長(zhǎng)系列增加項(xiàng)數(shù)n的方法，增加對(duì)總體的代表性越好，來減少抽樣誤差。五、水文頻率計(jì)算適線法 Curve fitting method適線法（配線法）：是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)

18、擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，是我國(guó)估計(jì)洪水頻率曲線等統(tǒng)計(jì)參數(shù)的主要方法。適線準(zhǔn)則目估適線優(yōu)化適線以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們選配一條符合較好的理論頻率曲線，以此來估計(jì)水文要素總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的方法。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)與理論曲線擬合的好壞全憑人們的目測(cè)來判斷，因此，估計(jì)結(jié)果往往因人而異。離差平方和最小準(zhǔn)則(OLS)離差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則(ABS)相對(duì)離差平方和最小準(zhǔn)則(WLS)五、水文頻率計(jì)算適線法 Curve fitting method六、目估適線法已知：經(jīng)驗(yàn)頻率分布， 求：總體分布參數(shù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率假定一

19、組參數(shù)選定線型理論頻率曲線具體求解步驟：根據(jù)實(shí)測(cè)樣本資料（n）進(jìn)行點(diǎn)繪縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(X x)，經(jīng)驗(yàn)頻率按下式計(jì)算：假定一組參數(shù) ， 可選用矩法的估值作為 的 初始值; 一般不求CS，假定 ，K為比例系數(shù)，可選 K1.5, 2, 2.5, 3.目估適線法的步驟已知：經(jīng)驗(yàn)頻率分布， 求：總體分布參數(shù)根據(jù)初選的參數(shù) ，由P-III型曲線離均系數(shù)值(附表1)或P-III型曲線模比系數(shù)KP 值表(附表2)，計(jì)算xp值，求出 xP P 的頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)(主要調(diào)整CV 及K=CS /CV )，重復(fù)以上

20、的步驟，重新配線；選定線型，對(duì)于水文的隨機(jī)變量，一般選P-III型;根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應(yīng)的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。求出指定頻率 P 的水文特征值XP。PxP 適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù) 理論頻率曲線為避免修改參數(shù)的盲目性，應(yīng)了解參數(shù) 對(duì)頻率曲線形狀的影響：a) 值愈大，頻率曲線位置愈高；x PPPx PPx Pc) CS 值愈大，頻率曲線上段變陡，下段變緩，中部向左偏。b) CV 值愈大，頻率曲線愈陡；CV=0七、優(yōu)化適線法 在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線

21、的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的方法。優(yōu)化適線法準(zhǔn)則： 離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）（最小二乘法） 離差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則（ABS） 相對(duì)離差平方和最小準(zhǔn)則（WLS）離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）（最小二乘法）： 使經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)和同頻率的頻率曲線縱坐標(biāo)之差的平方和達(dá)到最小。即使目標(biāo)函數(shù)：取極小值，即：欲使S(Q)為最小，則要使一、相關(guān)關(guān)系的概念 水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究二個(gè)或二個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)關(guān)系。目的：研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系。例如：降雨與徑流之間、上下游洪水之間、水位與流量之間等。第二節(jié) 相關(guān)分析水文計(jì)算中的應(yīng)用：資料的展延、水文預(yù)報(bào)等。必須注意的問題：必須

22、先分析變量在成因上是否有聯(lián)系，不能在兩個(gè)毫不相關(guān)的變量之間硬湊出相關(guān)關(guān)系。第二節(jié) 相關(guān)分析 如果兩個(gè)變量x, y，其中變量x 的每一個(gè)值，變量y都有一個(gè)或多個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)，而且x, y成函數(shù)關(guān)系，即x, y的關(guān)系點(diǎn)完全落在直線或曲線上， 則稱這二個(gè)變量是完全相關(guān)的。完全相關(guān)yx完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系Functional relation直線關(guān)系曲線關(guān)系二個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)系有以下三種情況：零相關(guān)YXb. 零相關(guān) (沒有關(guān)系) Unrelated如果兩個(gè)變量x, y之間互不影響互不相關(guān)，則稱這二個(gè)變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x, y的關(guān)系點(diǎn)毫無規(guī)律，十分分散。yx如果兩個(gè)變量x, y之間關(guān)系介于以上二者之

23、間，x, y的關(guān)系點(diǎn)雖有點(diǎn)分散，但有明顯的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達(dá)式進(jìn)行擬合。則稱這二個(gè)變量關(guān)系為: 統(tǒng)計(jì)相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)相關(guān)c. 統(tǒng)計(jì)相關(guān)【相關(guān)關(guān)系】Statistic relation確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以相關(guān)方程或回歸方程( Regression equation)表示，用以由已知變量推求未知變量；判斷二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度,用相關(guān)系數(shù)的參數(shù) (Osculation degree)來表示。 故水文計(jì)算中常利用二個(gè)長(zhǎng)短的水文系列的相關(guān)關(guān)系對(duì)短的水文系列進(jìn)行延長(zhǎng)和插補(bǔ)。水文計(jì)算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：曲線相關(guān)直線相關(guān) 水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱

24、簡(jiǎn)相關(guān)，有時(shí)也要處理三個(gè)或三個(gè)以上變量關(guān)系，稱為復(fù)相關(guān)。簡(jiǎn)相關(guān)可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。一、簡(jiǎn)相關(guān)設(shè)xi 和yi 代表兩系列的觀測(cè)值共有n對(duì)；將對(duì)應(yīng)點(diǎn)繪于方格紙上，如果點(diǎn)群分布平均趨勢(shì)為一直線，通過點(diǎn)群中心目估繪出一條直線，在圖上量出直線的斜率a和截距b，直線方程: y=a+bx（）回歸方程及其誤差分析 圖解法該方法簡(jiǎn)便實(shí)用，而且一般情況下精度可以保證。 相關(guān)分析法若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，一般采用分析法來確定相關(guān)線的方程。設(shè)該直線方程形式為： y = a+bx式中，x：自變量(Independent variable) y ：倚變量(Dependent var

25、iable) a, b ：為常數(shù)，需要通過實(shí)測(cè)相關(guān)點(diǎn)來確定。 相關(guān)點(diǎn)與配合直線在縱軸方向必然存在離差。配合直線與觀測(cè)點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy離差y 要求配合直線與所有的觀測(cè)點(diǎn)能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測(cè)點(diǎn)的離差y 的平方和為最小，即：注：式中符號(hào)為 的簡(jiǎn)寫形式分別對(duì) a, b 求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：求解上列兩聯(lián)立方程式，可得： 稱相關(guān)系數(shù)，可用以判斷x、y相關(guān)的密切程度。式中， ：分別為x, y 系列的均方差/標(biāo)準(zhǔn)差; ：分別為x, y 系列的平均值; ：x, y 系列的偏差系數(shù)(按不偏估計(jì)公式計(jì)算): ：相關(guān)系數(shù); Kxi ，Kyi：分別為xi , yi系列的模比系數(shù):上式即為y

26、 倚x 的回歸方程，其曲線稱為回歸線/相關(guān)線(僅是對(duì)點(diǎn)據(jù)擬合最佳一條線)，亦可表示為：回歸線的誤差回歸線只反映兩變量間的平均關(guān)系。按此關(guān)系推求的y和實(shí)際值之間存在著誤差，用均方誤表示。 相關(guān)系數(shù)誤差總體不相關(guān)（r =0）的兩變量，由于抽樣原因，樣本的相關(guān)系數(shù)不一定等于零。為此，需要對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。 相關(guān)分析的誤差 變量間應(yīng)具有成因聯(lián)系； 同期觀測(cè)資料不能太少，一般要求n在10或12以上，否則誤差太大； 相關(guān)系數(shù)大于0.8，此時(shí)認(rèn)為相關(guān)性密切； 用到直線無實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)部分，要慎重。相關(guān)分析應(yīng)注意的問題：則上式可寫成： - 直線關(guān)系故可按直線相關(guān)的方法求Y倚X的回歸方程，再還原成 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系二、曲線相關(guān)1)