微分方程以及其定解條件等效積分

1、關(guān)于微分方程及其定解條件等效積分第一張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個(gè)典型的問題弦振動(dòng)問題的微分方程及定解條件傳熱問題的微分方程及定解條件位勢(shì)方程及定解條件第二張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月弦是一種抽象模型，工程實(shí)際中，可以模擬繩鎖、電纜等結(jié)構(gòu)，如遠(yuǎn)距離輸電線路、一些橋梁的懸索、拉鎖等；幾何上可以用一條線段（不一定是直線段）來表示弦。這里所說的弦的振動(dòng)是弦的微小橫振動(dòng)，一定長(zhǎng)度的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下做微小橫振動(dòng)，弦的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，弦的各點(diǎn)位移與平衡位置垂直第三張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月弦的長(zhǎng)度l，線密度為 ，弦的張力為

2、T弦振動(dòng)的微分方程為：f是垂直于平衡位置的外力第四張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月這個(gè)微分方程雖然描述了弦振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但單純依靠這個(gè)微分方程，我們還不能唯一確定弦的振動(dòng)，必須給出定解條件，定解條件主要有兩種，一種是初始時(shí)刻弦的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為初始條件：初始時(shí)刻各點(diǎn)的位移初始時(shí)刻各點(diǎn)的速度第五張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月另外一種定解條件是邊界條件，對(duì)于弦振動(dòng)問題來說給定弦的兩個(gè)端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一般來說邊界條件有三種：第一種給定弦端點(diǎn)的位移第二種給定位移梯度的端點(diǎn)值位移的梯度表示弦線的撓度第六張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第三種邊界條件是端點(diǎn)的位移和速度

3、的線性組合是一個(gè)已知函數(shù)，對(duì)于弦振動(dòng)這個(gè)邊界條件的物理意義是，弦的端點(diǎn)固定在兩個(gè)彈性支撐上，兩個(gè)彈性支撐的彈性系數(shù)為：k0，k1第七張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月以上是弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，是由微分方程與相應(yīng)的定解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣問題又稱為混合初邊問題。定解條件中只有初值條件的問題稱為初值問題。定解條件中只有邊值條件的，稱為邊值問題。第八張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月下面來看第二個(gè)典型問題：熱傳導(dǎo)問題三維非定常熱傳導(dǎo)問題的微分方程為：物體的比熱容物體的密度物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)物體內(nèi)部熱源強(qiáng)度第九張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月與弦振動(dòng)問題類

4、似，要想確定物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)，除了上面那個(gè)微分方程以外，還需要定解條件，定解條件也包括兩種：初值條件和邊值條件初值條件，是初始時(shí)刻物體的溫度場(chǎng)邊值條件也有三種第十張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第一種：給定邊界的溫度第二種：給定邊界的熱流量第三種：給定邊界的熱流量和溫度線性組合第十一張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月下面來看第三個(gè)典型問題：位勢(shì)方程在三維熱傳導(dǎo)問題中，如果溫度不隨時(shí)間變化，即定常熱傳導(dǎo)，三維熱傳導(dǎo)方程可以寫為假定物體是均勻的，那么這個(gè)方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化這個(gè)方程又稱為泊松（Poisson）方程第十二張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月再進(jìn)一步，如果均勻物體

5、中沒有熱源，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為這就是我們熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡爾坐標(biāo)系下的形式，下面給出它們的算子形式，它們?cè)谄渌鴺?biāo)也成立系泊松方程拉普拉斯方程第十三張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月其中，在笛卡爾坐標(biāo)系下：稱為哈密頓（Hamilton）算子稱為拉普拉斯算子第十四張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月從上面的算子表達(dá)式，再回憶我們學(xué)過的高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，哈密頓算子運(yùn)算的結(jié)果，是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)，而反過來說，如果一個(gè)向量場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，這個(gè)向量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)，這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù)在定常熱傳導(dǎo)問題中，

6、溫度場(chǎng)的梯度為也就是說，這個(gè)向量場(chǎng)是溫度場(chǎng)的梯度，是一個(gè)有勢(shì)場(chǎng)而溫度場(chǎng)是這個(gè)有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù)，這就是泊松方程和拉普拉斯方程稱為位勢(shì)方程的原因第十五張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在我們來看位勢(shì)方程的定解條件。由于待求變量與時(shí)間無關(guān)，不需要初值條件因此位勢(shì)方程的定解條件類似三維熱傳導(dǎo)方程的三種邊界條件，第十六張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在我們來回顧一下剛才介紹的幾個(gè)微分方程第十七張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第一個(gè)微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是2，如果做移項(xiàng)整理這個(gè)方程的形式和雙曲線方程的形式很類似這類的方程又稱為雙曲型微分方程第十八張，PP

7、T共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月再看第二個(gè)方程，現(xiàn)在加上物體均勻，為了幾何上更直觀這個(gè)方程可以，我們寫出一維的情況這個(gè)方程形式和拋物線方程形式類似這類方程又稱為拋物型微分方程第十九張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月最后再看位勢(shì)方程，為了幾何直觀，我們寫成二維的情況這個(gè)方程形式和橢圓方程形式類似這類方程又稱為橢圓型微分方程第二十張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月微分方程主要就分為這三個(gè)類型：拋物型；雙曲型；橢圓型請(qǐng)大家注意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的準(zhǔn)確定義。準(zhǔn)確的定義，大家可以參考數(shù)學(xué)物理方程的有關(guān)書籍和資料有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組。第二十一張，P

8、PT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在來總結(jié)一下邊界條件，我們看到，在以上的三個(gè)典型問題的微分方程中，給定的邊界條件都有三種：第一種是給定待求函數(shù)在邊界處的數(shù)值，這種邊界條件稱為第一邊界條件、Direchlet邊界條件、強(qiáng)制邊界條件第二種是給定待求函數(shù)在邊界處梯度或方向?qū)?shù)，這種邊界條件稱為第二邊界條件、Neumann邊界條件第三種是給定邊界上待求函數(shù)及其方向?qū)?shù)的線性組合，這種邊界條件稱為第三邊界條件第二十二張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月我們總結(jié)一下這一小節(jié)的內(nèi)容描述物理過程的微分方程主要分為三個(gè)類型：橢圓型、雙曲型、拋物型有限元法特別適合求解橢圓型微分方程邊界條件主要有三種：

9、第一邊界條件（Direchlet條件、強(qiáng)制邊界條件）、第二邊界條件（Neumann條件）和第三邊界條件第二十三張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題：這小節(jié)中，三維熱傳導(dǎo)問題的微分方程和位勢(shì)方程、以及哈密頓算子 給出的都是笛卡爾坐標(biāo)下的形式，試查閱資料，并推導(dǎo)這些微分方程和算子在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式。第二十四張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月拓展前面我們看到了三個(gè)典型問題的微分方程，實(shí)際中遇到的、使用的、包括我們自己在分析問題時(shí)建立的微分方程是非常多的，為了便于研究，我們采用一種符號(hào)表示法來表示微分方程，例如：這個(gè)表達(dá)式代表任意一個(gè)微分方程，就像我們用f(x)表示任意函

10、數(shù)的道理一樣,同樣，邊界條件我們也可以用符號(hào)表達(dá)第二十五張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程并且有邊界條件這是一個(gè)微分方程和一個(gè)邊界條件，單個(gè)待求函數(shù)的情況，這種表示方法也可以拓展到微分方程組，多個(gè)待求函數(shù)和多個(gè)邊界條件的情況。第二十六張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月可以用向量符號(hào)來表示待求解函數(shù)、微分方程組和邊界條件帶求解函數(shù)向量微分方程組向量邊界條件向量第二十七張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程現(xiàn)在邊界條件有兩個(gè)，在一部分邊界上給定函數(shù)值，另一部分的邊界上給定函數(shù)方向?qū)?shù)，這樣第二十八張，PPT

11、共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月了解微分方程的抽象數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)理論研究是很有幫助的，因?yàn)樵谘芯课⒎址匠痰囊话阈再|(zhì)或推導(dǎo)一些微分方程的一般規(guī)律時(shí)，我們不可能對(duì)每個(gè)微分方程都推導(dǎo)一遍，這時(shí)抽象表達(dá)是 就發(fā)揮重要作用了。下面我們就將見到一種微分方程的普遍規(guī)律或者說普遍的變換形式等效積分形式第二十九張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月雖然是要推導(dǎo)一個(gè)普遍規(guī)律，但為了便于說明，我們還是從一個(gè)簡(jiǎn)單的特例出發(fā)，這個(gè)特列就是剛才提到的二維拉普拉斯方程及其邊界條件第三十張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月這個(gè)二維拉普拉斯方程的求解域是一個(gè)平面區(qū)域在求解域內(nèi)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)拉普拉斯方程也是成立的，也就是如

12、果方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)小區(qū)域的面積，結(jié)果會(huì)是這樣第三十一張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)想把求解域劃分成若干個(gè)小區(qū)域，也就是說求解域的面積等于這些小區(qū)域面積和對(duì)于每一個(gè)小區(qū)域來說，剛才的推導(dǎo)也是成立的現(xiàn)在我們把它對(duì)所有小區(qū)域求和第三十二張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在我們把它對(duì)所有小區(qū)域求和再進(jìn)一步，如果我們?nèi)〉男^(qū)域趨向無窮小，也就是回憶一下，高等數(shù)學(xué)中定積分的概念，立刻就可以得到對(duì)于邊界條件我們同樣可以做類似的分析第三十三張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月上面的積分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其邊界條件成立，拉普拉斯方程從以下這個(gè)角度看待現(xiàn)在，我們把1換

13、成其他的，任意的函數(shù)，同樣成立對(duì)于邊界條件也可以這樣按照剛才的思路，同樣可以得到一個(gè)積分等式第三十四張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月這個(gè)方程與拉普拉斯方程及其邊界條件是等效的，也就是說，只要拉普拉斯方程成立這個(gè)積分式就成立，反過來只要這個(gè)積分式成立，拉普拉斯方程及其邊界條件就成立。這就是拉普拉斯方程及其邊界條件的等效積分形式。我們可以把它推廣到一般情況。第三十五張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在，我們來看一般的微分方程組的情況，之前曾介紹過，微分方程組及其邊界條件可以表示為：像上面拉普拉斯方程等效積分形式分析的過程一樣，對(duì)微分方程組中每一個(gè)微分方程，以下的積分都是成立的都

14、是任意的函數(shù)，把這些積分加起來第三十六張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于邊界條件也一樣，只是積分是沿邊界積分上面這兩個(gè)積分，我們可以寫成矢量形式這兩個(gè)積分加起來，就得到想要得到的結(jié)果了第三十七張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月這就是微分方程組等效積分形式的一般式，它與原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程為例進(jìn)行討論的情況一樣。微分方程（組）的等效積分形式，是有限元方法的理論基礎(chǔ)之一，推導(dǎo)有限元求解方程的方法之一就是從微分方程（組）的等效積分出發(fā)，由于與原微分方程的等效性，從而保證了有限元求解的正確性。第三十八張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月上面分析中對(duì)等效積

15、分中使用的任意函數(shù)以及微分方程的解的性質(zhì)沒有做出任何限定，事實(shí)上，對(duì)它們是有一定限制的，那就是它們應(yīng)該使得等效積分式中的被積函數(shù)具有可積性或者說使積分能夠進(jìn)行計(jì)算在這個(gè)積分式中， 要使這個(gè)積分存在，不能出現(xiàn)無窮大的情況第三十九張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月要達(dá)到這個(gè)目的，就要對(duì) 做出一些限制對(duì) ，由于是我們可以選擇的函數(shù)，那就選擇那些單值，且在求解域和求解域邊界上可積分的函數(shù)就可以對(duì) ，雖然是待求解，我們也可以定性的給出它的一個(gè)性質(zhì)，它的選擇要根據(jù)微分方程的階數(shù)來選擇，如果微分方程（組）中最高微分階次為n，那么待求解必然是一個(gè)具有n-1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，這樣的函數(shù)也稱為具有Cn-1連續(xù)

16、性。這可以用于指導(dǎo)近似解或近似函數(shù)的選擇。第四十張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月微分方程的最高階數(shù)對(duì)待求解提出了要求，但這種要求有時(shí)過于苛刻，例如下面這個(gè)微分方程：這個(gè)微分方程的等效積分若可以計(jì)算，則要求待解函數(shù)具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。這個(gè)要求太過嚴(yán)格，實(shí)際上只要待求解函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，這個(gè)微分方程就已經(jīng)得到滿足了，只需二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)就可以了，如果能有辦法降低偏微分方程的階數(shù)，就可以降低對(duì)待求解函數(shù)連續(xù)性的要求了。第四十一張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月從微分方程等效積分形式出發(fā)，如果要降低等效積分中微分方程的階數(shù)要怎么辦呢？通過分步積分的方法可以降低等效積分中微分方程的階

17、數(shù)，代價(jià)是對(duì) 進(jìn)行微分，等于說降低對(duì)待求函數(shù)的要求，卻提高了對(duì) 連續(xù)性的要求。第四十二張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月我們用一個(gè)一維問題的微分方程來說明這個(gè)問題。一個(gè)微分方程這個(gè)微分方程的等效積分形式要求待求解函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在對(duì)二階導(dǎo)數(shù)部分進(jìn)行分步積分第四十三張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)過這樣的分步積分之后，對(duì)待求函數(shù)的要求由原來的具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，下降為連續(xù)可導(dǎo)，而對(duì)函數(shù)v的要求則有原來的單值可積提高為連續(xù)可導(dǎo)。對(duì)于二維、三維的情形，分步積分可能復(fù)雜一些，但基本思想是一致的，現(xiàn)在把這種思想拓展到一般情況。第四十四張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月類

18、似之前用符號(hào)表達(dá)微分方程一樣，我們把對(duì) 中每一個(gè)函數(shù)的微分運(yùn)算用一個(gè)符號(hào)來表示，那么等效積分分步積分后的表達(dá)式可以寫為：這就是等效積分的“弱”形式對(duì)于二維和三維的情況，直接從分步積分的方法推導(dǎo)等效積分的“弱”形式，可能有些困難，可以利用數(shù)學(xué)分析中“格林公式”和“高斯公式”推導(dǎo)。第四十五張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月最后還有一個(gè)小問題，在等效積分“弱”形式的推導(dǎo)過程中，由于分步積分，一方面使得在積分項(xiàng)中待求函數(shù)的最高微分階數(shù)降低了，同時(shí)還產(chǎn)生了另外一項(xiàng)例如，之前介紹的一維問題里面第一項(xiàng)，就是由于分布積分而產(chǎn)生的，一般來說，這一項(xiàng)往往可以合并掉或者消去，因此在等效積分“弱”形式的一般表

19、達(dá)式里，并沒有專門寫出這一項(xiàng)。第四十六張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月總結(jié)與思考請(qǐng)大家理解用一般符號(hào)表示微分方程及邊界條件的方法請(qǐng)大家理解微分方程等效積分的概念，弄清楚為什么等效積分與微分方程及其邊界條件是等效的請(qǐng)牢記，微分方程及其邊界條件的等效積分是有限元的重要理論基礎(chǔ)微分方程等效積分“弱”形式是從何而來，它與等效積分有什么關(guān)系？等效積分“弱”形式較之等效積分有什么好處？就是為什么要推導(dǎo)等效積分“弱”形式第四十七張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例題：二維導(dǎo)熱微分方程及其邊界條件的等效積分及等效積分“弱”形式。第四十八張，PPT共五十五頁，創(chuàng)作于2022年6月這個(gè)例子中，第一個(gè)邊界條件，我們已經(jīng)知道這是第一邊界條件或Direchlet邊界條件，在有限元