推理與證明(教材分析)

1、鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教材分析第2章推理與證明江蘇省揚州中學(xué)張乃達目標(biāo)定位：1推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方法和過去的教學(xué)內(nèi)容（例如函數(shù)）相比，在本章中是把基本的數(shù)學(xué)（思維）方法（而不是某個數(shù)學(xué)對象）作為正面研究對象的因此，本章的學(xué)習(xí)過程，是中學(xué)生第一次對數(shù)學(xué)活動過程的正面的系統(tǒng)的審視這就是我們對本章教學(xué)活動的定位2推理方法與證明方法是從思維活動中抽象出來的，是由數(shù)學(xué)思維過程凝縮而成的“對象”我們不能離開數(shù)學(xué)思維活動來談?wù)摂?shù)學(xué)思維方法，不能滿足于把數(shù)學(xué)方法看成是既定的程序、步驟和規(guī)則，不能滿足于對方法做靜態(tài)的邏輯的分析（這正是過去傳統(tǒng)的教材中

2、所強調(diào)的），而應(yīng)當(dāng)從（數(shù)學(xué)）活動本身，特別是從數(shù)學(xué)活動的過程來考察推理方法和證明方法建構(gòu)的過程，以及這些方法是如何被運用到數(shù)學(xué)活動中成為“活”的方法的？應(yīng)當(dāng)著重于體會方法的特點、聯(lián)系和作用（這正是傳統(tǒng)教材中忽略的，而在蘇教版教材中特別強調(diào)的）這樣一來，考察和研究數(shù)學(xué)思維過程就應(yīng)該成為本模塊學(xué)習(xí)的出發(fā)點和歸宿了3與數(shù)學(xué)知識（如概念）的建構(gòu)不同，在數(shù)學(xué)方法建構(gòu)的過程中，數(shù)學(xué)思維活動過程本身就是被考察的對象并提供了抽象的原型例如，在本章的引言中，教材就是通過對“摸球中的思維過程”的分析，抽象出推理、證明方法的在這里，摸球中的思維過程本身就成為抽象的原型！正是這樣的特點，決定了在有關(guān)“方法”的教學(xué)必須

3、建立在對數(shù)學(xué)思維活動做“正面”考察的基礎(chǔ)之上4課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：設(shè)置本模塊的目的是讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，對合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明的方法進行概括與總結(jié)，進一步體會合情推理、演繹推理以及兩者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)思維能力，形成對數(shù)學(xué)較為完整的認識課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求決定了本章中對思維過程的考察與分析應(yīng)該是系統(tǒng)的，因為只有進行系統(tǒng)的考察才能讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)較為完整的認識，才能通過對各種方法的比較，掌握各種方法的特點、作用以及它們之間的關(guān)系，更好地把它們運用到

4、數(shù)學(xué)活動中去5本章具體的教學(xué)目標(biāo)是：（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含意，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（2）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單的推理（3）通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異（4）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點（5）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過程和特點（6）通過對實例的介紹（如歐基里德幾何原本、馬克思資

5、本論、杰弗遜獨立宣言、牛頓三定律），體會公理化思想（7）了解計算機在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用教材解讀：1根據(jù)對本章教學(xué)的基本定位，為了幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)思維過程作系統(tǒng)的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科書為學(xué)習(xí)活動設(shè)置了數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)活動的大背景，大框架（注意引言的作用），在分別闡述了歸納、類比、演繹等推理方法以后，又專門設(shè)置了一節(jié)“推理案例賞析”所有這些，都為對思維過程進行系統(tǒng)的考察提供了條件（2）教科書充分地利用案例，通過案例（這些案例大多是從學(xué)生學(xué)習(xí)過的材料中選取的）提供數(shù)學(xué)思維活動的素材，把案例當(dāng)成學(xué)習(xí)活動的出發(fā)點和載體，把案例分析看成是教學(xué)活動的主要形式因為惟有如此，才能使學(xué)

6、生進行深刻的思考（反思），對思維活動過程做“正面的”審視（3）教科書注意對思維活動過程做適度的形式化概括因為惟有如此，才能把對思維過程分析的成果固定下來，形成數(shù)學(xué)方法并運用到思維活動中去以上各點可以從第一節(jié)合情推理與演繹推理的展開框圖中看出：引言：對探索活動（摸球）的分析中心問題：我們怎樣推理？我們怎樣證明？提供推理案例：上述幾個推理各有什么特點？研究更多案例概括：歸納推理的形式（過程）、特點、作用概括：類比推理的形式（過程）、特點、作用概括：演繹推理的形式（過程）、特點、作用概括：合情推理的特點、作用概括：演繹推理的特點、作用對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動的考察（典型案例賞析）合情推理與演繹推理之間有什么聯(lián)

7、系和差異？合情推理與演繹推理是怎樣推動數(shù)學(xué)探索活動的？2和其他模塊相比，在本章中，案例分析更具有舉足輕重的作用因為除了案例分析，我們實在找不到更好的方法為學(xué)生提供“數(shù)學(xué)活動過程”，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動中來體驗數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)的過程，看到活生生的數(shù)學(xué)方法因此，案例分析應(yīng)該成為本模塊教學(xué)的出發(fā)點和載體，為考察和分析數(shù)學(xué)活動過程提供素材和討論的平臺，同時，案例分析也應(yīng)該是教學(xué)活動的主要手段教學(xué)方法與教學(xué)建議：1在教學(xué)中不僅要重視對推理方法和證明方法的特點進行（靜態(tài)）分析，更要重視這些方法被抽象出來的過程，通過對數(shù)學(xué)活動過程的分析來認識它們的特點和作用（即對它們做動態(tài)的考察）從而正確地理解和運用這些方法，

8、達到從整體上提高數(shù)學(xué)思維能力的目的2本章所學(xué)習(xí)的大部分內(nèi)容如：合情推理、演繹推理、證明方法（包括反證法）都是學(xué)生熟悉的，他們早就在自覺或不自覺地把這些方法運用于學(xué)習(xí)與生活當(dāng)中了在教學(xué)中要注意從學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例出發(fā)，喚起學(xué)生的經(jīng)驗，找到知識的生長點，這是學(xué)生學(xué)習(xí)和理解本章內(nèi)容的基礎(chǔ)3在教學(xué)中，要通過對學(xué)生真實的思維過程和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動的典型案例的分析，讓學(xué)生形成反思的意識，養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣4教學(xué)的重點應(yīng)該是對基本的數(shù)學(xué)方法的理解和運用.首先是對“推理”和“證明”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中的作用.這就要求學(xué)生從整體上認識本章所介紹的數(shù)學(xué)方法.如在“合情推理和演繹推理”的教學(xué)中，應(yīng)通過實例，

9、引導(dǎo)學(xué)生運用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想教學(xué)的重點在于通過具體實例理解合情推理與演繹推理（它們的作用、特點、關(guān)系），理解數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，而不必追求對概念的抽象表述在證明方法的教學(xué)中，應(yīng)通過實例，引導(dǎo)學(xué)生認識各種證明方法的特點，掌握這些方法的思考過程，體會證明的必要性，而對證明的技巧性不宜作過高的要求5數(shù)學(xué)的推理方法和證明方法，不僅運用在數(shù)學(xué)中，而且在生活中的其它領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用在教學(xué)中要引用生活中和其它學(xué)科中的例子，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，認識數(shù)學(xué)的文化價值6公理化思想和機器證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值在教學(xué)

10、中要讓學(xué)生體會公理化思想中蘊涵的理性精神，和機器化證明中的算法思想下面是具體的教學(xué)建議，供參考 引言1華羅庚教授“摸球”的例子，為推理與證明的學(xué)習(xí)提供了一個大的背景它具有豐富的教學(xué)意義在教學(xué)中不僅應(yīng)該讓學(xué)生體會到，“推理”與“證明”是構(gòu)成探索活動的兩個最基本的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會到，探索活動是一個不斷的“提出猜想驗證猜想再提出猜想再驗證猜想”的過程，而且應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生體會到永不休止的探索精神正是理性精神的表現(xiàn)！而數(shù)學(xué)家就是通過不斷地提出猜想、證明猜想來進行探索活動的！2引言中提出的兩個問題（我們怎樣進行推理？我們怎樣驗證（證明）結(jié)論？）是本大節(jié)的中心問題本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容就是依據(jù)它展開的21合情推理與演繹

11、推理1合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)活動中常用的兩種推理形式，它們具有不同的形式、特點和作用本節(jié)先分別研究它們的特點和作用，然后再通過對具體的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的分析，進一步體會它們之間的聯(lián)系，在具體的數(shù)學(xué)思維過程中感受它們的作用2演繹、歸納、類比是學(xué)生熟悉的推理方式教材列舉了3個例子，開始了對這些推理形式的考察教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出更多的例子3通過揭示三個推理案例的共同點概括出“推理”的概念并根據(jù)它們在結(jié)構(gòu)上的不同特點，進行分類研究，這個過程雖然簡單，卻體現(xiàn)了案例分析是本章教學(xué)的主要形式的特點211 合情推理1合情推理是由G波利亞提出的概念他通過對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動的分析注意到數(shù)學(xué)活動是由“猜想”和“論證”兩個

12、環(huán)節(jié)構(gòu)成的，相應(yīng)地在這兩個不同的環(huán)節(jié)里使用著不同的思維方法，即合情推理與論證推理（教科書中稱為演繹推理）G波利亞并沒有為合情推理下定義實際上，在教學(xué)中，只要讓學(xué)生把合情推理看成是提出猜想的推理而演繹推理是可以給出證明的推理就行了據(jù)此，教科書按照G波利亞的思路，編寫了引言，突出了對探索活動的分析，突出了“猜想”和“證明”兩個重要的思維環(huán)節(jié)，而對合情推理的定義作淡化處理（只在閱讀材料中提了一下）（課程標(biāo)準(zhǔn)給合情推理作了如下定義：合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某地結(jié)果的推理過程）2歸納、類比是合情推理的兩種常用的形式，除此

13、以外，合情推理還有其他的多種形式，如：聯(lián)想、想象、直覺等等2111歸納推理1歸納推理是學(xué)生熟悉的推理方式和過去不同，在本節(jié)中，我們專注于推理的形式，而不關(guān)注推理的內(nèi)容，即專門對推理的形式進行考察，考察的重點則是歸納推理的特點和它的作用2歸納推理的一般模式為： S1具有P， S2具有P， Sn具有P（S1，S2，Sn是A類事物的對象） 所以，A類事物具有P教學(xué)中可以介紹給學(xué)生3“思考”要求列舉更多的有關(guān)歸納推理的例子，下面的例子可供參考（1）觀察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + + (

14、2n 1) = n2（2）1640年，費馬在給友人的信中談到：2eq sup5(20) + 1 = 3，2eq sup5(21) + 1 = 5，2eq sup5(22) + 1 = 17，2eq sup5(23) + 1 = 257，2eq sup5(24) + 1 = 65 537都是素數(shù)，由此，他猜想：任何形如2eq sup5(2n) + 1（n N）的數(shù)（通常稱為費馬數(shù)，記作Fn）都是素數(shù)此后，一直未有人懷疑過這個結(jié)論直到1732年，歐拉發(fā)現(xiàn)F5 = 2eq sup5(25) + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素數(shù)，才推翻費馬的猜想此例還說明，

15、在歸納推理中，根據(jù)同一個前提，可以推出不同的結(jié)論：當(dāng)n 1時，F(xiàn)n的末位數(shù)字是7（猜想）2要讓學(xué)生體會到歸納不僅是一種方法，而且體現(xiàn)了一種態(tài)度歐拉說：把歸納看成是一種機會，“以便證明它或推翻它”，這就是我們對待歸納的態(tài)度，而歸納的價值就在于“在這兩種情況之中我們都會學(xué)到一些有用的東西”可以看出，歸納的態(tài)度就是探索的態(tài)度，這一點在華羅庚的“摸球”游戲中也得到了充分的體現(xiàn)要讓學(xué)生體會到，探索活動是在猜想的推動下進行的，沒有猜想就沒有探索！而歸納的價值就在于它是提出猜想的一種方法！3在歸納推理中，根據(jù)同一個的前提，往往可以推出不同的結(jié)論例如從例4中的推理前提出發(fā)，也可以得到當(dāng)n1時，F(xiàn)n的末位數(shù)字是

16、7的結(jié)論（猜想）4完全歸納法（和數(shù)學(xué)歸納法類似）實質(zhì)上是一種演繹推理，它是一種必然性推理，是數(shù)學(xué)證明的工具，因此它不屬于合情推理2112類比推理1類比推理是學(xué)生熟悉的推理方式和過去不同，在本節(jié)中，我們專注于推理的形式，而不關(guān)注推理的內(nèi)容，即專門對推理的形式進行考察2類比推理的一般模式為： A類事物具有性質(zhì)a，b，c，d， B類事物具有性質(zhì)a，b，c，（a，b，c與a，b，c相似或相同） 所以，B類事物可能具有性質(zhì)d教學(xué)中可以介紹給學(xué)生3例1是根據(jù)等式的性質(zhì)類比不等式的性質(zhì)4例2可以看成是系統(tǒng)間的類比用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度來看，類比就是兩個具有同構(gòu)關(guān)系的模型間的推理數(shù)學(xué)（科學(xué)）發(fā)現(xiàn)活動中的類比絕大多數(shù)

17、都是這類類比在教學(xué)中要注意對類比過程的分析5類比可以看成是從已知的相似性，推斷未知的相似性的推理在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對類比的過程進行分析，弄清在推理中究竟是從哪些已知的“相似性”推出什么樣的未知的“相似性”的6在運用類比推理時，首先要找出兩類對象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個猜想；最后，檢驗這個猜想在教學(xué)中不要滿足于對對象相似性的模糊認識，要堅持把它們的相似性用語言確切地表述出來只有這樣，才能把類比和“比喻”區(qū)別開來212 演繹推理1演繹推理是一種重要的推理形式，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)在廣泛地使用它，在教學(xué)中，要讓學(xué)生體會到演繹

18、推理是嚴格按照邏輯法則進行的推理，是必然性推理的特點2三段論是演繹推理的主要形式三段論有多種格式，教科書介紹了其中常用的一種，其用意在于讓學(xué)生體會到演繹推理是一種形式化程度相當(dāng)高的推理，而不是正面講“三段論”，因此，在教學(xué)中不必拓展補充3除了三段論以外，演繹推理還有直接推理，關(guān)系推理、聯(lián)言推理、假言推理、選言推理等多種形式4三段論也有多種形式，三段論的依據(jù)是不言自明的三段論公理：一類事物的全部是什么或不是什么，那么這類事物的部分也是什么或不是什么對此教科書中用集合論的語言和圖形作了說明，其目的是幫助學(xué)生理解三段論（教學(xué)中不必提出三段論公理）5三段論推理在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用，特別是在理論初建或概

19、念性質(zhì)運用的初期但是數(shù)學(xué)推理過程不全是三段論組合，直接用三段論推理的并不多，有些數(shù)學(xué)證明過程（如教科書中例2），雖然可以歸結(jié)為三段論的組合，但卻太為繁瑣了，所以并不實用6數(shù)學(xué)并不等同于邏輯，它已獨自發(fā)展幾千年，尤其是它的符號系統(tǒng)，使得它有自身的一套簡單的推理形式或規(guī)則，盡管它能用三段論解釋，但大可不必去追溯它的三段論本源因而在數(shù)學(xué)中，直接選定了若干演繹推理的規(guī)則如：“如果，P真，則q真”、“如果，則”（三段論的“數(shù)學(xué)形式”）等等（如課本中例2的證明就使用了這些規(guī)則）應(yīng)該告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)中的運算也是演繹推理的一種形式7在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)演繹推理，并不等同于學(xué)習(xí)形式邏輯或數(shù)理邏輯，課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，本小節(jié)的學(xué)

20、習(xí)目標(biāo)是，“體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單的推理”，相信注意到這些，就可以理解教科書的編寫意圖，并掌握教學(xué)的分寸了8在敘述演繹推理的特點時，要和歸納、類比的特點對照，讓學(xué)生理解它們是兩類不同的推理9教科書中說“演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少創(chuàng)造性”，這并不是說，演繹推理就完全沒有發(fā)現(xiàn)功能，更不是說演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中沒有作用為了讓學(xué)生全面認識演繹推理在發(fā)現(xiàn)活動中的作用，教科書提供了閱讀材料：“海王星的發(fā)現(xiàn)和探索性演繹法”，這個材料對全面準(zhǔn)確地理解演繹推理在探索活動中的作用是很有幫助的213推理案例賞析1推理案例賞析是推理方法的綜合應(yīng)用，是對推

21、理方法更深層次的考察這樣，教科書就為推理的教學(xué)提供了一個“總分總”的結(jié)構(gòu)，而本小節(jié)正是后一個“總”它引導(dǎo)學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對各種推理方法做綜合的動態(tài)的考察，幫助學(xué)生體會不同推理方法的特點和聯(lián)系，感受它們在數(shù)學(xué)思維過程中的作用2在教學(xué)中，要注意對思維過程的分析課本中提供的思維過程只是幾種典型的解決問題的思路面對著這些問題，學(xué)生可能會有更多的想法，應(yīng)該鼓勵學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ǎφn本中的思考過程做出評價3關(guān)于例1的教學(xué)（1）“提出問題”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中重要的環(huán)節(jié)教學(xué)中要注意分析提出問題的過程在例1和例2中，都是通過類比提出研究課題的（2）課本中的思路1是“歸納的方案”，總的說，它是通過歸納提

22、出猜想的但是應(yīng)該注意到，作為歸納基礎(chǔ)的“表”中的每個數(shù)據(jù)都是由運算提供的，也就是說，演繹提供了歸納的基礎(chǔ)所以說：在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，演繹起到了類似“實驗”的作用，在這里演繹為歸納提供了前提（3）在“歸納的方案”中，解題者原本希望從表2-1-5中歸納出一般結(jié)論，可是卻失敗了，但是正是失敗引導(dǎo)他嘗試計算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路要讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)活動都是具有嘗試的性質(zhì)的，失敗是經(jīng)常會遇到的，所以常說“失敗是成功之母”通過教學(xué)要讓學(xué)生體會到，對思維過程進行調(diào)控的重要性對此，在“思路2”和例2中，都有體現(xiàn)教學(xué)中，要讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)過程是一個曲折的艱苦的過程，認識到思維調(diào)控的重要性（4

23、）嘗試計算S1（n）和S2（n）的比，是導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，這個念頭是由“聯(lián)想”激發(fā)的聯(lián)想也是合情推理的一種方法（5）思路2是一個“演繹的方案”，但這并不是說，在這個方案中沒有使用合情推理的方法，相反地，應(yīng)該說合情推理在這個方案中同樣起了關(guān)鍵的作用比如，這個方案中的“初始念頭”“嘗試用直接相加的方法求出自然數(shù)的平方和”就是由合情推理提供的（6）在思路2的教學(xué)中，設(shè)置了“（2）從失敗中汲取有用的信息，進行新的嘗試”的環(huán)節(jié)，是為了讓學(xué)生體會到思維調(diào)控的重要性，注意對思維過程的分析，進而養(yǎng)成反思的習(xí)慣（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我們也應(yīng)該可以用類似的方法求出S2（n）”，這也是一個猜想

24、，它是由類比得到的4關(guān)于例2的教學(xué)（1）例2通過具體的問題對類比推理的方法做了更深入的介紹類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中具有十分重要的作用，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會自覺地科學(xué)地把類比方法運用到發(fā)現(xiàn)活動中去（2）把棱臺和梯形類比，開始只是模糊的念頭，通過分析，清晰地認識到它們之間的“相似性”，這時才會有科學(xué)的“類比推理”因此，“確定類比對象”和“對類比對象的進一步分析”都是重要的思維環(huán)節(jié)，是進行類比推理的前提學(xué)生在使用類比時，經(jīng)常忽略這些環(huán)節(jié)（3）驗證猜想的過程也是對猜想做調(diào)整的過程在這個過程中，合情推理仍然發(fā)揮著重要的作用教學(xué)中請注意合情推理在“驗證猜想”中的作用（4）從美感出發(fā)做出的判斷，可以稱為審美推斷本例在

25、“驗證猜想”的環(huán)節(jié)中，使用了這種方法審美推斷也是一種合情推理的方法，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中具有重要的價值通過案例的分析，應(yīng)該讓學(xué)生體會到審美在發(fā)現(xiàn)活動中的作用（5）在公式（猜想）的調(diào)整過程中，實際上使用的是“探索性演繹法”（即在猜想的基礎(chǔ)上進行的演繹推理），這可以讓學(xué)生更好地體會到“演繹推理”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中所具有的類似于“實驗”的功能5關(guān)于實習(xí)作業(yè)學(xué)生可以通過查找資料來完成實習(xí)作業(yè)例如可以引用本書提到的數(shù)學(xué)史中的例子：如歐拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以從教科書中選取案例如：“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”、“余弦定理的發(fā)現(xiàn)”、“和差化積公式的推導(dǎo)”等等通過反思，對自己的思維活動進行分析（如你是怎樣解決某個問題的

26、）6在思考以及實習(xí)作業(yè)中，教材反復(fù)提出了相同的問題，其用意是希望為學(xué)生分析思維活動時提供一個反思的框架22直接證明與間接證明教學(xué)的重點是讓學(xué)生了解直接證法與間接證法的特點，知道證明的一般步驟，能使用它們證明問題，在教學(xué)中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫21 直接證明1課本中選用的兩個例子都是學(xué)生熟知的，在數(shù)學(xué)（必修5）的基本不等式中就采用了這兩個證明現(xiàn)在教科書把它用作討論綜合法和分析法的素材，是為了讓學(xué)生能集中精力關(guān)注這兩種證明方法形式結(jié)構(gòu)上的特點和區(qū)別，進而展開對證明方法的研究2一般地，分析法和綜合法是兩種常見的思維方法，人們利用它們來尋求證明問題的思路在教科書中是把它們看成兩種證明方

27、法的（指呈現(xiàn)出來的證明過程）思維方法和證明方法當(dāng)然有微妙的差別，但是如果把“證明”看成是思維過程，這樣做也就沒有什么不可以3綜合法，從條件出發(fā)，“由因?qū)Ч?，分析法，緊抓證題目標(biāo)，“執(zhí)果索因”在實際的解題活動中，總是把兩者結(jié)合起來使用的22間接證明1反證法是一種重要的間接證法（同一法也是一種重要的間接證法）在教學(xué)中應(yīng)先讓學(xué)生弄清直接證明和間接證明的區(qū)別，然后再轉(zhuǎn)入反證法2學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何初步時，已經(jīng)使用反證法，因此他們是有經(jīng)驗的，但當(dāng)時并沒有正面介紹反證法3反證法的邏輯依據(jù)是矛盾律和排中律反證法的實質(zhì)在于：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，

28、而是從原題的反論題“既p又q”入手，由p與q合乎邏輯地推出一個矛盾結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假，斷定反論題“既p又q”為假；進而再根據(jù)排中律，兩個互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真由此肯定命題“若p則q”為真雖然學(xué)生沒有學(xué)過排中律和矛盾律，但是由于這兩個定律的“準(zhǔn)公理性”，學(xué)生還是能理解反證法的思想的，因而在教學(xué)中沒有必要提出排中律和矛盾律23 公理化思想1公理化思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的理性精神和求真意識.為了確保命題真實性,數(shù)學(xué)對命題提出了演繹證明的要求,這種要求直接導(dǎo)致公理化產(chǎn)生.教學(xué)中要讓學(xué)生體會到這一點.2.公理是“公認正確而不需證明的命題”,是“證明其它一切命題

29、的基礎(chǔ)”,是“選定”和“設(shè)置”的,都體現(xiàn)了現(xiàn)代公理法的思想,在教學(xué)中不要過多地強調(diào)公理是“經(jīng)過長期的實踐證明的”說法.3.可以建議有興趣的學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)史初步中有關(guān)非歐幾何的材料教學(xué)案例:歸納推理執(zhí)教:高建國(揚州大學(xué)附屬中學(xué))點評:張乃達(江蘇省揚州中學(xué))1.概念、技能、能力、態(tài)度我們可以從不同的層面來看歸納第一種是把它看成一個概念，這要弄清什么是推理？什么是歸納推理？這是從知識層面來看歸納的；第二種是把歸納看成是一種方法，這就要弄清怎樣進行歸納？歸納有哪幾步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，這是從技能層面來看歸納的第三種是把歸納看成是一種能力，提高學(xué)生的歸納能力歸納的能力實質(zhì)上就是分析，

30、分析到位了，思維能力提高了，歸納才能得到有價值的東西這是從能力的層面看歸納的長期以來，我們的教師大都習(xí)慣于從上面三個層次看歸納，并以此確定本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和重點，這正是習(xí)慣于從知識與能力的層面看待數(shù)學(xué)教育的體現(xiàn)！其實，如果從文化的視角來分析，就可以看到歸納還可以被看成是一種態(tài)度，一種對待事物的態(tài)度歸納的態(tài)度實際上就是探究的態(tài)度，它總是用探究者的眼光來看世界看到某些現(xiàn)象，總想從中歸納出某種規(guī)律！促使哥德巴赫提出那個著名的猜想的正是這種態(tài)度，向中學(xué)生介紹哥德巴赫猜想的目的也正是讓他們學(xué)習(xí)這種態(tài)度！這種態(tài)度正是理性精神的表現(xiàn)！也是這節(jié)課中最有教育價值的東西！通過上面的分析，對這節(jié)課應(yīng)該怎么上就清楚了

31、通過這節(jié)課當(dāng)然應(yīng)該讓學(xué)生知道什么是推理？什么是歸納？怎樣進行歸納？但是這并不是重點，其實學(xué)生早就在使用歸納的方法了，現(xiàn)在只要正面的小結(jié)一下就可以了！提高歸納的能力也不是這節(jié)課能夠?qū)崿F(xiàn)的目標(biāo)，歸納的能力，是思維能力的體現(xiàn)，它不能獨立于思維能力之外，也不是通過這節(jié)課就能實現(xiàn)的目標(biāo)！這節(jié)課的重點應(yīng)該是歸納態(tài)度的培養(yǎng)和探究精神的激發(fā)！在本節(jié)課中，執(zhí)教老師對課的定位是比較準(zhǔn)確的，較好地處理了概念、技能、能力和態(tài)度的關(guān)系滲透了歸納態(tài)度的培養(yǎng)，探求欲望的激發(fā)，讓學(xué)生體會到，在我們的周圍，到處都存在著值得探索的問題，到處都可以運用歸納的方法來提出猜想，進而展開探索的活動，這對學(xué)生理性精神的形成是很有意義的2用數(shù)學(xué)（家）的眼光看世界態(tài)度的培養(yǎng)和形成是數(shù)學(xué)文化教育所關(guān)注的問題，而用數(shù)學(xué)的眼光看世界正是數(shù)學(xué)文化教育的主要途徑從根本上說，數(shù)學(xué)（家）的眼光就是理性探索的眼光理性表現(xiàn)了人類的自信，堅信人類是可以認識世界的，是可以揭開自然的奧妙的；而探索則是理性付諸于實際的行動，是理性精神的表現(xiàn)！所以離開了探索活動的歸納只是一種游戲