新高考數(shù)學模擬卷分類匯編四期專題15《函數(shù)與導數(shù)》解答題(解析版)

1、專題15 函數(shù)與導數(shù)解答題1（2021河北衡水中學高三月考）已知：（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，試分析，的根的個數(shù).【答案】（1）（2）無實根【解析】（1）由于在上遞增得：在上恒成立，即在上恒成立令，則，故在上遞減，于是，故；（2），故在上遞增，又，故唯一，使得在上遞減，在上遞增.故且故，令，則故在上遞減當時，由遞減知，故，即，從而有在上恒成立.故時，無實根.2（2021河北唐山市第十中學高三期中）若（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且有兩個極值點，證明【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）當時，令，或，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞

2、增；當時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增；（2）證明：當時，函數(shù)有兩個極值點，方程有兩個根，且，解得，由題意得，令，則，在上單調(diào)遞減，3（2021福建寧德一中高三期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）證明：當時，.【答案】（1）當時，；當時，；當時，.（2）見詳解【解析】（1）由，得，令，得，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此；當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此.綜上所述，當時，；當時，；當時，.（2）證明：設，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故恒成立.要

3、證，只需證，因為，所以，故只需證（因時，左邊小于右邊，所以可以帶等號），即.令，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故.因此當時，.4（2021福建省龍巖第一中學高三月考）設函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求的取值范圍，并證明：.【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（1）由，可得，.當時，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：（2）因為函數(shù)有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值. 所以，可得.所以. 由（1）可得的極小值點為，則不妨設.設， 可得，

4、所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則，所以當時，且.因為當時，單調(diào)遞增，所以，即.設，則，則，即.所以，所以.設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即綜上，.5（2021福建省福州外國語學校高三月考）已知函數(shù)，aR（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0)處的切線的方程（2）若曲線y=f(x)與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】（1）當時，曲線y=f（x）在點(0，f(0)處的切線的方程為.（2）由得，當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時，所以當時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點；當時，令得，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當時，函數(shù)有極大值，若曲線y=f（x）與

5、x軸有且只有一個交點，則，解得，綜上所述，當或時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點.6（2021福建三明一中高三月考）已知函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)（1）求與的解析式；（2）當時，有解，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為， 所以，又因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以， 聯(lián)立得，解得（2）有解，即有解，令，設，則，因為，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以，故實數(shù)的取值范圍為7（2021遼寧實驗中學高三期中）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標好選擇.如果多寫按第一個計分.若恒

6、成立，求的取值范圍.若僅有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）選擇時，；選擇時，【解析】（1）定義域為，在處取得極值，則，所以，此時，可以看出是個增函數(shù)，且，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以所以，令，.，當時，當時，故在處取得極大值，故1，解得：故當時，恒成立.選擇若僅有兩個零點，即有兩個根，整理為，即設函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以=所以只需有兩個根，令，.，當時，當時，故在處取得極大值，要想有兩個根，只需

7、，解得：，所以的取值范圍為8（2021山東德州一中高三期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若的解集為，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）是奇函數(shù)，則，即，即，則，得，解得：或，當時，此時無意義，不符合題意；當時，是奇函數(shù)，符合題意；所以，若，則，即，解得：，所以時，的取值范圍為.（2）由于，解得：，所以的定義域為，若，即，得，變形得，即，則可得方程的兩根分別為和，由題可知的解集為，即方程的兩個根為和，所以得，解得：，所以.9（2021山東師范大學附中高三月考）設函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證

8、明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）2，答案見解析【解析】（1）由題，因為切線方程為，即切線斜率為，.（2）由題在上恒成立，在上恒成立，由得，令，則的零點個數(shù)等價于和的交點個數(shù)，則，當時，遞增，當時，遞減，時，最大值為，又時，；時，據(jù)此作出的大致圖象，由圖知：當或時，的零點有1個；當時，的零點有2個.10（2021山東師范大學附中高三月考）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若是以為周期的奇函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以所以，可得.由得.因為，所以，解得：.由可得：，所以的取值范圍為（2）當時，有，當時，因此.11（2021湖北石首市第一中學高三

9、月考）已知函數(shù)且.（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）求滿足f（x）的實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）當時x的取值范圍是；當時x的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)題意，則有，解可得，則函數(shù)的定義域為，又由，則是奇函數(shù)；（2）由得當時，解得；當時，解得；當時x的取值范圍是；當時x的取值范圍是12（2021湖北武漢二中高三期中）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，判斷函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）答案見解析（2）兩個【解析】（1）函數(shù)的定義域為，當時，當且僅當時，在單調(diào)遞增；當時，或，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，或，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在單調(diào)遞增；

10、當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2），設，所以在單調(diào)遞增，當時，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，設， ，在單調(diào)遞減，在成立，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ，取，設，取，設， ，在定義域內(nèi)有兩個零點.13（2021湖南長郡中學高三月考）已知函數(shù)，（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數(shù)）【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，在上恒成立即在上恒成立令，則，所以在上單調(diào)遞增于是，所以（2）當時，設公切線在上的切點為，則切線方程為：設公切線在上的切點為，則切線方程為：，又，令又在上單調(diào)遞減，而，滿足，

11、即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，14（2021湖南永州一中高三月考）已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個極值點、.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：為定值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）當時，該函數(shù)的定義域為，且，當時，此時，當時，此時，所以，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（i）因為，該函數(shù)的定義域為，則，令，則函數(shù)在上有三個零點、.，且.當時，對任意的，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，此時函數(shù)有且只要一個零點，不合乎題意；當時，設，則.若，即當時，對任意的，且不恒為零.此時函數(shù)在上單調(diào)

12、遞減，又因為，此時函數(shù)有且只有一個零點，不合乎題意；若，即當時，令，可得，當或時，當時，此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為.因為，所以，當時，當時，此時，函數(shù)在、上各有一個零點，又因為，故函數(shù)有三個零點，合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（ii）由（i）可知，當時，則，因為，則，因為，從而，因為函數(shù)在上有且只有一個零點，則，故，因此，.15（2021廣東深圳福田中學高三月考）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，

13、在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.16（2021廣東肇慶一中模擬）已知函數(shù).（1）若成立，求的值；（2）若有兩個不同的零點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由得：，即；令，則；當時，在上單調(diào)遞減，又時，不合題意；當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有唯

14、一解：；綜上所述：.（2）由題意得：，則，由（1）知：，若有兩個零點，則；則當時，不妨設，要證，只需證，即證；，即證；，即證，即證，令，則，只需證，即，令，則，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即，原不等式得證.17（2021江蘇海安高級中學高三月考）已知函數(shù)，（1）若在處取極值，求k的值；（2）若有兩個零點，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，因為在處取極值，可得，解得，由時，可得當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，因此在處取極大值，滿足題意（2）由題意，函數(shù)有兩個零點，即，所以，可得要證，即證，即證，即證，不妨設，記，則，即證，即證，令，可得，因此在上單調(diào)遞增，所以，即結(jié)論成立18（2021重慶八中高三月考）已知.（1）當時，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若只有一個零點，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）當時，所以在上單調(diào)遞增，