參數(shù)估計統(tǒng)計推斷的目的是由樣本推斷出總體的具體分布

1、第七章參數(shù)估計統(tǒng)計推斷的目的，是由樣本推斷出總體的具體分布。一般來說，要想得到總 體的精確分布是十分困難的。由第六章知道：只有在樣本容量n充分大時，經驗 分布函數(shù)F(x) 一致 F(x)(以概率1)，但在實際問題中，并不容許n很大。而由 n第五章的中心極限定理，可以斷定在某些條件下的分布為正態(tài)分布，也就是說， 首先根據(jù)樣本值，對總體分布的類型作出判斷和假設，從而得到總體的分布類型， 其中含有一個或幾個未知參數(shù)；其次，對另外一些并不關心其分布類型的統(tǒng)計推 斷問題，只關心總體的某些數(shù)字特征，如期望、方差等，通常把這些數(shù)字特征也 稱為參數(shù)。這時，抽樣的目的就是為了解出這些未知的參數(shù)。1點估計一、由來

2、設總體X的分布函數(shù)形式已知，但它的一個或多個參數(shù)為未知，借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數(shù)的值的問題稱為點估計問題例1在某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)X是一個隨機變量，假設 它服從參數(shù)為人0的泊松分布，參數(shù)人為未知，設有以下的樣本值，試估計著火次數(shù)k0123 4 5 6發(fā)生k次著火的大數(shù)n k75 90 54 22 6 2 1S = 250參數(shù)人.解：因為XP (X),所以X= E (X)用樣本均值來估計總體的均值E(X). kn_kx = k=0二 nk k=0二總(0 x 75 + 1x 90 + 2 x 54 + 3 x 22 + 4 x 6 + 5 x 2 + 6 x 1

3、) = 1.22故E(X) = X的估計為1.22 .二、一般提法設總體乂的分布函數(shù)F(x;。)的形式為已知，9是待估參數(shù).X1，X2,，Xn 是X的一個樣本，xi，x2，.，xn為相應的一個樣本值.點估計問題就是要構造一個 適當?shù)慕y(tǒng)計量9(X，X，,X )，用它的觀察值9(x，x，,x )來估計 未知參數(shù)12n12 n0 。 6(X ,X，,X )稱為。的估計量，0(% ,x，,x )稱為。的估計值。 12n12 n三、點估計的方法(矩估計法和最大似然估計法)矩估計 用樣本矩來估計總體矩，用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù) 函數(shù),這種估計法稱為矩估計法.設總體X的分布中含有未知參數(shù)，假定總

4、體X的1m階原點矩都存在，則有u =u (0 ,0，,0 ) = E(Xk) (k = 1,2,.m)。取樣本的k階原點矩A作為總體的k k k 12 mk階原點矩氣的估計量，即uk =1 Xk (k = 1,2,m)，得到方程組 n i=1解這個方程組得U (0 ,0 ,., 0 ) = Um12 m m旌=0 (X,X ,., X )U (0 ,0 ,., 0 ) = U u1(01,02,., 0m) = U 0)未知,(X1,X2,.,Xn)是來自總體X的樣本，求0的估計量.解：因為只有一個未知參數(shù)0，所以只考慮總體X的1階原點矩:因為r = E(X)=,根據(jù)矩估計法，令=A = X

5、= X , 1221 n ii=1 A一一.所以0 = 2X為所求0的估計量.例2、設總體乂服從幾何分布，即有分布律PX = k = p(1-p)k-1 (k = 1,2,.),其中p (0p 0,但R和b2均為未知,又設X1, X2,.,X是一個樣本，求R和Q 2的矩估計量.解：R1 = E (X ) =R , R2 = E ( X 2) = D ( X ) + E (X )2 =b2 + R 2,令A1解方程組得到矩估計量分別為b 2 + R 2 = A .K = A =又,b 2 = A - A 2 = 1 x 2 -又 2 = 1W (X - X )2.121 n 1 ini 7注：一

6、般地，用樣本均值X =1 X作為總體X的均值的矩估計，i=1用樣本二階中心矩B2 = -(X. -X)2作為總體X的方差的矩估計.i=1最大似然估計法(1)設總體X屬離散型似然函數(shù)的定義：設分布律PX = k = p(x;0), 0為待估參數(shù)，。6。，(其中&是0可能的取值范圍)，X 1,X2，.,Xn是來自總體X的樣本，則X 1,X2，.,X. TOC o 1-5 h z 的聯(lián)合分布律為Hp(x ;0 ).又設x , x，,x為相應于樣本X , X，,X的 i12n12ni=1一個樣本值.，則樣本X , X，X取到觀察值x ,x，,x的概率，即事件 12n12nX 1 = x1, X2 =

7、x2, .，X = x 發(fā)生的概率為L(0) = L(x ,x，,x ;0) = Hp(x ;0), 0 g0, L(0)稱為樣本似然函數(shù).12 nii=1最大似然估計法：得到樣本值x ,x，,x時,選取使似然函數(shù)L(0)取得最大值12n q ，- 4-的0作為未知參數(shù)0的估計值，即L(x ,x，,x ;0) = maxL(x ,x，,x ;0).1 2n0e1 2n(其中0是0可能的取值范圍)，這樣得到的0與樣本值x ,x，,x有關，12n、 A4一 A4一記為0(x ,x，,x ),參數(shù)0的最大似然估計值,0(X , X ，,X )，參數(shù)0的最大12 n12n似然估計量.(2)設總體X屬連

8、續(xù)型設概率密度為f (x; 0), 0為待估參數(shù)，0e0 ,(其中0是0可能的取值范圍)，X 1,X2，.,Xn是來自總體X的樣本，則X 1,X2，.,Xn的聯(lián)合密度為 TOC o 1-5 h z H f 3 ；o),又設工，工，,工為相應于樣本X ,X，,X的一個樣 本值， i12n12ni=1則隨機點(X ,X ，,X)落在點3,工，,工)的鄰域(邊長分別為&, & ,12n12 n12. .,危?5維立方體)內的概率近似地為 Hf(土;。)叫,i=1L(0) = L(x ,x，,x ;0) =Hf (x ;0), L(o )稱為樣本的似然函數(shù). 12 nii=1若 L(x ,x ,x ;

9、) = maxL(x ,x ,x ;0).1 2n0e1 2n0( x , x，,x )，參數(shù)0的最大似然估計值,0“(X , X，,X )，參數(shù)0的最大似 12 n12n然估計量.求最大似然估計量的步驟：寫出似然函數(shù)L(0) = L(x ,x，,x ;0) = Hp(x ;0)或 L(0) = L(x ,x，,x ;0)= Hf (x; 0); TOC o 1-5 h z 12 ni12 nii=1i=1取對數(shù) lnL(0) = Inp(x;0)或 InL(0) = ZIn f (x.;0);i=1i=1對0求導 業(yè)黑，并令 業(yè)黑=0,解方程即得未知參數(shù)0的最大似d0d0然估計量01例4、設

10、總體X具有分布律X(123 、,0 220 (1-0) (1-0 )2 /，其中00 1是未知參數(shù)，樣本值x1 = 2,%= 1,x3=1，試求未知參數(shù)0的矩估計值極大似然估計值.解：(1)EX = 3 - 20，x = 4，再令 x = EX 得0 =-(矩估計值)36(2)似然函數(shù) L (0) = P (X1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 1) = 20 (1-0 )0 20 2 = 20 5 20 6L(0) = 1004 -1205 =04(10-120)令 L(e) = 0，則 o = 0 或 o = 56由于已知0 0 0)的泊松分布，X1, X2,.,X.是來自X的一個

11、樣本，求人的最大似然估計量.X x解：因為 X的分布律為PX = x = e-x, (x = 0, 1, 2,n) x!所以X的似然函數(shù)為L(X)=nri=1, u (x !)ii=1=e - nXT.C ( )de xIn L(X) = -nX + 筋 x 4n X - (x !),令 就姑 L(X) = -n + 于=0, 解得x的最大似然估計值；=艾,=x,x的最大似然估計量為八 1X= ： X = X，這一估計量與矩估計量是相同的.例7、設總體XN(口,6),口,b為未知參數(shù)，x1，x2，.,x是來自X的一個樣本值，求口和b2的最大似然估計量.(x p)2， 解：X的概率密度為f (x

12、; p, b2)= _ e 2b2 , x的似然函數(shù)為 如2 nbl( p, b2)= rTi=11 (x.-p )2-.e 2b2 2 nbnn1寸In L(p, b2) = _ ln(2 n) ln b2 (x p)2 ,222b 2、i i=1E 一、八布InL(p, b2)= 0,at lnL(p, b2) = 0,db 2x npii=1二 + X (X p)2 = 0 2b 22(b 2)2ii = 1 x np = 0 解得1- i=1人 1 np = x = xn . ii=1由一2- + b W (x. -p)2 = 0 解得 b2 =上(x, x)2, i=1i=1故p和b

13、 2的最大似然估計量分別為= X, b 2 = 1 ( X X )2. n i =1 i它們與相應的矩估計量相同.例8、設總體乂在。,b上服從均勻分布，其中, b未知，”x2,.,xn是來自總體X的一個樣本值，求a, b的最大似然估計量.解：記 x = min( x ,x ,.,x ), x = max( x ,x ,.,x ), X 的概率密度為f (x； a, b)= 1；,a x b, b a因為0,其他.(l)1 2n(h)1 2na x ,x，,x b 等價于a x ,x b,12n(l) (h)作為a, b的函數(shù)的似然函數(shù)為L( a, b) = 土0,其他于是對于滿足條件a 七,b

14、 x(h的任意a,b有L( a, b)=(b a) n(x(h)即似然函數(shù)L(a, b)在取到最大值(x( h)x(l)n, TOC o 1-5 h z 八一?a, b的最大似然估計值a = x = min x , b = x = max x ,(l)i(h)i 1in1in，,一,、一-一八a, b的最大似然估計量 a = min X , b = max X .1i n 11i n 14、.極大似然估計量有如下的性質：設0的函數(shù)u = u (0 ), 0 e0,具有單值反函數(shù)0=0 (u)。又設(是X的密度 函數(shù)f (x;0)或分布列p(x;0)(形式已知)中參數(shù)0的極大似然估計，則= u(

15、0 ) 是u(0 )的極大似然估計。2估計量的評選標準，區(qū)間估計一、估計量的評選標準(一)問題的提出從前一節(jié)可以看到，對于同一個參數(shù)，用不同的估計方法求出的估計量可能不 相同，原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量.問題(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好？(2)評價估計量的標準是什么？1、無偏性 -人-.若估計量0 =0(X 1,X2，.,X )的數(shù)學期望E(0)存在，且對于任意0 e0有E(0) =0,則稱0是0的無偏估計量.2、有效性0 =0 (X,x，,x )與0 =0 (X,x，,x )都是0的無偏估計量， TOC o 1-5 h z 1112n2212n若D(0) D(0

16、 )，則稱0較0有效12123、一致性一 q q. _ 一-若0 =0(X 1, X2，.,X )為0的估計量，若對于任意、0 G0,當n r 3時，0(X ,X，,X )依概率收斂于0，則稱0為0的一致估計量.12n二、區(qū)間估計1、置信區(qū)間的定義設總體乂的分布函數(shù)尸(x;0)含有一個未知參數(shù)0,對于給定值a (0a 1),若由樣本X1,X2,.,Xn確定的兩個統(tǒng)計量0=0(X 1,X2,.,X/和0 =0(X ,X，,X )滿足尸0(X ,X，,X ) 0 0(X ,X，,X ) = 1 -a12n12n12n則稱隨機區(qū)間(0, 0)是0的置信度為1-a的置信區(qū)間,0和0分別稱為置信度為1-

17、a的雙側置信區(qū)間的置信下限和置信上限，1-a為置信度注：(1)被估計的參數(shù)0雖然未知，但它是一個常數(shù)，沒有隨機性，而區(qū)間(0, 0)是隨機的.(2) P0 (X , X ，,X ) 00 (X , X ，,X ) = 1a 的本質是：一 12n12n隨機區(qū)間(0, 0)以1 -a的概率包含著參數(shù)0的真值，而不能說參數(shù)0以1-a的概率落入隨機區(qū)間(0, 0).三、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(一)單個總體N(口,6)的情況設給定置信水平為1-a ,并設X1，X2，.,X為總體N(口,6)的樣本，X, S2 分別是樣本均值和樣本方差.1、均值日的置信區(qū)間。2為已知，H的一個置信水平為1-a的置信區(qū)

18、間，一、. aT z而 a/2 7(2) a 2為未知，卜的置信度為1 -a的置信區(qū)間X 土、(n-1).7例1、包糖機某日開工包了 12包糖，稱得質量(單位：克)分別為 506,500,495,488,504,486,505, 513,521,520,512,485.假設重量服從正態(tài)分布且標準差為a = 10,試求糖包的平均質量p的1-a置信區(qū)間，(分別取a = 0.10 和 a = 0.05).解：a = 10, n = 12，計算得 x = 502.92,(1)當 a= 0.10 時，1 - = 0.95,查表得 z = z = 1.645,2a/20.05x-蘭 z =：n a/2:5

19、02.92 - JL x 1.645 = 498.17, 七12x + 烏 z = vn a/2二 502.92 + x 1.645 = 507.67, 12即P的置信度為90%的置信區(qū)間為(498.17, 507.67)(2)當 a = 0.05 時，1 氣=0.975,查表得 z = z = 1.96,2a/20.025同理可得R的置信度為95%的置信區(qū)間為(497.26, 508.58)可以看出當置信度1 a較大時，置信區(qū)間也較大；當置信度1 a較小時，置信區(qū)間也較小.例2、有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機地取16袋，稱得重量(克)如下:506 508 499 503514 505 493 49

20、6504 510 497 512506 502 509 496設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，試求總體均值r的置信度為0.95的置信區(qū)間 解：a = 0.05, n 1 = 15，查 t(n 1)分布表可知：0 025(15) = 2.1315,計算得無=503.75, s = 6.2022,得r的置信度為95%的置信區(qū)間，艮口 (500.4, 507.1)503.75土 6.2022 x 2.1315J就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507. 1克之間，這個估計的可信程 度為95%.2、方差。2的置信區(qū)間根據(jù)實際需要，只介紹R未知的情況.方差C2的置信度為1 -a的置信區(qū)間 (n

21、1)S2 ,(n 1)S2 .y2(n 1) y /2(n 1) J進一步可有標準差。的一個置信度為1a的置信區(qū)間7n 1Syjn 1S TOC o 1-5 h z ,.Ux2 (n 1) J/2 (n 1)a/21a/2/例3、求例2中總體標準差 的置信度為0.95的置信區(qū)間.，一 aa解：=0.025,1 - = 0.975, n 1 = 15,查 x 2(n 1)分布表可知：22X2 (15) = 27.488, X2 (15) = 6.262，計算得s = 6.2022,代入公式得標準差的置信0.0250.975區(qū)間(4.58, 9.60)（二）兩個正態(tài)總體的情形在實際中常遇到下面的問

22、題：已知產品的某一質量指標服從正態(tài)分布，但由 于原料、設備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、 總體方差有所改變，我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個正態(tài)總體 均值差或方差比的估計問題。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 設總體X N（日，a2）,Y N（日q2），且X與Y相互獨立，（X ,X,X ）來112212n自X的一個樣本，（Y ,Y ,.,Y ）為來自Y的一個樣本，對給定置信水平為1-a， 12n且設X, Y, S：, S;分別為總體X與Y的樣本均值與樣本方差。1.求*-%的置信區(qū)間：1）當b2,b2已知時：由抽樣分布可知：U =（X Y）（% 一四2） N（0,1）:b 2。2 m n所以可以得到四-七的置信水平為1 -a的置信區(qū)間為：2）當*2,b；未知時，但m,n均較大（大于50），可用S;和S;分別代替式中b2,b2，則可得（* - %）的置信水平為1 -a的近似置信區(qū)間為：(X - Y) |1-1-a當b 2 = b 2 = b 2，且b 2未知時，由抽樣分布可知:若令S *2 = _I* + （n_，12m + n 一 2貝行=（X 一 七一四之） t （m + n - 2）