第7講插值與擬合

1、數(shù)學(xué)(shxu)建模算法與應(yīng)用共五十八頁第5章 插值與擬合(n h)數(shù)學(xué)建模算法(sun f)與應(yīng)用共五十八頁5.4 曲線擬合與函數(shù)(hnsh)逼近共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁黃河(hun h)小浪底調(diào)水調(diào)沙問題共五十八頁共五十八頁共五十八頁2004 年6 月至7 月黃河進行了第三次調(diào)水調(diào)沙試驗，特別是首次由小浪底、三門峽和萬家寨三大水庫聯(lián)合調(diào)度，采用接力式防洪預(yù)泄放水，形成人造洪峰進行調(diào)沙試驗獲得成功。整個試驗期為20 多天，小浪底從6 月19 日開始預(yù)泄放水，直到7 月13 日恢復(fù)正常供水結(jié)束。小浪底水利工程按設(shè)計攔沙

2、量為75.5 億m3，在這之前，小浪底共積泥沙達14.15 億t。這次調(diào)水調(diào)沙試驗一個重要目的就是由小浪底上游的三門峽和萬家寨水庫泄洪，在小浪底形成人造洪峰，沖刷小浪底庫區(qū)沉積(chnj)的泥沙，在小浪底水庫開閘泄洪以后，從6 月27 日開始三門峽水庫和萬家寨水庫陸續(xù)開閘放水，人造洪峰于29日先后到達小浪底，7 月3 日達到最大流量2700m3/s，使小浪底水庫的排沙量也不斷地增加。表7 是由小浪底觀測站從6 月29 日到7 月10 檢測到的試驗數(shù)據(jù)。共五十八頁實驗(shyn)觀測數(shù)據(jù)（表一）日期 6.29 6.30 7.1 7.2 7.3 7.4 時間 8:00 20:00 8:00 20:

3、00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 含沙量 32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 日期 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 時間 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 17

4、50 1500 1000 900 含沙量 118 120 118 105 80 60 50 30 26 20 8 5 表1 試驗觀測(gunc)數(shù)據(jù)表 單位：水流為立方米/秒，含沙量為公斤/立方米共五十八頁試根據(jù)(gnj)實驗數(shù)據(jù)建立模型解決下面問題：給出估算任意時刻的排沙量及總排沙量的方法；確定排沙量與水流量的變化(binhu)關(guān)系。共五十八頁問題(wnt)分析 假設(shè)水流量和含沙量都是連續(xù)的，那么某一時刻的排沙量V=v(t)S(t)，其中s(t)為t時刻的水流量，而v(t)為t時刻的含沙量。通過觀察數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)是每個12小時采集一次，所以我們可以將時間設(shè)為時間點t，依次為1，2，3，24，

5、單位時間為12h。 為了(wi le)找到排沙量與時間的關(guān)系，我們就要先找到水流量和含沙量與時間的關(guān)系，一但找到水流量和含沙量與時間的關(guān)系，那么所要求的問題也就不難解決了。共五十八頁根據(jù)時間與含沙量的關(guān)系圖以及時間與水流量的關(guān)系圖我們可以看出其沒有特定(tdng)的表現(xiàn)出服從某種分布的趨勢。共五十八頁我們利用多項式分別進行二次，三次，四次，五次擬合(n h)，當多項式次數(shù)越高擬合(n h)也越準確。共五十八頁誤差(wch)分析 我們(w men)計算1次，2次，9次，10次擬合的誤差，這里誤差我們?nèi)【礁`差形式。 通過計算，我們可以得出含沙量與時間的二次擬合的誤差為2.0382,三次擬合誤差

6、為1.9062，四次擬合誤差為1.6260，五次擬合誤差為1.0715。這里我們可以看出二次擬合誤差較大，而三次，四次，五次擬合之間誤差程度并不太大?？紤]到計算的復(fù)雜度，我們還是取三次擬合進行多項式擬合。共五十八頁下圖從左到右分別為進行二次，三次，四次，五次擬合(n h)的圖像共五十八頁誤差(wch)分析共五十八頁擬合(n h)曲線共五十八頁誤差(wch)分析同理，水流量與時間(shjin)的關(guān)系亦采用三次多項式擬合。 共五十八頁從左到右，分別(fnbi)對時間和水流量進行二次，三次，四次，五次多項式擬合為:共五十八頁 擬合(n h)曲線共五十八頁 含沙量擬合(n h)函數(shù)共五十八頁 流水量擬

7、合(n h)函數(shù)共五十八頁任意(rny)時間的排沙量與總排沙量ans =170164350000即總含沙量為1.702億噸。共五十八頁任意(rny)時間的排沙量與總排沙量ans =184398480000即總含沙量為1.843億噸。共五十八頁任意(rny)時間的排沙量與總排沙量ans =184398480000即總含沙量為1.843億噸。共五十八頁兩個結(jié)果(ji gu)，那個更精確？ 為什么？共五十八頁共五十八頁共五十八頁在數(shù)學(xué)的子學(xué)科數(shù)值分析里，B-樣條是樣條曲線一種特殊的表示(biosh)形式。它是B-樣條基曲線的線性組合。搜索B-樣條是貝茲曲線的一種一般化，可以進一步推廣為非均勻有理B樣

8、條，使得我們能給更多一般的幾何體建造精確的模型。共五十八頁共五十八頁對于問題（2），研究排沙量與水量的關(guān)系，從試驗數(shù)據(jù)可以看出，開始排沙量是隨著水流量的增加而增長，而后是隨著水流量的減少而減少。顯然，變化規(guī)律并非是線性的關(guān)系，為此，把問題分為兩部分，從開始水流量增加到最大2720m3/s（即增長的過程）為第一階段，從水流量的最大值到結(jié)束(jish)為第二階段，分別來研究水流量與排沙量的關(guān)系。畫出排沙量與水流量的散點圖（見圖2）共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁共五十八頁另一種(y zhn)方法共五十八頁水流量和時間(shjin)的關(guān)系排沙量和時間(shjin)的關(guān)系共五十八頁共

9、五十八頁共五十八頁共五十八頁 通過觀察可以(ky)看出，其關(guān)系是分段的，所以我們按時間進行分段擬合，從而可以(ky)得到分段前后的擬合多項式。共五十八頁共五十八頁共五十八頁樣條函數(shù)，根據(jù)前綴，分為(fn wi)4類：cs* 三次樣條pp* 分段多項式樣條，系數(shù)為tn的系數(shù)sp* B樣條， 系數(shù)為基函數(shù)B_ni(t)的系數(shù)rp* 有理B樣條 共五十八頁三次樣條函數(shù)csapi 插值生成三次樣條函數(shù)csape 生成給定約束條件下的三次樣條函數(shù)csaps 平滑生成三次樣條函數(shù)cscvn 生成一條內(nèi)插參數(shù)的三次樣條曲線getcurve 動態(tài)生成三次樣條曲線2. 分段多項式樣條函數(shù)ppmak 生成分段多項

10、式樣條函數(shù)ppual 計算(j sun)在給定點處的分段多項式樣條函數(shù)值樣條工具箱函數(shù)(hnsh)共五十八頁3. B樣條函數(shù)spmak 生成B樣條函數(shù)spcrv 生成均勻劃分的B樣條函數(shù)spapi 插值生成B樣條函數(shù)spap2 用最小二乘法擬合生成B樣條函數(shù)spaps 對生成的B樣條曲線進行光滑處理(chl)spcol 生成B樣條函數(shù)的配置矩陣4. 有理樣條函數(shù)rpmak 生成有理樣條函數(shù)rsmak 生成有理樣條函數(shù)共五十八頁5. 樣條操作函數(shù)fnval 計算在給定點處的樣條函數(shù)值fmbrk 返回樣條函數(shù)的某一部分（如斷點或系數(shù)等）fncmb 對樣條函數(shù)進行算術(shù)運算fn2fm 把一種形式的樣條

11、函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種形式的樣條函數(shù)fnder 求樣條函數(shù)的微分(即求導(dǎo)數(shù)(do sh)fndir 求樣條函數(shù)的方向?qū)?shù)fnint 求樣條函數(shù)的積分fnjmp 在間斷點處求函數(shù)值fnplt 畫樣條曲線圖fnrfn 在樣條曲線中插入斷點。fntlr 生成tarylor系數(shù)或taylor多項式共五十八頁6. 樣條曲線端點和節(jié)點處理函數(shù)augknt 在已知節(jié)點數(shù)組中添加一個或多個節(jié)點aveknt 求出節(jié)點數(shù)組元素的平均值brk2knt 增加節(jié)點數(shù)組中節(jié)點的重次knt2brk 從節(jié)點數(shù)組中求得節(jié)點及其重次knt2mlt 從節(jié)點數(shù)組中求得節(jié)點及其重次sorted 求出節(jié)點數(shù)組的元素在另一節(jié)點數(shù)組中屬于第幾個分量aptknt 求出用于生成樣條曲線的節(jié)點數(shù)組newknt 對分段(fn dun)多項式樣條函數(shù)進行重分布optknt 求出用于內(nèi)插的最優(yōu)節(jié)點數(shù)組chbpnt 求出用于生成樣條曲線的合適節(jié)點數(shù)組共五十八頁內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用。第5章 插值與擬合(n h)。5.4 曲線擬合(n h)與函數(shù)逼近。2004 年6 月至7 月黃河進行了第三次調(diào)水調(diào)沙試驗，特別是首次由小浪底、三門峽和萬家寨三大水庫聯(lián)合調(diào)度，采用接力式防洪預(yù)泄放水，形成人造洪峰進行調(diào)沙試驗獲得成功。小浪底水利工程按設(shè)計攔沙量為