專題五 解直角三角形的實際應(yīng)用

1、專題五解直角三角形的實際應(yīng)用&專題類型突類型一母子型例4（2015河南）如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48.若坡角ZFAE=30，求大樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：sin480.74,cos48心0.67,tan48心1.11,申心1.73)【分析】根據(jù)所求構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)求解問題即可【自主解答】如解圖，延長BD交AE于點G,過點D作DH丄AE于點H.例1題解圖由題意，得ZDAE=ZBGH=30,DA=6,.*.GD=DA

2、=6,GH=AH=DAcos30=；3,AGA=3.BC設(shè)BC=x米，在RtAGBC中，GC=J3x.tanZBGCv在RtAABC中，AC=BC_xtanZBACtan48TGCAC=GA,咿x七釀jo解得x13.即大樹的高度約為13米.針對訓(xùn)練1.(2018泰州)日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況.如圖，當(dāng)前后房屋都朝向正南時，日照間距系數(shù)=L：(HH),其中L為樓間水平距離，H為南側(cè)樓1房高度，H為北側(cè)樓房底層窗臺至地面高度.1如圖，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i=l：0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m.求山坡EF的水平寬度FH；欲在A

3、B樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少多遠(yuǎn)？圖圖2.（2018商丘模擬）如圖，蘭蘭站在河岸上的G點，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時，測得小船C的俯角是ZFDC=30，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i=4：3，坡高BE=8米，求小船C到岸邊的距離CA的長？（參考數(shù)據(jù)：冷2心1.7,結(jié)果保留一位小數(shù)）3如圖，某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60，

4、沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45.已知山坡AB的坡度i=AB=10米，AE=15米，求這塊宣傳牌CD的高度.（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：申心1.414，肩心1.732）CId（2018新鄉(xiāng)一模）如圖，為探測某座山的高度AB,某飛機在空中C處測得山頂A處的俯角為31,此時飛機的飛行高度為CH=4千米；保持飛行高度與方向不變，繼續(xù)向前飛行2千米到達(dá)D處，測得山頂A處的俯角為50.求此山的高度AB.（參考數(shù)據(jù)：tan30心0.6,tan50心1.2）（2018煙臺）汽車超速行駛是交通安全的重大隱患，為了有效降低交通事故的發(fā)生，許多道路在事故易發(fā)路段設(shè)置了區(qū)間測

5、速，如圖，學(xué)校附近有一條筆直的公路l,其間設(shè)有區(qū)間測速，所有車輛限速40千米/小時，數(shù)學(xué)實踐活動小組設(shè)計了如下活動：在l上確定A,B兩點，并在AB路段進(jìn)行區(qū)間測速.在l外取一點P,作PC丄1,垂足為點C.測得PC=30米，ZAPC=71,ZBPC=35.上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒，請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明該車是否超速.（參考數(shù)據(jù)：sin350.57,cos350.82,tan350.70,sin710.95,cos710.33,tan71心2.90）（2018河南說明與檢測）如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE,CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角ZCED=60，在離電線桿6米的

6、B處安置高為1.5米的測角儀AB,在A處測得電線桿上C處的仰角為30，求拉線CE的長.（參考數(shù)據(jù)：半心1.41，申心1.73.結(jié)果保留一位小數(shù).）（2018河南說明與檢測）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)以后，開展測量物體高度的實踐活動，他們在河邊的一點A處測得河對岸小山頂上一座鐵塔的塔頂C的仰角為66、塔底B的仰角為60,已知鐵塔的高度BC為20m（如圖），你能根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出小山的高BD嗎？A（2018河南說明與檢測）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關(guān)注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB

7、的長度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30，BE=CA=50cm,支撐角鋼CD、EF與底座地基臺面接觸點分別為D、F，CD垂直于地面，F(xiàn)E丄AB于點E.兩個底座地基高度相同（即點D、F到地面的垂直距離相同）均為30cm，點A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少厘米.（結(jié)果保留根號）（2018遵義）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64，吊臂底部A距地面1.5m.（計算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)sin640.90,cos64心0.44,tan64心2.05)(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時，吊臂AB的長

8、為m；(2)如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計)類型二背靠背型例2(2018河南)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答如圖所示，底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角ZCAE為82.4，高杠的支架BD與直線AB的夾角ZDBF

9、為80.3.求高、低杠間的水平距離CH的長.（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.4心0.991，cos82.4心0.132，tan82.4心7.500，sin80.30.983，cos80.3心0.168，tan80.3心5.850）例2題圖【分析】利用銳角三角函數(shù)，在RtAACE和RtADBF中，分別求出AE、BF的長.計算出EF.通過矩形CEFH的性質(zhì)得到CH的長.【自主解答】解：在RtAACE中,心20.7,TOC o 1-5 h zCE155AE=.=tan82.4tan82.4在RtABDF中，DF234BF=tan80.3tan80.3在矩形CEFH中，CH=EF，CH=EF=

10、AE+AB+BF=20.7+90+40151(cm).答：高低杠間的水平距離CH的長為151cm.針對訓(xùn)練t（2018駐馬店一模）小明利用寒假進(jìn)行綜合實踐活動，他想利用測角儀和卷尺測量自家所住樓（甲樓）與對面郵政大樓（乙樓）的高度，現(xiàn)小明用卷尺測得甲樓寬AE是8m,用測角儀在甲樓頂E處與A處測得乙樓頂部D的仰角分別為37和42，同時在A處測得乙樓底部B處的俯角為32，請根據(jù)小明測得數(shù)據(jù)幫他計算甲、乙兩個樓的高度.（精確到0.01m）（cos32心0.85,tan32心0.62,cos42心0.74,tan42心0.90,cos37心0.80,tan)57.0（2018甘肅省卷）隨著中國經(jīng)濟(jì)的快

11、速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從A地到B地的路程.已知：ZCAB=30，ZCBA=45，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：詁31.7,飛/2心1.4）（2018常州）京杭大運河是世界文化遺產(chǎn).綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬（岸沿是平行的），如圖，在岸邊分別選定了點A、B和點C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用測角儀測得ZCAB=30，ZDBA=60

12、，求該段運河的河寬（即CH的長）.CDAIIB（2018眉山）知識改變世界，科技改變生活.導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會實踐活動，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60。方向行駛至B地，再沿北偏西37方向行駛一段4距離才能到達(dá)C地，求B、C兩地的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin53心p，cos53眉，tan53眉）53（2018河南說明與檢測）如圖，B地在A地的北偏東56方向上，C地在B地的北偏西19。方向上，原來從A地到C地的路線為A-BC，現(xiàn)在沿A地北偏東26。方向新修了一條直達(dá)C地的公路

13、，路程比原來少了20千米求從A地直達(dá)C地的路程（結(jié)果保留整數(shù)-,31.73).（2018河南說明與檢測）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組為測量學(xué)校旗桿AB的高度，從旗桿正前方2詁3米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度i=1：冷3的斜坡CD前進(jìn)4米到達(dá)點D,在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37，量得儀器的高DE為1.5米，已知A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，AB丄BC,ABDE，求旗343桿AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin37acos37心云，tan37心亓計算結(jié)554果保留根號）（2018河南說明與檢測）中國南海是中國固有領(lǐng)海，我方漁政船經(jīng)常在此海域執(zhí)勤巡察，一天我方漁政船停在小島A北偏西37。方向的B處，

14、觀察A島周邊海域，據(jù)測算，漁政船距A島的距離AB長為10海里，此時位于A島正西方向C處的我方漁船遭到某國軍艦的襲擾，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏東50的方向上有我方漁政船，便發(fā)出緊急求救信號，漁政船接警后，立即沿BC航線以每小時30海里的速度前往救助，問漁政船大約需要多少分鐘能到達(dá)漁船所在的C處？(參考數(shù)據(jù)：sin37心0.60,cos37心0.80,sin50心0.77,cos50心0.64,sin53心0.80,cos53心0.60,sin40心0.64,cos40心0.77)(2018河南說明與檢測)如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2km.有一艘小船在點P處，從

15、A測得小船在北偏西60。的方向，從B測得小船在北偏東45的方向.求點P到海岸線l的距離；小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15的方向.求點C與點B之間的距離.(上述兩小題的結(jié)果都保留根號)(2018衡陽)一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C出發(fā)，沿北偏東30的方向行走2000米到達(dá)石鼓書院A處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離，到達(dá)位于賓館南偏東45方向的雁峰公園B處，如圖所示.(1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離；(2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，那么他在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)賓館？A

16、參考答案類型一針對訓(xùn)練4EH1解：(1)ViEF=1：0-75=3=FH，設(shè)EH=4x，貝FH=3x,EF=、(3x)2+(4x)2=5x=15,x=3,FH=3x=9,即山坡EF的水平寬度FH為9m.2點、*NCFHG第1題解圖(2)如解圖，延長BA、FH交于點G,則AG=EH=4X3=12,GH=AE=4,：BG=BA+AG=22.5+12=34.5.設(shè)CF=y,貝CG=CF+FH+GH=y+9+4=y+13,由題知CG：(BGCP)$1.25,y+1334.50.9$1.25,解得y$29,底部C距F處至少29m遠(yuǎn).2解：如解圖，延長DG交CA于點H,得RtAABE和矩形BEHG.BE4

17、i一AE3CkAEH第2題解圖BE=8,AE=6,DG=1.5,BG=1,DH=DG+GH=1.5+8=9.5,AH=AE+EH=6+1=7.在RtACDH中，VZC=ZFDC=30,DH=9.5,DHCH=tan_30=9.5；3又.CH=CA+AH,即9.；3=CA+7,CA9.2（米）.答：CA的長約是9.2米.3解：如解圖，過點B作BF丄AE，交EA的延長線于點F,作BG丄DE于點G.3第3題解圖*.*RtAABF中，i=tanZBAF=-=疋ZBAF=30,.BF=2ab=5,AF=5-j3BG=AF+AE=5反+15.RtABGC中，ZCBG=45,.CG=BG=,-3+15.Rt

18、AADE中，ZDAE=60,AE=15,.*.DE=AEtan60=、73AE=15-.：3CD=CG+GEDE=5叮3+15+515=2010眉心2.7m.答：宣傳牌CD高約2.7米.4解：如解圖，延長BA交CD的延長線于點E,則BEICE,CH=BE=4千米,設(shè)AE=x千米，第4題解圖RtAADE中，ZADE=50,AEx5tan501.26XCE=5x+2.R仏ACE中，ZACE=31,5AE=CEtan31，即x=0.6XGx+2）,解得x=2.4,AB=BEAE=42.4=1.6（千米）.答：山的高度AB約為1.6千米.5.解：在RtAAPC中，AC=PCtanZAPC=30tan7

19、130X2.90=87米,在RtABPC中，BC=PCtanZBPC=30tan3530X0.70=21米，則AB=ACBC=8721=66米，66該汽車的平均速度為=11m/s,T40km/hll.lm/s,6該車沒有超速6解：如解圖，過點A作AH丄CD，垂足為點H,由題意知，四邊形ABDH為矩形，ZCAH=30,第6題解圖AB=DH=1.5，BD=AH=6.在RtAACH中，CH=AHtanZCAH,CH=6tan30。=2叮3（米）.DH=1.5，.CD=（3+1.5）（米）.在RtACDE中，VZCED=60，CE=sin=CG=CAsin30=50乂2=25.由題意得GD=50-30

20、=20,則CD=CG+GD=25+20=45.連接FD并延長與BA的延長線交于點H.+jg由題意得ZH=30.7（米）,答：拉線CE的長約為5.7米.7解：能求出小山的高，設(shè)小山的高BD為xm.在RtAABD中，AD=xtan60同理，在RtAACD中，AD=CDtan66x+20tan66xtan60 x+20tan66解得：x67.4.答：小山的高BD約為67.4m.8解：如解圖，過點A作AG丄CD，垂足為點G,則ZCAG=30。，在RtAACG中,BHD底座地基地血-支撐角鋼太陽能電池板CE支撐角鋼2支撐角鋼第8題解圖在RtACDH中，CH=.CD=2CD=90,sin30EH=EC+C

21、H=ABBEAC+CH=3005050+90=290.在RtAEFH中,EF=EHtan30=290X290申3支撐角鋼CD的長度為45cm,EF的長度為歲罷cm.9.解：（1）11.4【解法提示】在RtAABC中，ZBAC64,AC5m,ACAB50.4411.4m；cos64第9題解圖(2)如解圖，過點D作DH丄地面于H,交水平線于點E,在RtAADE中，TAD20m,ZDAE64,EH1.5m,DEsin64XAD20X0.918m,即卩DHDE+EH18+1.519.5m,答：如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m.類型二針對訓(xùn)練1解：如解圖，

22、過點A作AN丄BD于點N,第1題解圖在RtADNE,tan37=DNEN5.75=4,設(shè)DN=3x，則EN=4x,在RtADNA中，有DN=3x,AN=4x8,DN=3xAN_4x85.90,解得：x=12,DN=3X12=36,AN=4X128=40,在RtABNA中，由題意知ZNAB=32,TtAn32BNANBN=tan32AN24.8,DB=DNBN=3624.8=60.8,AC=BN=24.8答：甲樓的高為60.8m,乙樓的高為24.8m.2解：如解圖，過點C作CD丄AB于點D,在RtAADC和RtABCD中，VZCAB=30,ZCBA=45,AC=640,.CD=|aC=320,A

23、D=323,BD=CD=320,BC=320/2,AC+BC=640+320/21088,1088864=224（公里）,答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里.第2題解圖3解：如解圖，過D作DE丄AB于點E,可得四邊形CHED為矩形,.*.HE=CD=40m,設(shè)CH=DE=xm,在RtABDE中，ZDBA=60,DE農(nóng)BE=tan=苧m在RtAACH中，ZBAC=30,CH廠AH=tan=J3xm由AH+HE+EB=AB=160m,得/3x+40+fx=160,解得：X=30,.y3，即CH=30,./3m,答：該段運河的河寬為30、焉m.第3題解圖4解：如解圖，過

24、點B作BD丄AC于點D,則ZBAD=60,ZDBC=90-37=53,第4題解圖設(shè)AD=x，在RtAABD中，BD=ADtanZBAD=、/3x,在RtABCD中，CD=BDtanZDBC=,/3xx3=x,由AC=AD+CD可得xx=13，解得:x=4./33,則BC=BDcosZDBC:玄_5；：3寸3（4咿一3）=205-.J3,即BC兩地的距離為(203)千米.5解：如解圖，過點B作BD丄AC,垂足為D.設(shè)BD=x.在RtAABD中,VZBAD=5626O=3Q,AB=.BD=2x,AD=tBD7.在RtABCD中,VZC=26+19=45,BC=.BD=；%,CD=tBD=x.：AC=；|f3x+x.由題意得AB+BCAC=20,2x+/2x（寸3x+x）=20，解得x29.4.AC2.73X29.4=8Q.2628Q（千米）.從A地直達(dá)C地的路程約為80千米.6解：如解圖，延長ED交BC延長線于點F,則ZCFD=9Q,第6題解圖.tanZDCF=i=2=/,.ZDCF=30,V33CD=4,.*.DF=2cd=