新編大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)課件

1、第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在方程F(x,y)=0中,如果當(dāng)x在某區(qū)間I上取任意一值時(shí),相應(yīng)地 總有唯一一個(gè)滿足該方程的y值存在,這種由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù),它的定義域?yàn)镮,有時(shí)也記作y=f(x).不過這里的f的具體表 示 式不一定能求得出來. 例如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey0都確定了y是x的隱函數(shù),對(duì)于前一個(gè)方程,可以解出,我們稱為隱函數(shù)的顯化.后面一個(gè)方程就解不出 y=f(x). 這里為了滿足計(jì)算 的需要,我們用下面的例題說 明隱函數(shù)的求導(dǎo)方法解:將題設(shè)方程兩邊都對(duì)x求導(dǎo),得到例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所確

2、定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dy/dx 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),要記住y是x的函數(shù),則y的函數(shù)是x的 復(fù)合函數(shù), 例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的復(fù)合函數(shù),對(duì)x求導(dǎo)應(yīng)按 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法做.例2 求由方程y=sin(x+y)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解: 對(duì)兩邊都對(duì)x求導(dǎo),我們得到 對(duì)于隱含數(shù)還有一種求導(dǎo)數(shù)的方法 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 對(duì)于冪指函數(shù)或連乘除形式函數(shù)的求導(dǎo),先取對(duì)數(shù)再取 導(dǎo)數(shù),比用通常方法計(jì)算簡單.例3 求冪指數(shù)函數(shù) y = uv(u0) 的導(dǎo)數(shù)，其中u, v是x的函 數(shù),且都在點(diǎn)x處可導(dǎo).分析: 先取對(duì)數(shù)例如例4 求的導(dǎo)數(shù)解：例5解:例6 試用比較簡單的方法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析:1

3、 可把右式展開后求導(dǎo),也可利用乘積求導(dǎo).后者方便. 2 可把右式展開后求導(dǎo),也可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).后者方便.3 用商的求導(dǎo)公式,也可先化簡后求導(dǎo)的方法,后者方便4 可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)或?qū)?shù)性質(zhì)把函數(shù)變形后再求導(dǎo).后者好5 (1)可用商的求導(dǎo)方法(2)用乘積求導(dǎo)方法(3)可化簡后再求導(dǎo);方法和5一樣,用商和乘積的方法不如用對(duì)數(shù)的方法化 簡后求導(dǎo). 同樣的問題采用好的方法,不但計(jì)算方便而且正確.通過上述研究我們知道初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是初等函數(shù).而隱函數(shù),參數(shù)方程確定的函數(shù)不一定是初等函數(shù),但可用上述求導(dǎo)方法得到它的導(dǎo)數(shù).例7 設(shè)f(x) x(x-1)(x-2)(x-3).(x-100) 求 f (0)

4、分析: 本題利用乘積求導(dǎo)方法比較麻煩,不如采用導(dǎo)數(shù)定義求方便例8 求冪指函數(shù) y=xx 的導(dǎo)數(shù)用性質(zhì)用對(duì)數(shù)利用上式可求得 隱函數(shù)的二階求導(dǎo)就是在隱函數(shù)的一階求導(dǎo)的基礎(chǔ)上, 在等式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)一次,下面舉例說明:例9 求由方程 x-y+1/2siny=0 所確定的隱函數(shù)y的二 階導(dǎo)數(shù) y”解: 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得到上述方程再對(duì)x求導(dǎo),得到二 由參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)給定參數(shù)方程通過參數(shù)t確定了應(yīng)用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)公式,得到具有單調(diào)性，y 為 x 的函數(shù)有時(shí)由上面的方程消去t,得到的y=f(x)比 較復(fù)雜,有時(shí)還寫不出來.它的反函數(shù)存在，并設(shè)上面函數(shù)都可導(dǎo),由它構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).

5、我們例11 求曲線在t=2處的切線方程分析: 當(dāng)t=2時(shí),所求切線的切點(diǎn)的坐標(biāo)為(6a/5,12a/5)切線的 斜率是 yx ，因?yàn)?在參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上,我們來討論參數(shù)式的 二階導(dǎo)數(shù)的求法. 設(shè)函數(shù)的參數(shù)式為x=(t), y=(t),則它們的二階導(dǎo)數(shù) 參數(shù)式的二階求導(dǎo)例12 求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù) 在求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)時(shí),不要同函數(shù)的求導(dǎo)混淆起來.要求 采用 形式三.相關(guān)變化率 設(shè) x= x(t)及 y = y(t) 都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量x與y之 間存在某種關(guān)系，從而變化率 dx/dt 與 dy/dt 之間也 存在一定關(guān) 系。 兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問題是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便 從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率.通 過舉例說明 例5 一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率 為140m/min.當(dāng)氣球高度為500m時(shí),觀察員視線的仰角增 加率是多少? 解: 設(shè)氣球上升ts(秒)