人教版數(shù)學九上23《弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖》知識講解+鞏固練習(基礎版)（含答案）

1、PAGE 弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖知識講解（基礎）【學習目標】1.通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式，并應用這些公式解決問題；2.了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應用公式解決問題；3. 能準確計算組合圖形的面積.【要點梳理】要點一、弧長公式半徑為R的圓中360的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：n的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)要點詮釋：(1)對于弧長公式，關鍵是要理解1的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；(2)公式中的表示1圓心角的倍數(shù)，故和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；(3)弧長公

2、式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.要點二、扇形面積公式1.扇形的定義 由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.2.扇形面積公式 半徑為R的圓中360的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：n的圓心角所對的扇形面積公式：要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系

3、：.要點三、圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.要點詮釋：扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.【典型例題】類型一、弧長和扇形的有關計算1如圖（1），AB切O于點B，OA=，AB=3，弦BCOA，則劣弧的弧長為（ ）A CBAO BCD 圖（1） 【答案】A.【解析】連結OB、OC，如圖（2）則，OB=，由弦BCOA得，所以OBC為等邊三角形，.則劣弧的弧長為，故選A.

4、 圖（2）【總結升華】主要考查弧長公式：.舉一反三：【變式】制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長(結果精確到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110的長=76.8(mm)因此，管道的展直長度約為76.8mm【高清ID號：359387 高清課程名稱： 弧長 扇形 圓柱 圓錐關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】2如圖，O的半徑等于1，弦AB和半徑OC互相平分于點M.求扇形OACB的面積（結果保留） 【答案與解析】弦AB和半徑OC互相平分，OCAB， OM=MC=OC=OA B=A=30， AOB=120 S扇形=【總結升華】運用

5、了垂徑定理的推論，考查扇形面積計算公式.舉一反三：【高清ID號：359387 高清課程名稱：弧長 扇形 圓柱 圓錐關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖（1），在ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是A上的一點，且EPF=40，則圖中陰影部分的面積是（）A B C DAEBDCFP 圖（1） 【答案】連結AD，則ADBC，ABC的面積是：BCAD=42=4，A=2EPF=80則扇形EAF的面積是：故陰影部分的面積=ABC的面積-扇形EAF的面積= 圖（2）故選B類型二、圓錐面積的計算3（2014秋廣東期末）如圖，一個圓

6、錐的高為cm，側(cè)面展開圖是半圓，求：（1）圓錐的底面半徑r與母線R之比；（2）圓錐的全面積【思路點撥】（1）設出圓錐的底面半徑及圓錐的母線長，利用底面周長等于圓錐的弧長得到圓錐的母線與底面的半徑之比即可；（2）首先求得圓錐的底面半徑和圓錐的母線長，然后利用圓錐的側(cè)面積的計算方法求得其側(cè)面積即可【答案與解析】解：（1）由題意可知，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在RtAOC中，R2=r2+h2，4r2=r2+27r2=9，r=3r0r=3，R=6.S側(cè)=Rr=18（cm2）（cm2） S全=S側(cè)+S底=18+9=27（cm2）【總結升華】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是牢記有關

7、的公式類型三、組合圖形面積的計算4（2015槐蔭區(qū)三模）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，CDB=30，CD=2，求圖中陰影部分的面積【答案與解析】解：AB是O的直徑，弦CDAB，CE=CDB=30，COE=60，在RtOEC中，OC=2，CE=DE，COE=DBE=60RtCOERtDBE，S陰影=S扇形OBC=OC2=4=【總結升華】本題考查了垂徑定理，扇形的面積等，解此題的關鍵是求出扇形和三角形的面積弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題1.一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是（ ）A.5 B. 4 C.3 D.22如圖所示，邊

8、長為12m的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹，且ABBCCD3m現(xiàn)用長4m的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹上，為了使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應將繩子拴在( ) AA處 BB處 CC處 DD處3勞技課上，王紅制作了一頂圓錐形紙帽，已知紙帽底面圓半徑為10 cm，母線長為50 cm，則制作一頂這樣的紙帽所需紙的面積至少為( ) A250cm2 B500cm2 C600cm2 D1000cm24一圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，這個圓錐的側(cè)面展開圖所對應的扇形的圓心角是( ) A120 B180 C240 D3005底面圓半徑為3cm，高為4cm的圓錐側(cè)面積是( ) A7.5

9、 cm2 B12 cm2 C15cm2 D24 cm26（2015新賓縣模擬）如圖，半徑為1的圓O與正五邊形ABCDE相切于點A、C，劣弧AC的長度為（）ABCD 二、填空題7已知扇形圓心角是150，弧長為20cm，則扇形的面積為_8如圖，某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為40cm，轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)90傳送帶上的物品A被傳送 厘米. 第8題圖 第9題圖 第11題圖9如圖所示，已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120，則扇形的面積為_cm2(結果保留)10.（2015北海）用一個圓心角為120，半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑是11如圖所示，把一塊A30的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點

10、C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置若BC的長為15cm，求頂點A從開始到結束所經(jīng)過的路徑長 12如圖所示，邊長為1的菱形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)，當B、C兩點恰好落在扇形AEF的弧EF上時，弧BC的長度等于 三、解答題13如圖是兩個半圓，點O為大半圓的圓心， AB是大半圓的弦關與小半圓相切，且AB=24問：能求出陰影部分的面積嗎？若能，求出此面積；若不能，試說明理由 14. 圓心角都是90的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連接AC、BD (1)求證：AOCBOD；(2)若OA3cm，OC1cm，求陰影部分的面積15如圖所示，線段AB與O相切于點C，連接OA、OB，OB交0于點D，已知OAOB6

11、cm，ABcm，求：(1)O的半徑；(2)圖中陰影部分的面積16.（2015溫州模擬）已知：如圖ABC內(nèi)接于O，OHAC于H，過A點的切線與OC的延長線交于點D，B=30，請求出：（1）AOC的度數(shù)；（2）線段AD的長（結果保留根號）；（3）求圖中陰影部分的面積【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C .【解析】圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2，圓錐的側(cè)面面積為2，底面半徑為1，圓錐的底面面積為，則該圓錐的全面積是2+=3.故選C.2.【答案】B 【解析】小羊的活動區(qū)域是扇形，或是扇形的組合圖形，只要算出每個扇形的面積，即可比較出拴在B處時活動區(qū)域的面積最大3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】由得

12、， n1805.【答案】C； 【解析】可求圓錐母線長是5cm6.【答案】B；【解析】因為正五邊形ABCDE的內(nèi)角和是（52）180=540，則正五邊形ABCDE的一個內(nèi)角=108；連接OA、OB、OC，圓O與正五邊形ABCDE相切于點A、C，OAE=OCD=90，OAB=OCB=10890=18，AOC=144所以劣弧AC的長度為=故選B二、填空題7.【答案】240cm2 ； 【解析】先由弧長求出扇形的半徑，再計算扇形的面積8【答案】20（cm）；【解析】(cm)9【答案】3；【解析】由扇形面積公式得(cm2)10【答案】2 ；【解析】扇形的弧長=4，圓錐的底面半徑為42=2故答案為：211【答案】； 【解析】頂點A經(jīng)過的路徑是一段弧，弧所在的扇形的圓心角是120，半徑AC=2BC=30cm, .12【答案】 ；【解析】 連接AC，知ACABBC， BAC60， 弧三、解答題13.【答案與解析】將小圓向右平移，使兩圓變成同心圓，如圖，連OB，過O作OCAB于C點，則AC=BC=12，AB是大半圓的弦且與小半圓相切，OC為小圓的半徑，S陰影部分=S大半圓-S小半圓=OB2-OC2=（OB2-OC2）=AC2=72故答案為7214.【答案與解析】(1)證明：同圓中的半徑相等，即OAOB，OCOD再由AOBCOD90，得12，所以AOCBOD