D5習(xí)題課1定積分及其相關(guān)問題課件

1、習(xí)題課一、有關(guān)定積分概念和性質(zhì)的問題二、有關(guān)定積分計算的問題定積分及其相關(guān)問題 第五章 三、廣義積分第1頁，共51頁。一、有關(guān)定積分概念和性質(zhì)的問題1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限2. 用定積分性質(zhì)估值3. 與變限積分有關(guān)的問題例. 求解: 因為時,所以利用夾逼準(zhǔn)則得第2頁，共51頁。例. 證明證: 令則令得故第3頁，共51頁。解：例.設(shè)求定積分為常數(shù) ,設(shè), 則故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .第4頁，共51頁。設(shè)證：試證: 當(dāng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, = o( ) . 所以 = o( ) . 洛例. 第5頁，共51頁。例.求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得不妨設(shè)

2、 f (x)0,則第6頁，共51頁。注意 f (0) = 0, 得第7頁，共51頁。例. 用定積分表示下述極限 :解:或第8頁，共51頁。思考:如何用定積分表示下述極限 提示:極限為 0 !第9頁，共51頁。例.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明1：顯然時結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時,故所給不等式成立 .明對于任何第10頁，共51頁。證明2：(用積分中值定理)則由于在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞減.所以即令第11頁，共51頁。二、有關(guān)定積分計算和證明的方法1. 熟練掌握定積分計算的常用公式和方法2. 有關(guān)定積分命題的證明方法思考: 下列作法是否正確?第12頁，共51頁。3. 幾個

3、重要結(jié)論(1)偶倍奇零(2)(3) 設(shè) f (x) 是周期為T的連續(xù)函數(shù)，則第13頁，共51頁。(4)(6)(5)n 為偶數(shù)n 為奇數(shù)第14頁，共51頁。例. 求解: 法一則原式令第15頁，共51頁。令則原式 法二第16頁，共51頁。例. 計算積分原式 =解：第17頁，共51頁。例. 計算積分解：令(分部積分)第18頁，共51頁。例. 選擇一個常數(shù) c , 使解: 令則因為被積函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使即可使原式為 0 .第19頁，共51頁。解：例. 計算積分第20頁，共51頁。解：例. 計算積分第21頁，共51頁。例. 若解: 令試證 :則并計算第22頁，共51頁。因為對右端第二個積分

4、令綜上所述第23頁，共51頁。則由得第24頁，共51頁。例. 設(shè)求解:(分部積分)第25頁，共51頁。例. 設(shè)解法1.解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),得第26頁，共51頁。例. 證明 證：是以 為周期的函數(shù).是以 為周期的周期函數(shù).第27頁，共51頁。證：例.右端試證分部積分再次分部積分= 左端第28頁，共51頁。三、廣義積分1. 廣義積分的概念2. 牛頓萊布尼茲公式無窮限的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分廣義積分第29頁，共51頁。例. 求廣義積分解：原式=所以原積分發(fā)散.于是有第30頁，共51頁。解：原式=第31頁，共51頁。解：原式=原式=第32頁，共51頁。例10. 判斷廣義積分解：原式=所以積

5、分收斂的斂散性第33頁，共51頁。例. 解:則原式第34頁，共51頁。解:則原式第35頁，共51頁。解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡化成積分和形式利用夾逼準(zhǔn)則可知1. 求思考與練習(xí)第36頁，共51頁。2.求極限解：原式3. 求極限提示：原式左邊= 右邊第37頁，共51頁。4. 設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為T, 證明：解: (1) 記并由此計算則即第38頁，共51頁。(2)并由此計算周期的周期函數(shù)則有第39頁，共51頁。第40頁，共51頁。5. 求多項式 f (x) 使它滿足方程解: 令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見 f (x) 應(yīng)為二次多項式 ,設(shè)代入 式比較同次冪系數(shù) , 得故再求

6、導(dǎo):第41頁，共51頁。6.且由方程確定 y 是 x 的函數(shù) , 求解：方程兩端對 x 求導(dǎo), 得令 x = 1, 得再對 y 求導(dǎo), 得故第42頁，共51頁。7. 設(shè)解: 第43頁，共51頁。8.設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且 (1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點 , 使 (3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點 , 使 第44頁，共51頁。證: (1) 由 f (x)在a, b上連續(xù), 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)內(nèi)單調(diào)增, 因此 (2) 設(shè)滿足柯西中值定理條件, 于是存在 第45頁，共51頁。即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得 第46頁，共51頁。9. 設(shè)證: 設(shè)且試證 :則故 F(x) 單調(diào)不減 ,即 成立.第47頁，共51頁。10. 證明恒等式證: 令則因此又故所證等式成立 .第48頁，共51頁。11.試證使分析:即證故作輔助函數(shù)至少存在一點即第49頁，共51頁。證明: 令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不