D18函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)課件

1、四、 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類一、 函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 三、 初等函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 第1頁，共20頁。例1. 設(shè)函數(shù)一、 函數(shù)連續(xù)的概念定義:在的某鄰域內(nèi)有定義 , 則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且，討論在處的連續(xù)性。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁，共20頁。由例題可見 , 函數(shù)在點(diǎn)(1) 在點(diǎn)即(2) 極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;有定義 ,存在 ;例2. 設(shè)函數(shù)，討論處的連續(xù)性。在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁，共20頁。則稱在或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記

2、作稱在點(diǎn)處左連續(xù)稱在點(diǎn)處右連續(xù)如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) , 上連續(xù) , 則稱且在 a 點(diǎn)右連續(xù)，如果在開區(qū)間上連續(xù) , 在 b 點(diǎn)左連續(xù)，在閉區(qū)間上連續(xù)。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁，共20頁。例如,在上連續(xù) .有理整函數(shù)（多項式函數(shù)） 又如, 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁，共20頁。對自變量的增量有函數(shù)的增量函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價命題:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁，共20頁。函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有兩種形式的定義：用于判斷一個具體函數(shù)在一個已知點(diǎn)處的連續(xù)性用于證明函數(shù)在任意點(diǎn)處的連續(xù)性；或用于函數(shù)連續(xù)的理論分析機(jī)動 目錄

3、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁，共20頁。例3. 證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .證: 即這說明在內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁，共20頁。定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 , 商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁，共20頁。定理3. 由連續(xù)函數(shù)構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).在上連續(xù)

4、 單調(diào) 遞增,反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增. 又如, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁，共20頁。例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù) .復(fù)合而成 ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁，共20頁。三 . 初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁，共20頁。在在四、 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(1) 函數(shù)(2) 函數(shù)不存在;(3) 函數(shù)存在 ,但 不連續(xù) :設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則這樣

5、的點(diǎn)下列情形之一時, 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) 雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn) . 在無定義 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁，共20頁。為其無窮間斷點(diǎn) .為其振蕩間斷點(diǎn) .為可去間斷點(diǎn) .例4. 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)時無定義，且時無定義，且不存在，時無定義，且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁，共20頁。且為其可去間斷點(diǎn) .(4)(5) 為其跳躍間斷點(diǎn) .是分段點(diǎn)是分段點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁，共20頁。 初等函數(shù)的間斷點(diǎn)只能產(chǎn)生在函數(shù)孤立的無定義點(diǎn)上 分段函數(shù)的間斷點(diǎn)往往產(chǎn)生在分段點(diǎn)上（具體判別）機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn)的尋找：第16頁，共20頁。間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在 ,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個不存在 ,稱若其中有一個為振蕩 ,稱若其中有一個為為第一類可去間斷點(diǎn) .為第一類跳躍間斷點(diǎn) .為第二類無窮間斷點(diǎn) .為第二類振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁，共20頁。例5. 討論函數(shù)x = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)例6 . 設(shè)提示:為連續(xù)函數(shù),求 a，b .答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,及類型。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁，共20頁。例7. 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解: 間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷