人教版數(shù)學(xué)九上18《垂徑定理》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)（含答案）

1、PAGE 垂徑定理知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解圓的對(duì)稱(chēng)性；2.掌握垂徑定理及其推論；3.利用垂徑定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、垂徑定理1.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線(xiàn)或線(xiàn)段.知識(shí)點(diǎn)二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；平分弦所對(duì)的一條弧的

2、直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類(lèi)型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算與證明1如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于點(diǎn)D，且AB6 cm，OD4 cm，則DC的長(zhǎng)為（ ）A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm 【思路點(diǎn)撥】 欲求CD的長(zhǎng)，只要求出O的半徑r即可，可以連結(jié)OA，在RtAOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D； 【解析】連OA，由垂徑定理知，所以在RtAOD

3、中，（cm）所以DCOCODOAOD541（cm）.【點(diǎn)評(píng)】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度）構(gòu)成的直角三角形。舉一反三：【高清ID號(hào)：356965 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：例4-例5】【變式】如圖，O中，弦AB弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圓心O到弦CD 距離。 【答案】2（2015巴中模擬）如圖，AB為半圓直徑，O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，E是弧AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于點(diǎn)D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的長(zhǎng)【答案與解析】解：E為弧AC的中點(diǎn)，OEAC，AD=AC=4cm，OD=OEDE=（OE2）cm，OA=OE，在RtOAD中，OA2=

4、OD2+AD2即OA2=（OE2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm【點(diǎn)評(píng)】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度）構(gòu)成的直角三角形.舉一反三：【高清ID號(hào)：356965 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：例2-例3】【變式】已知：如圖，割線(xiàn)AC與圓O交于點(diǎn)B、C，割線(xiàn)AD過(guò)圓心O. 若圓O的半徑是5，且，AD=13. 求弦BC的長(zhǎng).【答案】6.類(lèi)型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用3如圖1，某公園的一座石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24m，拱的半徑為13m，則拱高為（ ） A5m B8m C7m Dm【思路點(diǎn)撥】 解決此題的關(guān)鍵是將這樣的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)

5、題，即能夠把題目中的已知條件和要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知條件和問(wèn)題【答案】B；【解析】如圖2，表示橋拱，弦AB的長(zhǎng)表示橋的跨度，C為的中點(diǎn)，CDAB于D，CD表示拱高，O為的圓心，根據(jù)垂徑定理的推論可知，C、D、O三點(diǎn)共線(xiàn)，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，則OD2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高為8m【點(diǎn)評(píng)】在解答有關(guān)弓形問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)找弓形的弧所在圓的圓心，然后構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用垂徑定理（推論）及勾股定理求解.4（2015蓬溪縣校級(jí)模擬）如圖是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線(xiàn)，弦CD是水位線(xiàn)，CDAB，且AB=

6、26m，OECD于點(diǎn)E水位正常時(shí)測(cè)得OE：CD=5：24（1）求CD的長(zhǎng)；（2）現(xiàn)汛期來(lái)臨，水面要以每小時(shí)4m的速度上升，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間橋洞會(huì)剛剛被灌滿(mǎn)？【答案與解析】解：（1）直徑AB=26m，OD=，OECD，OE：CD=5：24，OE：ED=5：12，設(shè)OE=5x，ED=12x，在RtODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，CD=2DE=2121=24m；（2）由（1）得OE=15=5m，延長(zhǎng)OE交圓O于點(diǎn)F，EF=OFOE=135=8m，即經(jīng)過(guò)2小時(shí)橋洞會(huì)剛剛被灌滿(mǎn)【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，求陰影部分面積經(jīng)常運(yùn)用求出空白面積來(lái)解決舉一反三：【

7、變式】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面距拱頂不超過(guò)3m時(shí)拱橋就有危險(xiǎn)，現(xiàn)在水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】不需要采取緊急措施 設(shè)OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324， 解得R=34(m). 連接OM，設(shè)DE=x，在RtMOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2， x2-68x+256=0， 解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)， DE=4m3m， 不需采取緊急措施 垂徑定理鞏

8、固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列結(jié)論正確的是（） A經(jīng)過(guò)圓心的直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸 B直徑是圓的對(duì)稱(chēng)軸 C與圓相交的直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸 D與直徑相交的直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸2下列命題中錯(cuò)誤的有( ) (1)弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心 (2)平分弦的直徑垂直于弦 (3)梯形的對(duì)角線(xiàn)互相平分 (4)圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3如圖所示，AB是O的直徑，CD是O的弦，ABCD于E，則圖中不大于半圓的相等弧有( ) Al對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì) 第3題 第5題4（2015廣元）如圖，已知O的直徑ABCD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（）ACE=DEBAE=OEC=DOCEODE5如

9、圖所示，矩形ABCD與O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，則MN的長(zhǎng)為（ ） A2 B4 C6 D86已知O的直徑AB=12cm，P為OB中點(diǎn)，過(guò)P作弦CD與AB相交成30角，則弦CD的長(zhǎng)為（ ）ABCD二、填空題7垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理是_8（2015黔西南州）如圖，AB是O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則O的半徑為9圓的半徑為5cm，圓心到弦AB的距離為4cm，則AB=_cm10如圖，CD為O的直徑，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=_cm 10題圖 11題圖 12題圖11如圖，O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分O

10、C，則AB=_cm，AOB=_12如圖，AB為O的弦，AOB=90，AB=a，則OA=_，O點(diǎn)到AB的距離=_三、解答題13如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度為60米，拱高18米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PN=4米時(shí)是否要采取緊急措施? 14. 如圖所示，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)P，CD10cm，AP:PB1:5，求O半徑 15（2015綿陽(yáng)模擬）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CFAD（1）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A；【解析】圖形的對(duì)稱(chēng)

11、軸是直線(xiàn)，圓的對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)圓心的直線(xiàn)，或直徑所在的直線(xiàn). 2.【答案】C；【解析】(1)正確；（2）“平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦”才是正確的，所以（2）不正確；（3）對(duì)角線(xiàn)互相平分就是平行四邊形，而不是梯形了，所以（3）不正確；（4）圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在的直線(xiàn)，所以（4）不正確故選C. 3.【答案】C；【解析】；. 4.【答案】B；【解析】O的直徑ABCD于點(diǎn)E，CE=DE，弧CB=弧BD，在OCE和ODE中，OCEODE，故選B5.【答案】C；【解析】過(guò)O作OHCD并延長(zhǎng)，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，MP=3，MN=2MP=23=6.6.【答案】A；【解析】作OHCD于H，

12、連接OD,則OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=. 二、填空題7【答案】垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧8【答案】； 【解析】連接OC，如圖所示：AB是O的直徑，CDAB，CE=CD=2，OEC=90，設(shè)OC=OA=x，則OE=x1，根據(jù)勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x1）2=x2，解得：x=；故答案為：9【答案】6； 10【答案】8；11【答案】； 12【答案】， ； 三、解答題13.【答案與解析】設(shè)圓弧所在圓的半徑為R，則R2-(R-18)2=302， R=34 當(dāng)拱頂高水面4米時(shí)，有， 不用采取緊急措施.14.【答案與解析】連結(jié)OC設(shè)APk，PB5k， AB為O直徑， 半徑且OPOAPA3kk2k ABCD