剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件

1、剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體運(yùn)動的描述剛體模型：剛體是一個張變彈性和切變彈性都是無窮大的連續(xù)介質(zhì)體。剛體的基本特征是具有剛性，即剛體在受力和運(yùn)動時(shí)形狀和大小都不發(fā)生變化，質(zhì)元間的距離保持不變。應(yīng)用條件？剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體的狀態(tài)： 剛體雖然是由無窮多質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系，但各質(zhì)元的狀態(tài)是非常受限制的。 剛體的狀態(tài)可用其質(zhì)心的狀態(tài)和整個剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動來描述。質(zhì)心的狀態(tài)有三個自由度，遵從質(zhì)心運(yùn)動定理。 剛體相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動一般有三個自由度，遵從質(zhì)心系的角動量定理。 一個自由的剛體一般有6個自由度。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件平動：剛體平動時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同

2、的軌跡。只要找到一點(diǎn)（例如質(zhì)心c）的運(yùn)動規(guī)律，剛體的運(yùn)動規(guī)律便全知道了。 應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，把剛體當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處理即可。此時(shí)，剛體有三個自由度。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件定軸轉(zhuǎn)動：剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動中都繞一固定軸作圓周運(yùn)動，稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動 。 應(yīng)用定軸的角動量定理，即角動量定理的軸向分量。 此時(shí)，剛體只有一個自由度。定 軸剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件平面運(yùn)動：二維平動+定軸轉(zhuǎn)動三個自由度定點(diǎn)轉(zhuǎn)動：三個自由度剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體的定軸轉(zhuǎn)動角速度 設(shè)剛體繞固定軸( z 軸)定軸轉(zhuǎn)動,我們用繞 z 軸的轉(zhuǎn)角描述其位置狀態(tài)，稱為角坐標(biāo)。與之對應(yīng)，剛體繞 z 軸轉(zhuǎn)動的角速度為 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件角速度矢量

3、： 角速度矢量 的方向定義為繞z軸旋進(jìn)的右手螺旋方向。 定軸角加速度 角加速度： 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件線角關(guān)系 剛體上的每個質(zhì)元都以同樣的角速度和角加速度繞定軸 z 作圓周運(yùn)動。距軸 r 處的質(zhì)元的速率、切向加速度和法向加速度分別為 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件定軸角動量定理和轉(zhuǎn)動定理 定軸角動量 剛體上某質(zhì)元mi相對于轉(zhuǎn)軸 z 的角動量為 整個剛體相對于轉(zhuǎn)軸 z 的定軸角動量為 其中 稱為轉(zhuǎn)動慣量， 由剛體的質(zhì)量及分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件定軸角動量定理 剛體繞z軸的定軸角動量實(shí)際上是剛體相對于原點(diǎn)o的角動量的z分量，因此角動量定理的z分量表達(dá)式，即為定軸角動量定理 剛體力學(xué)基

4、礎(chǔ)和應(yīng)用條件 其中M 是剛體所受外力對于 z 軸的合力矩，設(shè)剛體上某質(zhì)元 i 受到沿其運(yùn)動的切線方向的外力為fit ，則 L 是剛體所受角動量的 z 分量。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件 一般來說，剛體相對于軸的定軸角動量與其相對與原點(diǎn)的角動量不一定相同。然而，對許多實(shí)用情形，它們是一致的。例如，平板剛體繞與自身平面垂直的軸轉(zhuǎn)動時(shí)，若取轉(zhuǎn)軸與平板的交點(diǎn)為原點(diǎn)，則剛體對原點(diǎn)的角動量就是剛體對軸的定軸角動量。又如，對稱剛體繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動也是如此。 可以證明，任意剛體，至少有三個互相垂直的轉(zhuǎn)軸滿足上述條件，稱之為慣量主軸。 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件定軸轉(zhuǎn)動定理 對于某剛體，I 是常量，則 定軸轉(zhuǎn)動定理給出了

5、剛體的角加速度與所受力矩的關(guān)系。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件轉(zhuǎn)動動能 剛體上某質(zhì)元mi的動能 剛體總的轉(zhuǎn)動動能為 定軸動能定理剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件力矩的功 剛體上某質(zhì)元mi受外力作功為 外力對剛體作的總功為 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件定軸動能定理 根據(jù)動能定理或定軸轉(zhuǎn)動定理,可得定軸動能定理為 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體的定軸轉(zhuǎn)動的應(yīng)用轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的意義 將剛體的定軸轉(zhuǎn)動與一維直線運(yùn)動作一比較，不難發(fā)現(xiàn)它們之間從運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)到力學(xué)量的規(guī)律都極其相似。只需將各物理量作如下的變換即可 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件運(yùn)動學(xué)剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件動力學(xué) 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件動量與角動量 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件

6、動能定理 I 與質(zhì)量 m 相對應(yīng)，可見 I 表現(xiàn)了剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的慣性，因而稱之為轉(zhuǎn)動慣量。 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算普遍表達(dá)式為： 離散型： 線分布： 為線密度， 面分布： 為面密度， 體分布： 為體密度， 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件平行軸定理 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，若兩軸平行，其中一軸過質(zhì)心，則剛體對兩軸的轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系為 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件 其中 Ic 為剛體對過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，m為剛體的質(zhì)量， d為兩平行軸間的距離 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例4.1 求長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，和繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 解： 其中，線密度 繞端點(diǎn)： 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和

7、應(yīng)用條件常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例4.2 半徑為R的定滑輪，轉(zhuǎn)動慣量為I；滑輪邊緣上跨一細(xì)繩，兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的物體，并且 m1m2。忽略軸處的摩擦力，繩與輪之間無滑動。求滑輪的角加速度和物體 m1的加速度。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件解：將定滑輪和兩個物體隔離開，分別畫出它們所受的力和加速度或角加速度。定滑輪(1)(2)m2m1(3)剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件 上面三個方程中共有T1, T2, a1, a2,五個未知數(shù)。 再從切向加速度和角速度之間的關(guān)系中尋找兩個方程。因?yàn)槔K子與滑輪之間無滑動，所以物體 m1和 m2的加速度等于輪邊緣上的切向加速度，

8、約束方程為(4)(5)剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件五個方程聯(lián)立解得剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件討論： T1和T2是不相等的，只有當(dāng)定滑輪質(zhì)量忽略不計(jì)，也就是該滑輪轉(zhuǎn)動慣量為零時(shí)才有剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例如圖所示為一剛體繞固定軸作小角度擺動，稱之為復(fù)擺，已知剛體的轉(zhuǎn)動慣量為I，質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸的距離為 ，試求其擺動周期。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件解：力矩 轉(zhuǎn)動定理：得：若為細(xì)桿繞端點(diǎn)小角度擺動，則 可得：剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件剛體定軸轉(zhuǎn)動的守恒定理 角動量守恒 若某剛體系所受合外力矩 M = 0則dL = 0 或： 落體偏東 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例4.4 A,B兩均質(zhì)圓盤分別繞其過中心的垂直軸轉(zhuǎn)動，角速度分別是O

9、A=50rad/s， OB=200rad/s。它們的半徑和質(zhì)量分別為RA，RB，MA=2kg，MB=4kg。求兩圓盤對心銜接后的角速度。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件解：在銜接過程中，對轉(zhuǎn)軸無外力矩作用，因此銜接前、后系統(tǒng)對軸的角動量保持不變，即剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件機(jī)械能守恒 剛體的內(nèi)力不作功，所以當(dāng)其所受的外力作功為零時(shí)，機(jī)械能守恒 或： 剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例光滑水平面上靜止放著一個能繞其中心轉(zhuǎn)動的均勻細(xì)桿，質(zhì)量為M，桿長l，今有一質(zhì)量為m的小球以速度v，垂直于桿與桿的端點(diǎn)相撞。求碰撞后細(xì)桿的角速度。（1）完全彈性碰撞。（2）完全非彈性碰撞。剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件解：取桿心為固定參考點(diǎn)（1）角

10、動量守恒，能量守恒角動量守恒：能量守恒：解得： 當(dāng) 時(shí)， ，小球被反彈剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件（2）角動量守恒，整體運(yùn)動角動量守恒：整體運(yùn)動：解得：能量損失：剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件例4.6 一質(zhì)量為 的均勻圓柱體，沿傾角為 的斜面無滑動地滾下，求靜摩擦力，質(zhì)心加速度。摩擦系數(shù) 須滿足什么條件？剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件解：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理：根據(jù)質(zhì)心系的角動量定理：根據(jù)無滑動條件：剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件聯(lián)立解得：又即：得 須滿足：剛體力學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用條件陀螺儀 剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動一般是很復(fù)雜的，我們只討論一種較簡單的特殊情況，即陀螺的回轉(zhuǎn)運(yùn)動。陀螺的特點(diǎn)是，具有軸對稱性和繞此對稱軸有較大的轉(zhuǎn)動慣量。剛體的回轉(zhuǎn)運(yùn)動 剛體力