高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件3

1、 牛牛文庫文檔分享特點(diǎn):一、泰勒公式以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?x 的一次多項(xiàng)式 牛牛文庫文檔分享1. 求 n 次近似多項(xiàng)式要求:故令則 牛牛文庫文檔分享2. 余項(xiàng)估計令(稱為余項(xiàng)) ,則有 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享公式 (1) 稱為 的 n 階泰勒公式 .公式 (2) 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .定理1（泰勒中值定理）階的導(dǎo)數(shù) ,時, 有(1)其中(2)則當(dāng) 牛牛文庫文檔分享公式 (3) 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為注意到(3)(4)當(dāng) (4) 式成立.

2、時， 牛牛文庫文檔分享討論:1) 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?) 當(dāng) n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差 牛牛文庫文檔分享稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式 牛牛文庫文檔分享二、幾個初等函數(shù)的帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式 牛牛文庫文檔分享其中麥克勞林公式 牛牛文庫文檔分享麥克勞林公式 類似可得其中 牛牛文庫文檔分享其中麥克勞林公式 牛牛文庫文檔分享已知其中因此可得麥克勞林公式 牛牛文庫文檔分享解:例1. 求極限 牛牛文庫文檔分享例2.求解：當(dāng)時，有用洛必達(dá)法則

3、不方便 !從而 牛牛文庫文檔分享例3.求解:由于用泰勒公式將分子展到項(xiàng), 牛牛文庫文檔分享證: 由題設(shè)對例4.有且點(diǎn) 牛牛文庫文檔分享下式減上式 , 得令 牛牛文庫文檔分享泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用誤差M 為在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍. 牛牛文庫文檔分享例5. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過解: 已知令 x = 1 , 得由于欲使由計算可知當(dāng) n = 9 時上式成立 ,因此的麥克勞林公式為 牛

4、牛文庫文檔分享注: 計算時要注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過總誤差限為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 . 牛牛文庫文檔分享例6.計算的近似值.解：所以因此 牛牛文庫文檔分享泰勒多項(xiàng)式逼近6422464224O 牛牛文庫文檔分享泰勒多項(xiàng)式逼近642246O4224 牛牛文庫文檔分享泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 . 牛牛文庫文檔分享麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)