(人大版)線性代數(shù)教學(xué)課件：2.3幾種特殊的矩陣

1、23 幾種特殊的矩陣 (一)對角矩陣 (二)數(shù)量矩陣 (三)單位矩陣 (四)三角形矩陣 (五)對稱矩陣 第1頁，共16頁。(一)對角矩陣 對角矩陣 如果n階矩陣A(aij)中的元素滿足條件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)則稱A為n階對角矩陣 即第2頁，共16頁。提示 (一)對角矩陣 對角矩陣 對角矩陣的性質(zhì) 如果A B為同階對角矩陣 則kA AB AB仍為同階對角矩陣 第3頁，共16頁。提示 (一)對角矩陣 對角矩陣 對角矩陣的性質(zhì) 如果A B為同階對角矩陣 則kA AB AB仍為同階對角矩陣 第4頁，共16頁。提示 (一)對角矩陣 對角矩陣 對角矩陣的性質(zhì) 如果A B為同階對

2、角矩陣 則kA AB AB仍為同階對角矩陣 第5頁，共16頁。(一)對角矩陣 對角矩陣 對角矩陣的性質(zhì) 如果A B為同階對角矩陣 則kA AB AB仍為同階對角矩陣 顯然 如果A是對角矩陣 則ATA 第6頁，共16頁。(二)數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣 如果n階對角矩陣A中的元素a11a22 anna 則稱A為n階數(shù)量矩陣 即 第7頁，共16頁。(二)數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣的性質(zhì) 以數(shù)量矩陣A左乘或右乘(如果可乘)一個矩陣B 其乘積等于以數(shù)a乘矩陣B 提示 第8頁，共16頁。(二)數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣的性質(zhì) 以數(shù)量矩陣A左乘或右乘(如果可乘)一個矩陣B 其乘積等于以數(shù)a乘矩陣B 提示 第9

3、頁，共16頁。(三)單位矩陣 單位矩陣 如果n階數(shù)量矩陣A中元素a1 則稱A為n階單位矩陣 記作In(或En) 有時簡記為I(或E) 即 單位矩陣的性質(zhì) ImAmnAmn AmnInAmn 對于n階矩陣A 規(guī)定A0I 單位矩陣I在矩陣乘法中與數(shù)1在數(shù)的乘法中的性質(zhì)類似 第10頁，共16頁。(四)三角形矩陣 上三角形矩陣 如果n階矩陣A(aij)中元素滿足條件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)則稱A為n階上三角形矩陣 即 第11頁，共16頁。(四)三角形矩陣 上三角形矩陣 下三角形矩陣 如果n階矩陣B(bij)中元素滿足條件 bij0 ij (i, j1, 2, , n)則稱B為n

4、階下三角形矩陣 即 第12頁，共16頁。(四)三角形矩陣 上三角形矩陣 下三角形矩陣 三角形矩陣的性質(zhì) 若A B為同階同結(jié)構(gòu)三角形矩陣 容易驗證kA AB AB仍為同階同結(jié)構(gòu)三角形矩陣 第13頁，共16頁。舉例 (五)對稱矩陣 對稱矩陣 如果n階矩陣A(aij)中滿足aijaji (i, j1, 2, , n) 則稱A為對稱矩陣 對稱矩陣A的元素關(guān)于主對角線對稱 因此有ATA 對稱矩陣的性質(zhì) 數(shù)乘對稱矩陣及同階對稱矩陣之和仍為對稱矩陣 但對稱矩陣乘積未必對稱 第14頁，共16頁。(五)對稱矩陣 對稱矩陣 如果n階矩陣A(aij)中滿足aijaji (i, j1, 2, , n) 則稱A為對稱矩陣 對稱矩陣A的元素關(guān)于主對角線對稱 因此有ATA 對稱矩陣的性質(zhì) 數(shù)乘對稱矩陣及同階對稱矩陣之和仍為對稱矩陣 但對稱矩陣乘積未必對稱 對任意矩陣A ATA和AAT都是對稱矩陣 第15頁，共16頁。 例1 設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣 證明 當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換時 AB是對稱的 由于A與B都是對稱矩陣 所以ATA BTB 如果ABBA 則有 證 所以AB是對稱的 (A