【百強(qiáng)校】河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試卷（帶解析）

1、【百強(qiáng)?！?017屆河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試卷（帶解析）1是的共軛復(fù)數(shù)，若為虛數(shù)單位），則（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：設(shè)，依題意有，故.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算【易錯(cuò)點(diǎn)晴】在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,經(jīng)常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)知識(shí),綜合起來加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對(duì)加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類似分母有理化;用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)

2、中的運(yùn)算問題.2已知向量與的夾角為，則在方向上的投影為（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：投影為.考點(diǎn)：向量概念及運(yùn)算3在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)里有段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，曰增十三里：駑馬初日行九十七里，曰減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢？（ ）A日 B日 C日 D日【答案】D【解析】試題分析：設(shè)日相逢，解得.考點(diǎn)：實(shí)際應(yīng)用問題，相遇問題，數(shù)列求和4已知，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：依題意，故.考點(diǎn)：不等式5動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為為原點(diǎn)，則的最大值是（ ）

3、A B C D【答案】D【解析】試題分析：依題意，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最大值為.考點(diǎn)：向量，線性規(guī)劃6如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）A BC D【答案】C【解析】試題分析：由三視圖可知，這是一個(gè)四棱錐，如下圖所示，根據(jù)這幾個(gè)數(shù)據(jù)，即可得出選項(xiàng)C.另外，故.考點(diǎn)：三視圖7已知函數(shù)是奇函數(shù)，其中,則函數(shù)的圖象（ ）A關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到C可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到D可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】C【解析】試題分析：依題意有，故，故由向左移個(gè)單位得到.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換8中，若，則（ ）A BC是直角三角形

4、D或【答案】D【解析】試題分析：由三角形內(nèi)角和定理，得，化簡(jiǎn)得，所以是直角三角形或者.考點(diǎn)：解三角形9已知數(shù)列滿足，若，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：取倒數(shù)，得，故，故，.考點(diǎn)：數(shù)列與不等式10如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由此，故，解得.考點(diǎn)：向量運(yùn)算11已知函數(shù)，在處取得極大值，記,程序框圖如圖所示，若輸出的結(jié)果，則判斷框中可以填人的關(guān)于的判斷條件是（ ）A？ B？ C？ D？【答案】B【解析】試題分析：，程序框圖的作用是求其前項(xiàng)和，由

5、于，故再循環(huán)一次就滿足，故填.考點(diǎn)：算法與程序框圖【思路點(diǎn)晴】本題考查裂項(xiàng)相消法，把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT （其中 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.12已知滿足，則（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：令，則排除A，C，令，故選B.考點(diǎn)：數(shù)列求和【思路點(diǎn)晴】本題可用特殊值

6、法迅速得到答案.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的若 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，其中 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是公比為 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 等比數(shù)列，令 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，則 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 兩式錯(cuò)位相減并整理即得.

7、評(píng)卷人得分一、填空題（題型注釋）13數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的都有：，則 【答案】【解析】試題分析：令，令，故. 考點(diǎn)：數(shù)列的基本概念，合情推理與演繹推理14在中，則的值為 【答案】【解析】試題分析：如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，故.考點(diǎn)：向量運(yùn)算15在中,角、所對(duì)的邊分別為、，且，則面積的最大值為 【答案】【解析】試題分析：，外接圓直徑為，由圖可知，當(dāng)在，則由相交弦定理有，解得，故最大面積為.考點(diǎn)：解三角形【思路點(diǎn)晴】我們結(jié)合圖像，很容易知道這就是.三角形一邊和對(duì)角是固定的，也就是外接圓是固定的，所以面積最大也就是高最大，在圓上利用相交弦定理就可以求出高了.16已知方程有個(gè)不同的

8、實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：定義域?yàn)椋?，這是一個(gè)偶函數(shù)，我們只需研究上的零點(diǎn)即可，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，要有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，解得.考點(diǎn)：函數(shù)圖象與性質(zhì)，零點(diǎn)問題【思路點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.此類題目有兩種方法，一種是分離參數(shù)，但是本題分離參數(shù)法處理起來很麻煩，可以直接討論，也就是先根據(jù)奇偶性，簡(jiǎn)化題目，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)畫出函數(shù)的草圖，討論之后可得到的范圍.評(píng)卷人得分二、解答題（題型注釋）17在中,角

9、、所對(duì)的邊分別為、,且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理，可化簡(jiǎn)已知條件得，由此求得；（2）用誘導(dǎo)公式和降次公式，化簡(jiǎn)條件得，由于，故，由此求得，進(jìn)而求得取值范圍得.試題解析：（1）由正弦定理可得，,從而可得,又為三角形的內(nèi)角, 所以,于是,又為三角形的內(nèi)角, 因此.（2）,由可知,從而,因此,故的取值范圍為.考點(diǎn)：解三角形18設(shè)數(shù)列的前和為，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列, 并分別寫出和關(guān)于的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù),使得？若存在,求出的值; 若不存在, 請(qǐng)說明理由；（3）設(shè),若不等式,對(duì)恒成立, 求的最大值.【答案】（1）證

10、明見解析，；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用，求得，這是等差數(shù)列，故；（2），這是等差數(shù)列，前向和為，故；（3），利用裂項(xiàng)求和法求得，解得，故.試題解析：（1）由,得,相減得.故數(shù)列是以為首項(xiàng),以公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,由,得,即存在滿足條件的自然數(shù).（3）,即單調(diào)遞增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.故符合條件的最大值為. 考點(diǎn)：數(shù)列的基本概念，數(shù)列求和，不等式19如圖, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓與軸正半軸交于點(diǎn),點(diǎn)在單位圓上, 且.（1）求的值；（2）若四邊形是平行四邊形.當(dāng)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；設(shè),點(diǎn),且,求關(guān)于的函數(shù)的解析式, 并求其單調(diào)增區(qū)間.【答

11、案】（1）；（2）；，增區(qū)間為和.【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)定義得，由齊次方程可計(jì)算的結(jié)果為；（2）設(shè)中點(diǎn)為,則,又,代入上式得點(diǎn)的軌跡方程；依題意得，又由知，代入正弦的單調(diào)區(qū)間，求得增區(qū)間為和.試題解析：（1）由三角函數(shù)定義得,所以.（2）四邊形是平行四邊形, 所以與互相平分.設(shè)中點(diǎn)為,則,又,代入上式得點(diǎn)的軌跡方程.依題意得,又由知,或的增區(qū)間為和.考點(diǎn)：解三角形，軌跡方程，參數(shù)方程，三角恒等變換20已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知,當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)扱值點(diǎn),且,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由已知可得在上恒成立,分離參數(shù)得

12、，求右邊函數(shù)的最大值為，故；（2），求導(dǎo)得，寫出根與系數(shù)關(guān)系.化簡(jiǎn)，令換元后，利用導(dǎo)數(shù)可求得其最小值為.試題解析：（1）由已知可得在上恒成立, 恒成立, 記,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,.（2），當(dāng)時(shí)，由，由已知有兩互異實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得， .令,單調(diào)遞減,.考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式【方法點(diǎn)晴】解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時(shí)，方法是不同的求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)

13、間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值21在單調(diào)遞增數(shù)列中, ,且成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列，. （1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.【答案】（1）證明見解析；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)有，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列為等差數(shù)列；由得首項(xiàng)為公差為，所以，即，結(jié)合可得,因此,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；（2），另外，故，所以，利用裂項(xiàng)求和法求得.試題解析：（1）因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增數(shù)列, 由題意 成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列得. ,

14、于是 , 化簡(jiǎn)得 , 所以數(shù)列為等差數(shù)列.又,所以數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,從而.結(jié)合可得,因此,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí).（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式為:,因?yàn)?所以,則有.考點(diǎn)：數(shù)列與不等式【方法點(diǎn)晴】在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：(1)在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式22選修4-1

15、：幾何證明選講如圖, 是圓上兩點(diǎn), 延長(zhǎng)至點(diǎn),滿足,過作直線與圓相切于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn).（1）證明:；（2）求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）只需證，利用弦切角等于所夾的弧所對(duì)的圓周角，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，結(jié)合題目中是的平分線，可證明；（2）由切割線定理，求得，由（1）可證明，則,故.試題解析：（1）由題可, 故,故.（2）因?yàn)榕c分別為圓的切線和割線, 所以,得,又因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn),則,則,則,故.考點(diǎn)：幾何證明選講23選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)與曲線交于點(diǎn).（1）求曲線,的普通方程；（2）是曲線上的兩點(diǎn), 求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）利用消去參數(shù)，可求得的方程為,對(duì)，依題意設(shè)方程為，的直角坐標(biāo)為，代入求得，故圓的方程為: ；（2）曲線的方程為,將代入可求得，進(jìn)一步代入.試題解析：（1）將及時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù), 代入得,所以的方程為,設(shè)圓的半徑,則圓的方程為(或),將點(diǎn)代入得: 圓的方程為:( 或).（2）設(shè)曲線的方