高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.學(xué)會空間直角坐標(biāo)系的建立方法，掌握空間向量的坐標(biāo)表示2.會判斷兩向量平行或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式 1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底i，j，k，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k方向?yàn)檎较?，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立 ，O叫做 ， i，j，k都叫做 。 對于空間任意一個向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxe1ye2ze3，則把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，

2、e3下的坐標(biāo)，記作 ?？臻g向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法abab 減法abab 數(shù)乘aa 數(shù)量積abab 空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0ab 模|a|eq r(aa)|a| 夾角cosa，beq f(ab,|a|b|)cosa，beq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3) r(boal(2,1)boal(2,2)

3、boal(2,3)【小試牛刀】1已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸，y軸，z軸的正方向上的單位向量，且eq o(AB,sup6()ijk，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A(1,1，1) B(i，j，k) C(1，1，1) D不確定判斷對錯。(1)空間直角坐標(biāo)系中，向量eq o(AB,sup6()的坐標(biāo)與終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同( )(2)設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，則abeq f(x1,x2)eq f(y1,y2)eq f(z1,z2).( )(3)四邊形ABCD是平行四邊形，則向量eq o(AB,sup6()與eq o(DC,sup6()的坐標(biāo)相同( )(4)設(shè)A(0,

4、1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq o(OA,sup6()(0,1，1)( )【經(jīng)典例題】題型一空間直角坐標(biāo)系注意：建系時要充分利用圖形的線面垂直關(guān)系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標(biāo)時，考慮圖形的性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算，將向量用基底表示例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PAAD1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量eq o(MN,sup6()的坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練 1 如圖在邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，O，M分別是AC，DD1的中點(diǎn)，寫出下列向量的坐標(biāo).eq o(AM,sup6()_，eq o(OB1,sup6()_.題

5、型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2 （1）設(shè)a(1，1，3)，b(2，1，2)，則a2b_.設(shè)a(1，1，1)，b(2，0，1)，則cosa，b_.（3）已知點(diǎn)A(1，2，0)，B(1，0，2)，則|eq o(AB,sup6()|_.跟蹤訓(xùn)練 2 若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且滿足條件(ca)(2b)2，則x_.題型三空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的運(yùn)用例3 設(shè)a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.跟蹤訓(xùn)練 3 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面邊長AB2，AB1BC1，點(diǎn)O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn).建立

6、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求三棱柱的側(cè)棱長；(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，則a與b的夾角為()A.0 B.45 C.90 D.1802.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(5，1，2)，A(4，2，1)，若eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()，則點(diǎn)B應(yīng)為()A.(1，3，3) B.(9，1，1) C.(1，3，3) D.(9，1，1)3若ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等邊三角形4已知a(2，3,1)

7、，則下列向量中與a平行的是()A(1,1,1) B(4,6，2) C(2，3,5) D(2，3,5)5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A1 B.eq f(1,5) C.eq f(3,5) D.eq f(7,5)6.已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，則|ab|的最小值為()A.eq f(r(5),5) B.eq f(r(55),5) C.eq f(3r(5),5) D.eq f(11,5)7.已知A(2,3,1)，B(2，5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求證：四邊形ABCD為平行四邊形8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq o(O

8、A,sup6()(1，2，3)，eq o(OB,sup6()(2，1，2)，eq o(OP,sup6()(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，則當(dāng)eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()取得最小值時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】1.空間直角坐標(biāo)系Oxyz 原點(diǎn) 坐標(biāo)向量 p(x，y，z)2. a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) (a1，a2，a3) a1b1a2b2a3b33. eq r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3) a1b1a2b2a3b30【小試牛刀】1.D 解析由eq o(AB,sup6()ijk只能確定向

9、量eq o(AB,sup6()(1,1，1)，而向量eq o(AB,sup6()的起點(diǎn)A的坐標(biāo)未知，故終點(diǎn)B的坐標(biāo)不確定2.（1） （2） （3） （4）【經(jīng)典例題】例1 解以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則M(0，eq f(1,2)，0)，N(eq f(1,2)，eq f(1,2)，eq f(1,2)eq o(MN,sup6()(eq f(1,2)，0，eq f(1,2)跟蹤訓(xùn)練 1(2,0,1)(1,1,2) 解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，eq o(AM,sup6()(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，e

10、q o(OB1,sup6()(1,1,2)例2（1）(3，1，7) 解析a2b(1,1,3)2(2，1，2)(1，1，3)(4，2，4)(3，1，7).（2）eq f(r(15),15) 解析 cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(21,r(3)r(5)eq f(r(15),15).（3）2eq r(2) 解析 |eq o(AB,sup6()|eq r(（11）2（20）2（02）2)2eq r(2).跟蹤訓(xùn)練 2 2 解析據(jù)題意，有ca(0,0,1x),2b(2,4,2)，故(ca)2b2(1x)2,解得x2.例3 解 (1)kab(k2,5k3，k5)，a3b(132,533，

11、135)(7，4，16)因?yàn)?kab)(a3b)，所以eq f(k2,7)eq f(5k3,4)eq f(k5,16)，解得keq f(1,3).因?yàn)?kab)(a3b)，所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得keq f(106,3).跟蹤訓(xùn)練 3 解(1)設(shè)側(cè)棱長為b,則A(0，1，0)，B1(eq r(3)，0，b)，B(eq r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，所以eq o(AB1,sup6()(eq r(3)，1，b)，eq o(BC1,sup6()(eq r(3)，1，b).因?yàn)锳B1BC1，所以eq o(AB1,sup6()eq o(BC1,sup6()(eq

12、r(3)，1，b)(eq r(3)，1，b)(eq r(3)212b20，解得beq r(2).故側(cè)棱長為eq r(2).(2)由(1)知eq o(AB1,sup6()(eq r(3)，1，eq r(2)，eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1，0)，因?yàn)閨eq o(AB1,sup6()|eq r(（r(3)）212（r(2)）2)eq r(6)，|eq o(BC,sup6()|eq r(（r(3)）21202)2，eq o(AB1,sup6()eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1，eq r(2)(eq r(3)，1，0)(eq r(3)2112，所以coseq o(AB

13、1,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(|o(AB1,sup6()o(BC,sup6()|,|o(AB1,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(|2|,r(6)2)eq f(r(6),6).所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為eq f(r(6),6).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】C 解析cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(22,r(5)r(6)0，0a，b180，a，b90.2. B 解析設(shè)B(x，y，z)，由eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()得(5，1，2)(x4，y2，z1)，eq blc(avs4alco1(x45，,y21，,z12，

14、)eq blc(avs4alco1(x9，,y1，,z1.)3.A解析eq o(AB,sup6()(3,4,2)，eq o(AC,sup6()(5,1,3)，eq o(BC,sup6()(2，3,1)由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，得A為銳角；由eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0，得C為銳角；由eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()0，得B為銳角所以ABC為銳角三角形4.B 解析若b(4,6，2)，則b2(2，3,1)2a，所以ab.5.D 解析依題意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a

15、|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得keq f(7,5).6. C 解析ab(1t，1t，t)(2，t，t)(1t，12t，0)，|ab|eq r(（t1）2（12t）2)eq r(5t22t2) eq r(5blc(rc)(avs4alco1(tf(1,5)sup12(2)f(9,5)，|ab|mineq f(3r(5),5).7.證明 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意 =（-2，3，1），=（2，-5，3），= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).由 =， =，可知，所以四邊形ABCD是平行四邊形. 8. 解設(shè)eq o(OQ,sup6()eq o(OP,sup6()，eq o(QA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()(1，2，3)(1，1，2)(1，2，32)，eq o(QB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OQ,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OP,sup6()(2，1，2)(1，1，2)(2，1，22)，則eq o(QA,