高中數(shù)學選修第一冊：課時跟蹤檢測（二十） 直線與橢圓的位置關(guān)系

1、課時跟蹤檢測（二十） 直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ)級基礎(chǔ)鞏固1已知直線l過點(3，1)，且橢圓C：eq f(x2,25)eq f(y2,36)1，則直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)為()A1B1或2C2D0解析：選C因為直線過定點(3，1)且eq f(32,25)eq f(12,36)1，所以點(3，1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個公共點2若直線ykx2與橢圓eq f(x2,3)eq f(y2,2)1相切，則斜率k的值是()A.eq f(r(6),3)Beq f(r(6),3)Ceq f(r(6),3)Deq f(r(3),3)解析：選C把ykx2代入eq f(x2,3)eq f(y2,2)1，得

2、(23k2)x212kx60，由題意知0，k2eq f(2,3)，keq f(r(6),3).3過橢圓x22y24的左焦點作傾斜角為eq f(,3)的弦AB，則弦AB的長為()A.eq f(6,7)B.eq f(16,7)C.eq f(7,16)D.eq f(7,6)解析：選B易求直線AB的方程為yeq r(3)(xeq r(2)由eq blcrc (avs4alco1(yr(3)xr(2)，,x22y24)消去y并整理，得7x212eq r(2)x80.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(12r(2),7)，x1x2eq f(8,7).由弦長公式，得|AB|eq r(1

3、k2)|x1x2|eq r(1r(3)2) eq avs4al(r(blc(rc)(avs4alco1(f(12r(2),7)24f(8,7)eq f(16,7).4已知F是橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1的一個焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則ABF的面積最大值為()A6B15C20D12解析：選D由題意知，SABFeq f(1,2)|OF|y1y2|eq f(1,2)|OF|2b12.5已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點是M(4,1)，則橢圓的離心率是()A.eq f(1,2)B.eq f(r(2),2

4、)C.eq f(r(3),2)D.eq f(r(5),5)解析：選C設(shè)直線xy50與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y22，直線AB的斜率keq f(y1y2,x1x2)1.由eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1，,f(xoal(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1)得eq f(x1x2x1x2,a2)eq f(y1y2y1y2,b2)0，eq f(y1y2,x1x2)eq f(b2,a2)eq f(x1x2,y1y2)1，eq f(b2,a2)eq f(1,4)，故橢圓的離心率eeq

5、 f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq f(r(3),2).故選C.6已知橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1，過橢圓的右焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，則|AB|_.解析：易求得a5，b4，所以|AB|eq f(2b2,a)eq f(242,5)eq f(32,5).答案：eq f(32,5)7某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓(地球看作是球體)，測得近地點A距離地面m km，遠地點B距離地面n km，地球半徑為R km，關(guān)于這個橢圓有下列說法：焦距為nm；短軸長為eq r(mRnR)；離心率eeq f(nm,mn2R).其中正確說法的序號為_

6、解析：由題意，得nRac，mRac，可解得2cnm，aeq f(mn2R,2)，2b2eq r(a2c2)2eq r(mRnR)，eeq f(nm,mn2R)，故正確，不正確答案：8過橢圓eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_解析：由題意知，右焦點的坐標為(1,0)，直線的方程為y2(x1)，將其與eq f(x2,5)eq f(y2,4)1聯(lián)立，消去y，得3x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(5,3)，x1x20，所以|AB|eq r(1k2)|x1x2|eq r(122)e

7、q r(blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)240)eq f(5r(5),3).設(shè)原點到直線的距離為d，則deq f(|2|,r(1222)eq f(2,r(5).所以SOABeq f(1,2)|AB|deq f(1,2)eq f(5r(5),3)eq f(2,r(5)eq f(5,3).答案：eq f(5,3)9已知橢圓4x2y21及直線yxm，若直線被橢圓截得的弦長為eq f(2r(10),5)，求直線的方程解：把直線方程yxm代入橢圓方程4x2y21，得4x2(xm)21，即5x22mxm210.(*)則(2m)245(m21)16m2200，解得eq f(r(5),2)me

8、q f(r(5),2).設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1，x2，則x1x2eq f(2m,5)，x1x2eq f(m21,5).根據(jù)弦長公式，得eq r(112)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2m,5)24f(m21,5)eq f(2r(10),5)，解得m0.因此，所求直線的方程為yx.10.如圖，已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB90，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且eq o(AF2,sup7()2eq o(F2B,sup7()，

9、求橢圓的方程解：(1)若F1AB90，則AOF2為等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以aeq r(2)c，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x，y)，由eq o(AF2,sup7()2eq o(F2B,sup7()，解得xeq f(3,2)，yeq f(b,2).代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(f(9,4),a2)eq f(f(b2,4),b2)1，即eq f(9,4a2)eq f(1,4)1，解得a23，b22，所以橢圓方程為eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.B級綜合運用11直

10、線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A.eq f(1,3)B.eq f(1,2)C.eq f(2,3)D.eq f(3,4)解析：選B設(shè)橢圓的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，不妨設(shè)直線方程為eq f(x,c)eq f(y,b)1.橢圓的中心到l的距離為其短軸長的eq f(1,4)，eq f(1,r(f(1,c2)f(1,b2)eq f(b,2)，即4b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,c2)f(1,b2)，eq f(b2,c2)3，eq

11、f(a2c2,c2)3，eeq f(c,a)eq f(1,2).故選B.12若點(x，y)在橢圓4x2y24上，則eq f(y,x2)的最小值為()A1B1Ceq f(2r(3),3)D以上都不對解析：選C設(shè)eq f(y,x2)k，則yk(x2)由eq blcrc (avs4alco1(4x2y24，,ykx2)消去y，整理得(k24)x24k2x4(k21)0，16k444(k21)(k24)0，解得keq f(2r(3),3)，kmineq f(2r(3),3).選C.13已知動點P(x，y)在橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上，若A點坐標為(3,0)，|eq o(AM,

12、sup7()|1，且eq o(PM,sup7()eq o(AM,sup7()0，則|eq o(PM,sup7()|的最小值是_解析：易知點A(3,0)是橢圓的右焦點eq o(PM,sup7()eq o(AM,sup7()0，eq o(AM,sup7()eq o(PM,sup7().|eq o(PM,sup7()|2|eq o(AP,sup7()|2|eq o(AM,sup7()|2|eq o(AP,sup7()|21，橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，故|eq o(AP,sup7()|min2，|eq o(PM,sup7()|mineq r(3).答案：eq r(3)14在平面直角坐標系xOy中

13、，點P到兩點(0，eq r(3)，(0，eq r(3)的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線ykx1與C交于A，B兩點，k為何值時eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()？此時|AB|的值是多少解：(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓的定義知，點P的軌跡C是以(0，eq r(3)，(0，eq r(3)為焦點，長半軸長為2的橢圓，它的短半軸長beq r(22r(3)2)1.故曲線C的方程為eq f(y2,4)x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x24.)消去y，并整理，得(k24)x

14、22kx30.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2eq f(2k,k24)，x1x2eq f(3,k24).若eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()，則x1x2y1y20.因為y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，所以x1x2y1y2eq f(3,k24)eq f(3k2,k24)eq f(2k2,k24)1eq f(4k21,k24)0，所以keq f(1,2).當keq f(1,2)時，x1x2eq f(4,17)，x1x2eq f(12,17).所以|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2) eq r(f(5,4)blcrc(avs4alc

15、o1(blc(rc)(avs4alco1(f(4,17)24f(12,17)eq f(4r(65),17).C級拓展探究15有一橢圓形溜冰場，長軸長是100 m，短軸長是60 m現(xiàn)要在這個溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形，且使這個矩形的面積最大，試確定這個矩形的頂點的位置這時矩形的周長是多少？解：分別以橢圓的長軸、短軸所在的直線為x軸、y軸，以長軸的中點為坐標原點O，建立如圖的平面直角坐標系xOy.設(shè)矩形ABCD的各頂點都在橢圓上易知矩形ABCD關(guān)于原點O及x軸，y軸對稱已知橢圓的長軸長2a100 m，矩軸長2b60 m，則a50 m，b30 m，所以橢圓的方程為eq f(x2,502)eq f(y2,302)1.設(shè)點A的坐標為(x0，y0)，x00，y00，則eq f(xoal(2,0),502)eq f(yoal(2,0),302)1，即yeq oal(2,0)eq f(302,502)(502xeq oal(2,0)根據(jù)矩形ABCD的對稱性，可知它的面積S4x0y0.xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)xeq oal(2,0)eq f(302,502)(502xeq oal(2,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(30,50)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xoal(