概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)課件第一章古典概型與概率空間

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計11. 確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.特點在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行實驗或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的.引 言22. 隨機現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果. 即在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行觀測或試驗，它的結(jié)果未必是相同的.3隨機現(xiàn)象的特點雖然在個別試驗中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 這種在大量重復(fù)試驗或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計

2、正是研究隨機現(xiàn)象的這種統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支. 下面我們就來開始這門課程的學(xué)習(xí).5 在考慮一個(未來)事件是否會發(fā)生的時候, 人們常關(guān)心該事件發(fā)生的可能性的大小.就像用尺子測量物體的長度、我們用概率測量一個未來事件發(fā)生的可能性大小.將概率作用于被測事件就得到該事件發(fā)生的可能性大小的測量值.為了介紹概率，首先需要介紹試驗和事件.第一章 古典概型與概率空間6一、隨機試驗我們把按照一定的想法去作的事情稱為隨機試驗.隨機試驗的簡稱是 試驗 (experiment).實例1擲一個硬幣, 觀察是否正面朝上.實例2擲兩枚骰子, 觀察擲出的點數(shù)之和.實例3在一副撲克牌中隨機抽取兩張, 觀察是否得到數(shù)字相同的一對

3、.1.1 試驗與事件7在概率論的語言中, 試驗還是指對試驗的一次觀測或試驗結(jié)果的測量過程.投擲一枚硬幣, 用 表示硬幣正面朝上, 用 表示硬幣反面朝上, 則試驗有兩個可能的結(jié)果： 和 . 我們稱 和 是樣本點,稱樣本點的集合 為試驗的樣本空間.二、 樣本空間8投擲一枚骰子, 用1表示擲出點數(shù)1, 用2表示擲出點數(shù)2, , 用6表示擲出點數(shù)6.試驗的可能結(jié)果是1, 2, 3, 4, 5, 6.我們稱這6個數(shù)是試驗的樣本點.稱樣本點的集合 是試驗的樣本空間.9為了敘述的方便和明確，下面把一個特定的實驗稱為試驗S. 稱試驗S的一個可能結(jié)果為S的一個樣本點(sample point) ，用表示稱試驗

4、S 的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合為S 的樣本空間(sample space) ，用表示10例1將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為 =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),Hhead,Ttail.第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中11三、 隨機事件1. 隨機事件投擲一枚骰子的樣本空間是A=3 表示擲出3點, 則A是 的子集.我們稱A是事件.擲出3點, 就稱事件A發(fā)生, 否則稱事件A不發(fā)生.用集合B=2,4,6表示擲出偶數(shù)點, B是 的子集, 我們也稱B是事件.當(dāng)擲出偶數(shù)點, 稱事件B發(fā)生, 否則稱事件B不發(fā)生. 事件B發(fā)生和擲出偶數(shù)點是等價

5、的.12當(dāng)試驗的樣本點(試驗結(jié)果) 落在 A 中, 稱事件 A 發(fā)生, 否則稱 A 不發(fā)生.按照上述約定, 子集符號 表示A是事件. 通常用大寫字母 A, B, C, D 等表示事件.設(shè) 是試驗S的樣本空間.當(dāng) 中只有有限個樣本點時,稱 的子集為事件.13用 表示集合A的余集.則事件A發(fā)生和樣本點 是等價的,事件A不發(fā)生和樣本點 是等價的.14例1(續(xù)). 將一枚硬幣拋擲兩次,則樣本空間為事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作 A: “兩次出現(xiàn)的面不同” 或 A=兩次出現(xiàn)的面不同 用樣本空間的子集可表達(dá)為A= (H,T), (T,H) =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)Hh

6、eadTtail15例2投擲一枚骰子, 觀察擲出的點數(shù).B =“擲出奇數(shù)點”= 1,3,5.Ai =“擲出i點” = i，i =1, 2, 6基本事件16特殊的事件：必件然事 ： 在每次試驗中必出現(xiàn) 中一個樣本點，即在每次試驗中 必發(fā)生, 因此稱 為必然事件; 不件可事能：在每次試驗中，所出現(xiàn)的樣本點都不在中，即在每次試驗中 都不發(fā)生，因此稱 為不可能發(fā)生的事件。17注: 樣本空間 是由試驗S的可能結(jié)果構(gòu)成的集合. 樣本點 是 的元素，事件A 就是 的子集. 18當(dāng)A、B都是事件, 則 都是事件， 也就是說事件經(jīng)過集合運算得到的結(jié)果還是事件.我們也用AB表示2. 事件與集合193. 事件的關(guān)系

7、與運算(1)若AB，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B.事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生.(2)若AB, BA, 即A=B，則稱事件A與事件B相等.20(3) 事件 稱為事件A與事件B的并（或和）事件. “A與B至少有一個發(fā)生”, “A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件發(fā)生” 等價. 當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個發(fā)生時, 事件 發(fā)生.AB21類似地，稱 為n個事件A1, , An的和事件.稱 為可列個事件A1, , An,的和事件.22(4) 事件稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB. 當(dāng)且僅當(dāng)A、B同時發(fā)生時，事件AB發(fā)生.“事件A和B同時發(fā)生”， “A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生” 等價.AB2

8、3稱 為可列個事件A1, , An, 的積事件.稱 為n個事件A1, , An的積事件.24(5) 事件AB稱為事件A與事件B的差事件. 當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生, B不發(fā)生時，事件 AB發(fā)生.AB25AB類似地,若n個事件A1,An中兩兩互不相容，則稱這n個事件互不相容. 若事件A1,An,中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件互不相容.26（7）若AB= , AB=，稱事件A與事件B為對立事件或逆事件。 在每次試驗中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。（8）事件稱為事件A的補事件。 當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時，事件發(fā)生。27事件的運算公式就是集合的運算公式,如：(1)交換律(2)結(jié)合

9、律(3)分配律(4)對偶公式28 對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于用數(shù)學(xué)符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.下面我們來做練習(xí).29A = “兩件產(chǎn)品都是合格品”,例3從一批產(chǎn)品中任取兩件, 觀察合格品的情況. 記= “兩件產(chǎn)品不都是合格品”.或=“兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品”=兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品 兩件產(chǎn)品中都是不合格品.記 Bi =“取出的第 i 件是合格品”, i=1,2, 則A=B1B2,30(1) A發(fā)生, B與C不發(fā)生設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件.或(2) A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生或31一、 古典概型假定隨機試驗S有有

10、限個可能的結(jié)果, 并且假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機會比另一結(jié)果出現(xiàn)的機會大或小，我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會.1.2 古典概率模型32實例一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為110 . 把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.2347910861533 因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得 . 也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10. 2347910861534用 i 表示取到 i 號球， i =1,2,10. 則該試驗的樣本空間為1,2

11、,10 .每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同 .35古典概率模型設(shè) 是試驗S的樣本空間. 對于 的事件A, 我們用P(A)表示A發(fā)生的可能性的大小,稱P(A)是事件A發(fā)生的概率, 簡稱為A的概率.按照以上原則, 如果事件A, B發(fā)生的可能性相同, 則有 P(A)=P(B).如果事件A發(fā)生的可能性是B發(fā)生的可能性的2倍, 則有 P(A)=2P(B).概率是介于0和1之間的數(shù), 描述事件發(fā)生的可能性的大小.用 , 分別表示事件A和樣本空間 中樣本點的個數(shù).36設(shè)試驗S的樣本空間 是有限集合,如果 的每個樣本點發(fā)生的可能性相同, 則稱為試驗S下A發(fā)生的概率, 簡稱為事件A的概率.能夠用上述

12、描述的模型稱為古典概率模型，簡稱為古典概型.2. 定義373. 古典概率的基本性質(zhì)排列組合是計算古典概率的重要工具 .推論 38加法原理乘法原理基本計數(shù)原理391. 加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,； 第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1 + n2 + + nm 種方法 .40則完成這件事共有種不同的方法 .2. 乘法原理設(shè)完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,； 第m個步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，41從n個不同元素取 k個（允許重復(fù)）（1 k n

13、)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k =3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法42n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,rk的分法總數(shù)為r1個元素r2個元素rk個元素n個元素因為43例1 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼 1,2,10. 從中任取一個球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率.解：令A(yù)=“球的號碼為偶數(shù)”.44例2 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“有放回抽取”. 今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均

14、為偶數(shù)的概率.解：令A(yù)=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.注意: 此處為有放回抽取.45例3 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“不放回抽取”. 今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.解：令A(yù)=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.注意: 此處為無放回抽取.46例4 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,10. 今任取兩個球，求取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)的概率.解：設(shè)A=“取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)”.注意：第一個球是奇數(shù)，且第二個球是偶數(shù)，有順序要求，故要用排

15、列去做. 47例5 設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有 N 件，其中次品有 M 件. 今從中任取n（假定nN-M）件，求次品恰有k件的概率(0 k min(M,n) .這是一種無放回抽樣.解：令B=“恰有k件次品”.次品正品M件次品N-M件正品48例 6設(shè)有n個球，每個球都以同樣的概率1/N落入到N個格子(Nn)的每一個格子，試求(1)A = “某指定的n個格子中各有一球” 的概率.(2)B = “任何n個格子中各有一球”的概率.解：49生日問題有n 個人，設(shè)每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求至少有兩人生日相同的概率（n365 ）. 解:設(shè)A = “至少有兩人同生日”, = “n個人的生日互不相同”.則關(guān)于生日問題有如下計算數(shù)據(jù):50 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 求一個50人的班級中，至少有兩個人生日相同的概率.人數(shù) 至少有