波動(dòng)方程初值問題和行波法

1、關(guān)于波動(dòng)方程初值問題與行波法第一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月行波法 dAlembert公式 dAlembert(1717.11.171783.10.29) 法國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，最著名的有8卷巨著數(shù)學(xué)手冊(cè)、力學(xué)專著動(dòng)力學(xué)、23卷的文集、百科全書的序言等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究中。第二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一維波動(dòng)方程定解問題無界弦自由振動(dòng)*無界弦強(qiáng)迫振動(dòng)半無界弦自由振動(dòng)*半無界弦強(qiáng)迫振動(dòng)三維波動(dòng)方程定解問題二維波動(dòng)方程的定解問題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動(dòng)問題第三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022

2、年6月3.1 一維波動(dòng)方程初始位移 ，初始速度 的無界弦自由振動(dòng)初值問題 (Cauchy問題)一.dAlembert公式推導(dǎo) 第四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月我們可以求出方程的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么？第五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月同理可得：將兩式代入原方程, 可得：連續(xù)積分兩次得其中 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有 第六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注： 是方程 的通解, 它包含兩個(gè)任意函數(shù)。 對(duì)無限長(zhǎng)的自由振動(dòng), 利用初始條件, 則：第七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月兩端對(duì) x 積分，可得：第八張，PPT共四十一頁，

3、創(chuàng)作于2022年6月由此即得原定解問題的解:無限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾(dAlembert)公式.第九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月行波法小結(jié) (注：行波法僅適用于雙曲型方程)3. 變量替換： 1. 波動(dòng)方程：2. 特征方程與特征根：4. 解方程：5. 利用初始條件解F、G：第十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：求解無界自由振動(dòng)波動(dòng)方程柯西問題：解：由達(dá)朗貝爾公式：第十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：解定解問題:解: 第十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3：求解波動(dòng)方程柯西問題解：由達(dá)朗貝爾公式：第十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于202

4、2年6月例4： 求二階線性偏微分方程初值問題的解解: 先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：或者 第十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗(yàn)證，經(jīng)過變換原方程化成它的通解為 第十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月其中 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有 把這個(gè)函數(shù)代入到條件 第十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月代入到得原問題的解為： 第十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 求二階線性偏微分方程的通解 解：特征方程為 積分曲線為： 第十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)過變換原方程化成所以, 令為原問題的通解，其中

5、 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。第十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二. dAlembert公式物理意義1.考慮 若 的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時(shí)間 t 的推移，的圖形以速度a向 x 軸正方向平行移動(dòng),故稱齊次波動(dòng)方程形如 的解為右行波。2, 表示一個(gè)以速度a 向x 軸負(fù) 方向傳播的行波，且傳播過程中，波形也不變化。 稱為左行波。 第二十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)第二十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月考慮：的物理意義,如圖給出的特例行波速度：弦拉的越緊,波傳播速

6、度越快;密度越小,波傳播越快P9第二十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿 x 軸正、反向傳播的兩列波速為a 的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時(shí)：(1)只有初始位移時(shí)，代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于0第二十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月依賴區(qū)間三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)間為解的依賴區(qū)間。u(x, t) 僅僅依賴于 內(nèi)的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時(shí)，解的值不變。它是過（x，t）點(diǎn)，斜率為的直線與 x 軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。1.依賴區(qū)間

7、第二十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月該區(qū)域中任一點(diǎn)(x, t )的依賴區(qū)間都落在區(qū)間c, d內(nèi)部，因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間c, d上的初始條件決定。該區(qū)域稱為區(qū)間c , d的決定區(qū)域。在區(qū)間c , d上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。決定區(qū)域2.決定區(qū)域第二十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3.影響區(qū)域 如果在初始時(shí)刻 t0，擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時(shí)間 t 后，擾動(dòng)傳到的范圍為定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。影響區(qū)域第二十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間小結(jié)：特征線特征變換第二十七張

8、，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月分析其物理意義表明, 在 xot 平面上斜率為 的兩族直線： 對(duì)一維波動(dòng)方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程的特征線。波動(dòng)沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。 自變量變換4. 行波法又叫特征線法第二十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注：容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征線 恰好是常微分方程 的解。 這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng)方程的特征方程。 第二十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一維非齊次波動(dòng)方程柯西問題的Kirchihoff公式.四.無界弦受迫振動(dòng)問題第三十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：解：第三十

9、一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月我們先考慮情形，即端點(diǎn)固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解五.半無界弦的自由振動(dòng)問題第三十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月為此，我們要作奇延拓(有時(shí)也作偶延拓)：第三十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 半無界問題的解為：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：當(dāng)在 x = 0 處有一個(gè)自由端，即：則需要作偶延拓。第三十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例當(dāng)當(dāng)?shù)谌鍙?，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2 三維波動(dòng)方程柯西問題的解 一. 三維波動(dòng)方程和球?qū)ΨQ解 r第三十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月球坐標(biāo)中的Laplace運(yùn)算：所謂球?qū)ΨQ是指與無關(guān)，則波動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為球?qū)ΨQ性：第三十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月得到關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程的通解：即此為三維波動(dòng)方程在球?qū)ΨQ情況下的解，其中F、G為任意二次可微函數(shù)，可由初始條件確定。第三十八張，PPT共四十一頁