中學(xué)數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)

1、第五章 中學(xué)數(shù)學(xué)能力與教學(xué) 能力通常指完成某種活動的本領(lǐng)、包括完成某項活動的具體方式以及順利完成某種活動所必需的個性心理特征。能力通常分為一般能力和特殊能力。前者指在各種活動中表現(xiàn)出來的基本能力，如觀察能力、注意力和記憶力等。特殊能力是在某種專業(yè)活動中表現(xiàn)出來的能力。兩者有機聯(lián)系在一起，一般能力的表現(xiàn)為特殊能力的發(fā)展創(chuàng)造條件；而特殊能力的發(fā)展又促進(jìn)一般能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)能力是順利完成數(shù)學(xué)活動所具備的而且直接影響其特殊活動效率的一種個性心理特征。它是在數(shù)學(xué)活動中形成和發(fā)展起來的，是在這類活動中表現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。數(shù)學(xué)能力按數(shù)學(xué)活動水平可分為兩類：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（再現(xiàn)性）的數(shù)學(xué)能力；另一種是研究

2、數(shù)學(xué)（創(chuàng)造性）的數(shù)學(xué)能力。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和這種初步的創(chuàng)造能力，并且這種創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已越來越來引起人們的重視。如圖：再現(xiàn)性數(shù)學(xué)能力學(xué)生學(xué)校數(shù)學(xué)創(chuàng)造性數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)工作者作為學(xué)科的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動再創(chuàng)造數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)知識、技能的關(guān)系數(shù)學(xué)知識由兩種成分組成：客觀的數(shù)學(xué)知識（顯性）和主觀的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗（隱性）。客觀的數(shù)學(xué)知識指那些客觀的數(shù)學(xué)事實，如數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)語言等它們只是數(shù)學(xué)知識的一小部分。主觀的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗指從事數(shù)學(xué)活動過程中，內(nèi)潛于個體的對于數(shù)學(xué)的體驗及認(rèn)知模式，主要涉及伴隨活動過程的體驗性、策略性及元認(rèn)知知識。它包括了對數(shù)學(xué)的情感

3、、態(tài)度、價值觀以及對數(shù)學(xué)美的體驗，它滲透于活動行為的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)精神等，還包括了處理數(shù)學(xué)對象的成功思維方式以及思考抽象概念的成功思維方式。如圖： 明言知識 (是什么、為什么) 主要是事實和原理的知識存于書本，可編碼（邏輯性）、可傳遞(共享性)、可反思(批判性) 默會知識 （怎么想、怎么做）本質(zhì)上是理解力和領(lǐng)悟存于個人經(jīng)驗(個體性)、嵌入實踐活動（情境性） 隱性知識常?！爸豢梢鈺豢裳詡鳌?M. Polany ：“緘默的知識”(1956)，實踐技能很難訴諸文字，科學(xué) 創(chuàng)造根源于默會的力量。OECD(經(jīng)合組織):“1996年科學(xué)、技術(shù)與產(chǎn)業(yè) 展望”，重點強調(diào)默知識在新經(jīng)濟(jì)時

4、代的特別重要意義。 知識的冰山模型（J.Brown,2000）數(shù)學(xué)技能的內(nèi)涵數(shù)學(xué)技能是指通過練習(xí)而形成的、順利完成數(shù)學(xué)活動的一種動作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的動作協(xié)調(diào)和自動化。數(shù)學(xué)技能分為動作技能和心智技能，但主要是指心智技能。心智技能是一種活動方式，屬于心理活動經(jīng)驗，解決的是完成活動時會不會及熟練不熟練的問題，它具有動作對象的觀念性、動作執(zhí)行的內(nèi)潛性、動作結(jié)構(gòu)的簡縮性等特點中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基本技能具體表現(xiàn)為能夠按照一定程序與步驟進(jìn)行運算、處理數(shù)據(jù)（包括使用計算機）、簡單的推理、畫圖、繪制圖表、數(shù)學(xué)交流等技能。數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能的關(guān)系相互聯(lián)系又相互區(qū)別數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)經(jīng)驗的概括

5、，是個體心理內(nèi)容；數(shù)學(xué)技能是一系列關(guān)于數(shù)學(xué)活動的行為方式的概括，是個體操作技術(shù)；數(shù)學(xué)能力是對數(shù)學(xué)思想材料進(jìn)行加工的活動過程的概括，是個體心理特征。數(shù)學(xué)技能以數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)為前提，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中，通過實際操作獲得動作經(jīng)驗而逐漸形成，并且對知識學(xué)習(xí)產(chǎn)生反作用。數(shù)學(xué)技能的形成可以看成是深刻掌握數(shù)學(xué)知識的一個標(biāo)志。作為心理特征的能力，是對活動的進(jìn)行起穩(wěn)定調(diào)節(jié)作用的個體經(jīng)驗，是一種內(nèi)化了的認(rèn)知經(jīng)驗和動作經(jīng)驗。簡言之，數(shù)學(xué)知識是形成數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能又是形成數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，且數(shù)學(xué)技能從數(shù)學(xué)知識掌握到數(shù)學(xué)能力形成和發(fā)展的中間環(huán)節(jié)；反過來，數(shù)學(xué)能力的提高又會加深數(shù)學(xué)知識的理解和技

6、能的掌握。第二節(jié) 數(shù)學(xué)能力的成分結(jié)構(gòu)三大能力：運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力。（19701990年代）逐步形成運用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力，“邏輯思維能力”改成“思維能力”，增加“創(chuàng)新意識”的培養(yǎng)。（19902000年代）抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象能力，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。（2000年代至今）數(shù)學(xué)一般能力：數(shù)學(xué)觀察力、注意力、記憶力。數(shù)學(xué)特殊能力：抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象能力。數(shù)學(xué)實踐能力：學(xué)生數(shù)學(xué)的提出問題、分析問題和解決問題的能力，應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力、數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)交流能力。數(shù)學(xué)發(fā)展能力：包括獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新

7、能力。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展能力是數(shù)學(xué)教育的最高目標(biāo)。如圖：數(shù)學(xué)發(fā)展能力數(shù)學(xué)實踐能力數(shù)學(xué)一般能力數(shù)學(xué)特殊能力圖5.1(一)數(shù)學(xué)一般能力1.數(shù)學(xué)觀察能力：指對用數(shù)字、字母、符號、文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系，各種圖形、圖表的結(jié)構(gòu)特點的感知能力，以及對概括化、形式化、空間結(jié)構(gòu)和邏輯模式的識別判斷。表現(xiàn)在：掌握數(shù)學(xué)概念時，善于舍棄非本質(zhì)屬性，抓住本質(zhì)特征的能力；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，善于抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)體系的能力；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時，能從數(shù)學(xué)事實或現(xiàn)象展現(xiàn)中，掌握數(shù)學(xué)法則或規(guī)律的能力；解決數(shù)學(xué)問題時，善于識別問題的特征，發(fā)現(xiàn)隱含條件，正確選擇解題途徑和數(shù)學(xué)模型的能力，以及解題的辨析能力。3.數(shù)學(xué)記憶能力數(shù)學(xué)記憶能

8、力的特征是從數(shù)學(xué)科學(xué)特定的特征中產(chǎn)生的，是一種對于概括化、形式化結(jié)構(gòu)和邏輯模式的記憶力，記憶里不僅包括對眾多抽象的數(shù)學(xué)符號、定義、公式、定理、數(shù)學(xué)圖形的記憶能力，也包括對典型的推理模式、重要的運算格式和步驟、數(shù)學(xué)模型的物理背景的記憶能力，以及再現(xiàn)不同數(shù)學(xué)概念之間邏輯聯(lián)系的能力。按被回憶的材料將數(shù)學(xué)記憶力分為：對具體事實、術(shù)語和記憶力；對數(shù)學(xué)概念、算法的記憶力；對數(shù)學(xué)原理、法則的記憶力；對數(shù)學(xué)問題類型標(biāo)識、解題模式的記憶力；對數(shù)學(xué)解題方法、思想的記憶力。（二）數(shù)學(xué)特殊能力2.抽象概括能力抽象和概括是在對事物的屬性作比較、分析、綜合的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，并借助判斷、推理的形式表達(dá)出來。抽象和概括緊密聯(lián)系

9、，抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的目的。數(shù)學(xué)概括能力是從具體對象中抽取出其中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu)，并將其共同屬性和本質(zhì)特征進(jìn)行推廣的能力。數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、數(shù)量關(guān)系等都是抽象概括的結(jié)果。3.推理論證能力數(shù)學(xué)推理：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包含定義、定理、公理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，變現(xiàn)形式是邏輯運演。主要運演手段有：分析、綜合、抽象、概括、完全歸納等。邏輯運演是科學(xué)論證的基本形式，更是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的有力保證。合情推理是人們根據(jù)已有的知識經(jīng)驗（即原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)），在某種情境和過程中，運用觀察、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等非演繹（或非

10、完全演繹）的思維形式，推出關(guān)于客體的合乎情理的認(rèn)知過程。在解決問題過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)二者的關(guān)系：合情推理演繹推理歸納、類比發(fā)現(xiàn)結(jié)論邏輯推理驗證結(jié)論4.空間想象能力空間想象能力可分為三個不同層次水平：空間觀念，建構(gòu)表象能力，表象操作能力?？臻g觀念包含三層意思：空間感，實物幾何化，空間結(jié)構(gòu)的二維表示和由二維圖形表示想象出基本元素間的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。建構(gòu)表象的能力是指在文字、語言刺激指導(dǎo)下構(gòu)想幾何形狀的能力。表象操作能力指對大腦中建立的表象進(jìn)行加工或操作以便建構(gòu)新表象的能力?？臻g想象能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)。1.問題解決能力弄清問題擬定計劃評論

11、與回顧執(zhí)行計劃（三）數(shù)學(xué)實踐能力2.數(shù)學(xué)交流能力是指運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行知識信息、情緒感受、思想觀念的交流的能力。數(shù)學(xué)交流能力既包括對數(shù)學(xué)語言表達(dá)方式的選擇，又包括對大腦中的思維成果進(jìn)一步澄清、組織、鞏固等一系。列再加工的過程。數(shù)學(xué)交流按照交流的內(nèi)容大致可分為：知識的交流、體驗的交流和解決問題的交流。數(shù)學(xué)交流的能力具體表現(xiàn)為：能夠閱讀、傾聽、討論、描述和寫作數(shù)學(xué)。具體來說，就是會用口頭或書面的、實物或圖表的、自然語言或符號的方式來表達(dá)、演示或模擬數(shù)學(xué)問題與情境，通過主題的操作活動和內(nèi)心體驗，能領(lǐng)悟與建構(gòu)起圖表及實物材料與數(shù)學(xué)概念之間，自然語言及直覺觀念與抽象的數(shù)學(xué)語言之間的聯(lián)系；從數(shù)學(xué)交流中能反映

12、和理清自己關(guān)于數(shù)學(xué)概念與問題的思考，獲得和提出令人信服的數(shù)學(xué)觀點及論證；能自如地應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)思考進(jìn)行討論。二、數(shù)學(xué)特殊能力的培養(yǎng)（一）數(shù)學(xué)運算求解能力的培養(yǎng)理解和掌握基本的運算規(guī)則和方法重視算法多樣化，選擇合理算法：心算、筆算和機器算、精算和估算培養(yǎng)學(xué)生的運算品質(zhì) 運算品質(zhì)指運算的準(zhǔn)確性、運算的熟練性、運算的靈活性和運算的簡捷性。（二）數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)1.注意數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)教學(xué)中要使學(xué)生經(jīng)歷如下概念形成的具體過程：辨別一類事物的不同例子，抽象概括出各例子的共同屬性；提出它們共同本質(zhì)屬性的假設(shè)，并加以檢驗；把本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)?shù)闹R聯(lián)系起來，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)

13、別開來；把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，已明確它的外延。注意實際問題數(shù)學(xué)化的訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)推理論證能力的培養(yǎng)1.掌握推理的方法 演繹推理是從一般到特殊的推理，其主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理。演繹推理是一種必然推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊涵關(guān)系，只要大前提、小前提都是真實的，推理是合符邏輯的，那么結(jié)論就一定是真實的。因此演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。M P（M是P）S M（S是M）S P（S是P）合情推理的主要方法是歸納和類比，哲理的歸納指不完全歸納。不完全歸納是根據(jù)考查的一類事物的部分對象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理，也稱為不完全歸納推理。由于不完全歸納推理是從部分推廣到全體，結(jié)論判斷范圍超出了前提判斷范圍，因此結(jié)論不一定可靠，是似真的。類比也稱類比推理，是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法。2.掌握證明的規(guī)則和方法3.加強數(shù)學(xué)推理與證明的訓(xùn)練（四）空間想象能力的培養(yǎng)1.重視空間想象能力的逐級形成空間形象能力是隨著學(xué)生年齡的增長、知識的增多、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善而逐漸形成的，因此教學(xué)中應(yīng)采取逐級提高的方法來培養(yǎng)空間想象力?？臻g想象能力的逐級培養(yǎng)還應(yīng)重視從整體的角度出發(fā)來設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)。2.重視識圖、畫圖的學(xué)