簡單分形維數的探究

1、簡單分形及維數的研究（河南大學，物理與電子學院，物理學，河南開封，475004）摘要：本文介紹了分形、維數的相關知識，并以簡單分形做例子進行了演示，又求得了 Sierpinski三角分形及埃儂映射的維數。關鍵詞：分形，維數，程序設計。一、分形分形（fractal）是指由各部分組成的形態(tài)，每個部分以某種方式與整體相似。對這一描述 加以引伸，它可以包括以下含義：分形可以是幾何圖形，也可以是由“功能”或“信息”架起的數理模型；分形可以同時具 有形態(tài)、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性。分形的創(chuàng)建歷史：曼德勃羅在美國科學雜志上發(fā)表論文英國的海岸線有多長震驚學術界（1967 年

2、）。法蘭西學院講演報（1973年）。（3） “病態(tài)”“數學怪物”命名一一 形（Fractal）（1975年）。法文版分形對象：形、機遇和維數出版（1975年）。英文版分形：形、機遇和維數出版（1977年）。英文版大自然的幾何學出版（1982年）。分形是由Mandelbrot在20世紀70年代為了表征復雜圖形和復雜過程而引入自然領域的。 原意是破碎的、不規(guī)則的物體。分形分為兩類，規(guī)則分形，又稱決定類的分形，它是按一定的 規(guī)則構造出的具有嚴格自相思的分形；另一類是無規(guī)則的分形，它是在生長現象中和許多物理 問題中產生的分形，其特點是不具備嚴格意義上的自相似，只是在統(tǒng)計意義上是自相似的。本 文研究的是

3、規(guī)則分形。有以上可知，自相似性是分形最大的幾何特征。下面我們就科赫曲線和Sierpinski對此進 行討論。1、科赫曲線科赫曲線的生成方法：把一條曲線三等分，中間的一段用夾角為60的折線替代，得到第一個 生成元；把第一個生成元中的每一條直線都用生成元迭代，得到第二個生成元；經過無數次迭 代，即可得到科赫曲線。實現程序如下：s=0,1;t=0,0;n=8;for j=1:nx=;y=;for i=1:length(s)-1d1=s(i+1)-s(i);d2=t(i+1)-t (i);x1=s(i)+0,d1/3,(s(i+1)+s(i)/2-sqrt(3)/6*d2-s(i),2/3*d1,d1

4、;y1=t(i)+0,d2/3,(t(i+1)+t (i) )/2+sqrt(3)/6*d1-t(i),2/3*d2,d2;if i=1x=x,x1;y=y,y1;elsex=x,x1(2:5);y=y,y1(2:5);endends=x;t=y;plot(x,y,c)endaxis equaln取不同值時得到如下圖像：n=1時的科赫曲線n=2時的科赫曲線n=3時的科赫曲線n=7時的科赫曲線由以上各圖，我們很清晰的看到科赫曲線的自相似特征。2、Sierpinski 三角生成方法：從一個三角形進行迭代操作：將其4等分，去掉中心部分，無限制的進行此操 作即可得到。實現程序如下：clear;a=1;

5、b=0.5;c=1;k=8;A=zeros(2,3八(k+1);A(:,1:3)=0 a b;0 0 c;for n=1:k;B=1/2*A;A(:,1:3An)=B(:,1:3An);A(:,3An+1:2*3An)=B(:,1:3An)+1/2*a;0*ones(1,3An);A(:,2*3An+1:3A(n+1)=B(:,1:3An)+1/2*b;c*ones(1,3An);endfor i=1:3Ak;patch(A(1,3*i-2:3*i),A(2,3*i-2:3*i),b);end調整k的大小，即可得到如下三角分形圖：K=3時分形圖K=7時分形圖上圖我們可以知道，Sierpinsk

6、i三角分形的自相似性存在。根據上述論述，自相似性是規(guī)則分形的必備特征。二、維數無論其起源或構造方法如何，所有的分形都具有一個重要的特征：可通過一個特征數，即 分形維數測定其不平度，復雜性或卷積度。最早將維數從整數推廣到非整數中去的是豪斯道夫(Hausdorff)和貝西科維奇 (Besicovitch)。豪斯道夫于1919年首先提出連續(xù)空間的概念，認為空間維數不是躍變的，而 是可以連續(xù)變化的，既可以是整數，也可以是分數。而貝西科維奇則證明對任何集合S存在一 個實數D，使得d維測度對dD為零，這個臨界的D就稱為S的豪斯道夫一貝西科維奇維數（或稱分形維數），簡稱分維。分維是定量描寫分形的重要參數，有

7、多種定義 和計算方法。一般地，把一個Df維幾何物體的每維尺寸放大L倍，就得到一個原來的幾何對象，令：K=LADf對此式兩段取對數得：Df=log（K）/log（L）。上式中的Df即為豪斯道夫一貝西科維奇維數的定義。當然，我們縮小幾何對象來定義分維。把一個Ds維的幾何對象等分成N個小的幾何圖形，則每個小圖形每維縮小為原來的r倍，而N個小圖形的總和應為：N*rADs=1Ds=log （n）/log （1/r）r稱為局部與整體的相似比，Ds即稱為相似維數。本文通過盒子維數法進行維數的計算。盒子維數計算相似比復雜圖形時，采用小方塊（或圓片）去覆蓋（或填充）被測對象，統(tǒng)計覆蓋所需的方 塊數來計算其維數。

8、如此方法計算的維數稱為容量維數，即盒子維數?，F用長度為r尺子去測長度為L的線段，L與r之比為N。N值的大小與r長短有關，r越小N越大：N （r） 1/ r取對數得盒子維數：D=lg （N）/lg （1/r）（在r趨近0時）根據上述敘述可知，有Sierpinski三角分形生成過程可知，邊長擴大2倍時，面積擴大3倍，所以維數 D=lg （3） /lg （2） =1.585。下面介紹一下用程序實現盒子維數的基本思路。我們取一個合適的邊長做一個正方形，使 它包含所有點，然后不變減少正方形邊長，最后我們查出有點的盒子數目即N，（如下圖）由 于我們不可能取到r無限接近0，但根據上訴敘述，邊長的對數和盒子數

9、目的對數是呈線性關系的，我們可以多求幾組，作圖求斜率，而斜率即為維數。r=1.01 N=4r=0.5005 N=12r=0.25025 N=36r=0.125125 N=126實現程序如下：clear;a=1;b=0.5;c=1;k=8;A=zeros(2,3八(k+1);A(:,1:3)=0 a b;0 0 c;for n=1:k;B=1/2*A;A(:,1:3An)=B(:,1:3An);A(:,3An+1:2*3An)=B(:,1:3An)+1/2*a;0*ones(1,3An);A(:,2*3An+1:3A(n+1)=B(:,1:3An)+1/2*b;c*ones(1,3An);end

10、for i=1:3Ak;patch(A(1,3*i-2:3*i),A(2,3*i-2:3*i),b);enda1=1:3A(n+1);b1=1:3A(n+1);for i=1:3A(k+1)a1(i)=A(1,i);b1(i)=A(2,i);endx1=1:20000;x=1:20000;y1=1:20000;y=1:20000;x(1)=0;y(1)=0;r=1;m=1;k1=2;for i=l:4r=r/2;m=l;for j=l:(kl-l)xl(m)=x(j);yl(m)=y(j);m=m+l;xl(m)=x(j)+r;yl(m)=y(j);m=m+l;xl(m)=x(j);yl(m)

11、=y(j)+r;m=m+l;xl(m)=x(j)+r;yl(m)=y(j)+r;m=m+l;endk2=l;nl=0;for il=l:(m-l)for jl=l:3A(k+l)if al(jl)=xl(il)if bl(jl)=yl(il)x(k2)=xl(il);y(k 牛 yl(il);k2=k2+l; nl=nl+l;break;endendendendendendkl=k2;end對k取不同值，可以得到不同變長下N的值，在此程序中用nl表示，經過嘗試，時, 我們得到了比較準確的維數，下面是得到的結果。Irnllg(1/r)lg(nl)240.301030.602064130.6020

12、61.1139438400.903091.60206161211.204122.082785323641.505152.5611016410931.806183.0386212832802.107213.51587425698412.408243.993039512295142.709274.470028經過處理（表中有9組數據，圖中有6個點，因為前幾組數據不準確舍去），得到下圖:我們埃儂映射是一個二維映射，是有天文學家埃儂首先計算出來的離散型映射，有兩個控制參數，M和b。Xn+1=1中 Xn2+ynVn+1=bXn求維數的主體結構和上一個程序相同，在這里不再展示。只寫出求埃儂映射的程序。卿=

13、1.42，b=0.3a=1:40000;b=1:40000;a(1)=063135448;b(1)=018940634;for i=1:40000a(i+1)=1-1.42*a(i)人2+b(i);b(i+1)=0.3*a(i);end我們經過改變盒子邊長（這里初始邊長設為15），可以求得一下數據。Irnllg(1/r)lg(nl)0.66672-0.176070.301031.333350.1249280.698972.6667160.425974f 1.204125.3333380.7269961.57978410.666794r 1.028031.97312821.33332271.32

14、90582.35602642.66675431.6300892.734885.333312811.9311193.107549170.666729952.2321493.476397341.333364812.5331793.811642如上方法進行處理，得到:所以，在我們取定的參數下：維數D=1.259。00.511.522.5如果改變一下參數：=1.41，b=0.3得到了如下的結果:|0.66672-0.176070.301031.333350.1249280.698972.6667160.4259741.204125.3333380.7269961.57978410.6667921.028031.96378821.33332201.3290582.34242342.66675231.6300892.71850285.333312231.9311193.087426170.666728142.2321493.449324341.333361052.5331793.785686通過處理:系列1線性（系列1自相似性是規(guī)則分形的必備特征，表現十分明顯?？梢钥闯觯灰〉么螖底銐蚨?，分形是無限的。維數是表征分形的一個重要參量。對于規(guī)則分形可以通過其幾何特征得到維數。同時經過對比，我們了解數盒子是求盒子維數的一種有效方