高考數(shù)學(xué)選填靜電題型匯編：題型53 兩招玩轉(zhuǎn)多面體的外接球

1、題型53 兩招玩轉(zhuǎn)多面體的外接球【方法點(diǎn)撥】解決多面體的外接球問題的關(guān)鍵是“定心”，常用方法有兩種：（1）“補(bǔ)體法”：對于符合特殊條件的四面體補(bǔ)形為長方體解決，常見的有下列兩種類型.類型一：墻角模型（三條線兩個垂直，補(bǔ)形為長方體，其體對角線的中點(diǎn)即球心） 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出.類型二：對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）如下圖，三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，）第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為，列方程組，補(bǔ)充：第三步：根據(jù)墻角模型，求出.（2）“竄心法”：多面體的外接球心問題，可轉(zhuǎn)化為其某兩個側(cè)

2、面三角形外接圓的垂線來解決，即球心就是分別過兩個側(cè)面三角形外接圓的圓心且垂直于該平面的直線的交點(diǎn)（即將三角形外接圓的圓心，垂直上躥下跳）.第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：.說明： 解法二是通法，具體解題過程中，常常涉及復(fù)雜的線面位置關(guān)系的論證、多次解三角形等，有一定的難度.【典型題示例】例1 （2021江蘇南師附中期末12）在邊長為的菱形中，沿對角線折起，使二面角的大小為120，這時點(diǎn)A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為_.【答案】【解析】設(shè)和的外心和，過和分

3、別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心（兩垂線共面的證明，此處從略），連接即為所求球的半徑易知二面角的平面角為（證明從略），故，因為是的外心，所以，在，所以，在，四面體的外接球的表面積為.例2 在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥咳纭胺椒c(diǎn)撥類型二”圖，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，則，.例3 已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC滿足AB2eq r(2)，ACB90，PA為球O的直徑且PA4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為()A.eq r(2) B.2eq r(2) C.eq r(3) D.2eq r(3)【答案】B【解析】取A

4、B的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在ABC中，AB2eq r(2)，ACB90，所以ABC所在小圓圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1Aeq r(2)，且OO1AO1，又球O的直徑PA4，所以O(shè)A2，所以O(shè)O1eq r(OA2O1A2)eq r(2)，且OO1底面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO12eq r(2).【鞏固訓(xùn)練】1. （2021江蘇徐州期末8）在三棱錐中，平面ACD平面ABC，ABAC，且ACCDDA3，ABeq r(3)，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C D 2. （2021江蘇常州期末8）如下圖，在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的表面積為（ ） A

5、B C D 3.三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .4.如圖所示三棱錐，其中則該三棱錐外接球的表面積為 . 5.正四面體的各條棱長都為，則該正面體外接球的體積為 .6. 在三棱錐中，是邊長為3的等邊三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為【答案與提示】1. 【答案】B 甲 乙 丙【解析】ABAC ABC外接圓的圓心為BC中點(diǎn)，外接球的球心在過BC中點(diǎn)且垂直于ABC所在平面的直線上如上圖（乙）中，設(shè)BC中點(diǎn)為O1，球心為O，同理，設(shè)ADC外接圓的圓心為O2則OO2= O1E=eq f(r(3),2)，在OO2D中，O2D=eq r(3)，所以O(shè)D2= O1E2+ O2D2=154所以三棱錐的外接球的表面積為152. 【答案】B【解析】四邊形的外接圓的直徑，故四棱錐外接球的球心在過的中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又因為兩點(diǎn)在球面上，故其球心在過中點(diǎn)且垂直于的垂面上，所以球心即為中點(diǎn)（的外接圓即為大圓），故，四棱錐外接球的表面積為. 3.【答案】【解析一】，.【解析二】，.4.【答案】【解析】同例2，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，.5.【答案】【解析】這是對棱相等的特殊情況放入長方體中，.6.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接、，因為是等邊三角形，所以，又因，所以，所以即為二面角的平面角，即