2022年《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、數(shù)學(xué)歸納法【教材分析 】1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是人教社全日制一般高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué) 選修 2-2 其次章第 3 節(jié)的內(nèi)容,依據(jù)課標(biāo)要求,本書該節(jié)共 2 課時(shí),這是第一課時(shí),其主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用；2、位置作用：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上,介紹了數(shù)學(xué)歸 教材通過(guò)剖析生活 納法,它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法；實(shí)例中包蘊(yùn)的思維過(guò)程揭示數(shù)學(xué)思想方法,即借助“ 多米諾骨牌” 的 設(shè)計(jì)思想,揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系；【教學(xué)目標(biāo) 】1、學(xué)問(wèn)與技能：（1）明白歸納法,懂得數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì),把握數(shù)學(xué)歸納法 證題的兩個(gè)步驟；（2）會(huì)證明簡(jiǎn)潔的與正整數(shù)有關(guān)的命

2、題；2、過(guò)程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境, 使同學(xué)處于積極摸索, 大膽質(zhì)疑的氛 圍,提高同學(xué)學(xué)習(xí)愛好和課堂效率,讓同學(xué)經(jīng)受學(xué)問(wèn)的構(gòu)建過(guò)程,體 會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想；3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的教學(xué),使同學(xué)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點(diǎn),激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)熱忱,提高同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愛好,培育同學(xué)大膽猜想,當(dāng)心求證的辯證思維素養(yǎng), 以及發(fā)覺問(wèn)題、 提出問(wèn)題的看法和數(shù)學(xué)交 流才能；【教學(xué) 重點(diǎn)】借助詳細(xì)實(shí)例明白數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,把握它的基本步驟,運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)潔的與正整數(shù) 題；【教學(xué)難點(diǎn) 】n（n 取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命（1）同學(xué)不易懂得數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì),詳細(xì)表現(xiàn)在不明白其次 個(gè)步驟的作

3、用,不易依據(jù)歸納假設(shè)作出證明；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),在“ 歸納遞推” 的步驟中發(fā)覺詳細(xì)問(wèn)題的 遞推關(guān)系；【教學(xué)方法 】運(yùn)用類比啟示探究的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)；【教學(xué)手段 】借助多媒體出現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材幫助課堂教學(xué)；【教學(xué)程序 】第一階段：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,啟動(dòng)同學(xué)思維221情境1、法國(guó),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到：25722416553715 ,22117,2231歸納猜想：任何形如22 n1（nN ）的數(shù)都是質(zhì)數(shù),這就是著名的費(fèi)馬猜想；半 個(gè) 世 紀(jì) 以 后 , 數(shù) 學(xué) 家 歐 拉 發(fā) 現(xiàn) , 第5個(gè) 費(fèi) 馬 數(shù)F 522516416700417不是質(zhì)數(shù) , 從而推翻了費(fèi)馬的猜想；“ 不完全歸納有時(shí)是

4、錯(cuò)誤的”（培育同學(xué)大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括才能概括才能是思維能力的核心魯賓斯坦指出： 思維都是在概括中完成的 心理學(xué)認(rèn)為“ 遷移就是概括” ,這里學(xué)問(wèn)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移,我找的突破口就是同學(xué)的概括過(guò)程 ）情境 2 、數(shù)列 a n已知 a 1 ,1 a n 1 a n n N * , 通過(guò)對(duì) n ,1 2 3, , 4 前 41 a n項(xiàng)歸納,猜想 a n 1 可以讓同學(xué)通過(guò)數(shù)列的學(xué)問(wèn)加以驗(yàn)證“ 不n完全歸納有時(shí)是正確的”；通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)情形的探究可以發(fā)覺用“ 不完全歸納法”得到的結(jié)論不肯定牢靠；為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學(xué)歸納法

5、；其次階段：搜尋生活實(shí)例,激發(fā)學(xué)習(xí)愛好1、“ 多米諾骨牌” 嬉戲動(dòng)畫演示：探究“ 多米諾骨牌” 全部倒下的條件引導(dǎo)同學(xué)摸索并分析“ 多米諾骨牌” 全部倒下的兩個(gè)條件；第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下肯定導(dǎo)致后一塊倒下；強(qiáng)調(diào)條件的作用： 是一種遞推關(guān)系（第 k 塊倒下,使第 k+1 塊倒下）；2、類比“ 多米諾骨牌”的原理來(lái)驗(yàn)證情境2 中對(duì)于通項(xiàng)公式a n1 的 n猜想；“ 多米諾骨牌” 原理第一塊骨牌倒下；aa k如第 k 塊倒下,就使得第k+1 塊倒下驗(yàn)證猜想 假如nk時(shí),猜想成立；即a k1 ,就 kn1驗(yàn)證猜想成立當(dāng)nk1時(shí),ak1111k1k11即nk1時(shí)猜想成立kk3、

6、引導(dǎo)同學(xué)概括 , 形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：1 證明當(dāng) n 取第一個(gè)值n 時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）2 假設(shè)當(dāng) nk kN ,kn 時(shí)結(jié)論正確 , 證明當(dāng) nk1 時(shí)結(jié)論也正確（歸納遞推）完成這兩個(gè)步驟后 , 就可以肯定命題對(duì)從 都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法n 開頭的全部正整數(shù) n第三階段：鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu),充實(shí)認(rèn)知過(guò)程例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明2 12232n2nn1 2 n1 6證明：（1）當(dāng) n=1 時(shí),左邊121,右邊111 211 ,等式成立；6（2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí),等式成立,即122232k2kk1 2k1 6就當(dāng) n=k+1時(shí),左邊 =1 2223 3k

7、2k12k1 k2 k1 6k1 kk1 2 k1 k1 21661k1 2k27k61k1 k1 12 k1 166=右邊由（1）、（2）可知, nN 時(shí),等式成立；師生共同總結(jié)：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法,的問(wèn)題；它適用于與自然數(shù)有關(guān) 2 、兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不行,否就結(jié)論不能成立；3、在證明遞推步驟時(shí),必需使用歸納假設(shè) ,進(jìn)行恒等變換；4、完成第 1 、2）步驟的證明后,要對(duì)命題成立進(jìn)行總結(jié)；練習(xí)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立；探究 : 已知數(shù)列114,417,71,3 n213 n1 ,10設(shè)Sn為數(shù)列前 n項(xiàng)和,運(yùn)算 S1, S 2 ,S3 ,S4, 依據(jù)運(yùn)算結(jié)果,猜想

8、Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；解: 可以看到,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)一樣,分母可用項(xiàng)數(shù) n表示為 3n+1,可以猜想Snn13n證明過(guò)程由同學(xué)自主完成；【課堂小結(jié) 】（1）數(shù)學(xué)歸納法只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟：1 驗(yàn)證 n=n0（n0為命題答應(yīng)的最小正整數(shù)）時(shí),命題成立2 假設(shè) n=k（kn0）時(shí)命題成立,證明n=k+1 時(shí)命題成立,由 1 和 2 對(duì)任意的 nn0, n N* 命題成立；（3）本節(jié)課通過(guò)從“ 多米諾骨牌” 講起,借助這個(gè)嬉戲的設(shè)計(jì)理念,揭示了數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系；（4）本節(jié)課使用數(shù)學(xué)歸納法只證明白與正整數(shù)有關(guān)的等式成立的問(wèn) 題,在以后的學(xué)習(xí)中, 我們將會(huì)遇到使用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有 關(guān)的不等式及幾何問(wèn)題, 也會(huì)遇到 n0的取值不是 1 的情形；在下一節(jié) 課我們?nèi)詫⑼ㄟ^(guò)詳細(xì)的例子使同學(xué)們明白為什么在使用數(shù)學(xué)歸納法 證明時(shí)兩個(gè)步驟缺一不行；【作業(yè) 】1. 習(xí)題 2.3 A 組 1.2.3 2. 摸索：平面內(nèi)有 n 條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不共 點(diǎn),設(shè) fn 為 n 條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),求證：證明： 1 n=1時(shí),f 1=1 等式成立fk1kk1 成立 2 假設(shè) n=k 時(shí), 等式成立即2那么當(dāng) n=k+1時(shí),依據(jù)（ 1）和（ 2）,可知等式對(duì)任何【