橢圓標準方程以及幾何性質(zhì)

1、關(guān)于橢圓標準方程及幾何性質(zhì)第一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 橢圓的 標準方程第二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 2008年9月25日晚21時10分04秒， “神舟 七號”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空 ，實現(xiàn)了太空行走，標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階。第三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月生活中的橢圓第五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學(xué)實驗：新課講解第六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)合實驗以及“圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？思考：F1F2M第七張，PPT共七十八

2、頁，創(chuàng)作于2022年6月F1F2M平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做焦距。1、橢圓的定義 如果設(shè)軌跡上任一點M到兩定點F1、F2的距離和為常數(shù)2a，兩定點之間的距離為2c，則橢圓定義還可以用集合語言表示為：P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）第八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做焦距。（1）平面曲線（2）到兩定點F1，F(xiàn)2的距離等

3、于定長2a（3）定長|F1F2|(2a2c)理解：橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件？第九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月動點M的軌跡：線段F1F2 . MF1 F2 動點M的軌跡：不存在. 時，即a=c時當(dāng)2121FFMFMF=+時，即ac時當(dāng)2121FFMFMF0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0) .（想一想：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義，代入坐標OxyMF1F2第十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月則方程可化為觀察左圖， 你能從中找出表示 c 、 a 的線段嗎？即a2-c2 有什么幾何意義？（ ）第十

4、三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月焦點在y軸：焦點在x軸：橢圓的標準方程1oFyx2FM12yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c ）、F2（0，c） 第十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月注意理解以下幾點： 在橢圓的兩種標準方程中，都有的要求； 在橢圓的兩種標準方程中，由于 ，所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上； 橢圓的三個參數(shù)之間的關(guān)系是 ，其中大小不確定第十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考： （1）將一個底面圓半徑為5的圓柱沿與底面成600角作一個截面，截面為橢圓，求其標準方程。（2）橢圓的中心在點（m,n），標準

5、方程式什么？第十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然。注意：1.下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？跟蹤練習(xí)第十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結(jié)果如何？已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程當(dāng)焦點在X軸時，方程為：當(dāng)焦點在Y軸時，方程為：第十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例

6、1. 橢圓兩個焦點的坐標是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且經(jīng)過點P ，求標準方程。解：法1： 因為橢圓的焦點在y軸上， 設(shè)它的標準方程為 c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又橢圓經(jīng)過點P 聯(lián)立可求得：橢圓的標準方程為 xyF1F2P例題講解第十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月法2： 設(shè)它的標準方程為 由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標準方程為求橢圓標準方程的步驟：（1）先判斷焦點的位置，設(shè)出標準方程；（先定位）（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b. （后定量)第二十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=

7、4,b=3,焦點在x 軸；（2）a=5,c=2,焦點在y 軸上2橢圓的焦距是 ，焦點坐標為 ；的弦，則的周長為 若CD為過左焦點跟蹤練習(xí)第二十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月分母哪個大，焦點就在哪個軸上 標準方程相 同 點焦點位置的判斷不 同 點 圖 形 焦點坐標探究定義a、b、c 的關(guān)系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0)P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）知識總結(jié)第二十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)焦點在y軸

8、上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)一、求橢圓的標準方程例題講解第二十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：(1)由于橢圓的焦點在x軸上， 設(shè)它的標準方程為x2a2y2b21(ab0) 2a(54)2(54)210a5.又c4，b2a2c225169. 故所求橢圓的方程為x225y291. 第二十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)由于橢圓的焦點在y軸上，設(shè)它的標準方程為y2a2x2b21(ab0)由于橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)4a20b210a21b21a24，b21.故所求橢圓的方程為y24x21.第二十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1.根據(jù)下

9、列條件，求橢圓的標準方程 (1)坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點A(0,2)和B(12，3)； (2)經(jīng)過點(2，3)且與橢圓9x24y236有共同的焦點 跟蹤練習(xí)第二十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：(1)設(shè)所求橢圓的方程為x2my2n1(m0，n0且mn) 橢圓經(jīng)過兩點A(0,2)、B(12，3)， 0m4n1，14m3n1，解得 m1，n4. 所求橢圓方程為x2y241. 第二十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)橢圓9x24y236的焦點為(0，5)則可設(shè)所求橢圓方程為x2my2m51(m0) 又橢圓經(jīng)過點(2，-3) 則有4m9m51. 解得m10或m2(舍

10、去) 所求橢圓的方程為x210y2151. 第二十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 已知動圓M過定點A(3,0)，并且內(nèi)切于定圓B：(x3)2y264，求動圓圓心M的軌跡方程二、利用橢圓的定義求軌跡方程例3. 已知圓B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C為圓上任意一點，AC中垂線與CB交于點P，求點P的軌跡方程。第二十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 設(shè)動圓M的半徑為r，則|MA|r，|MB|8r， |MA|MB|8，且8|AB|6， 動點M的軌跡是橢圓，且焦點分別是A(3,0)，B(3,0)，且2a8，a4，c3a2c21697. 所求動圓圓心M的軌

11、跡方程是x216y271. b2第三十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 有一顆地球衛(wèi)星沿地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行，衛(wèi)星近地點約200公里，遠地點約500公里，地球半徑R約6400公里，求運行軌道方程。xoFF1ABy規(guī)律：近地點和遠地點一定是長軸的兩個端點。第三十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 已知動圓M和定圓C1：x2(y3)264內(nèi)切，而和定圓C2：x2(y3)24外切求動圓圓心M的軌跡方程跟蹤練習(xí)第三十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：設(shè)動圓M的半徑為r，圓心M(x，y)，兩定圓圓心C1(0,3)，C2(0， 3），半徑r18，r2

12、2. 則|MC1|8r，|MC2|r2. |MC1|MC2|(8r)(r2)10. 又|C1C2|6，動圓圓心M的軌跡是橢圓，且焦點為C1(0,3)，C2(0，3)，且2a10， a5，c3， b2a2c225916. 動圓圓心M的軌跡方程是y225x2161. 第三十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 設(shè)點A,B的坐標分別為(-5,0)，(5,0)。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為 ，求點M的軌跡方程。思考：斜率之積為m(m2c)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距(2c)。1、橢圓的定義注意“常數(shù)2a”的條件：2a=2c 等

13、于線段 2ab0)為例由標準方程可知，橢圓上點的坐標(x,y)都適合不等式1 , 即x2a2 , y2b2，xa , yb.1 , 橢圓的幾何性質(zhì)新課講解第四十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月x這說明橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形里。oya-ab-b第四十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 在橢圓上，任取一點(x,y),其關(guān)于x軸、 y 軸和坐標原點對稱的點仍在橢圓上。所以橢圓關(guān)于x軸、 y 軸和坐標原點都是對稱的。xo(x, y)(x, y)(x, y)(x, y)y、對稱性 其中坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.第四十五

14、張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月、頂點 橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B2第四十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4、離心率【定義】焦距與長軸長的比【范圍】0e0即3k2+k+3/40恒成立（事實上，點P在橢圓內(nèi),直線與橢圓恒相交）K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1（法二）：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4x22+4y22=4點差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y

15、2)(y1-y2)=0即2+4k=0K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1代入方程由弦長公式得到弦長。第七十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3.橢圓C中心在原點，交點在x軸上, 過點P(1,0)的直線L與橢圓交于A，B，直線y=x/2過AB中點，同時，橢圓上存在一點N與右焦點F關(guān)于L對稱，求L及橢圓C.xoAByFN第七十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.長軸為4的橢圓上有A,B,C三點，A為長軸一端點，BC過橢圓中心O，且AC.BC=0，|BC|=2|AC| (1)建立適當(dāng)坐標系，求橢圓方程；(2)如果橢圓上有兩點P,Q，使角PCQ的平分線垂直于AO,證明：PQ=tABxoAByCPQ第七十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解:(1)方程：x2+3y2=4(2)解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故兩直線都有斜率，令xoAByCPQ由從這里就要解出 來（呵呵。很多人已經(jīng)沒勇氣再算下去了，解析幾何在高考中很多時候就是考計算，這點不算什么）大家注意，硬解那當(dāng)然就bt了，這方程中肯定有一解是1，因為直線是過了(1,1)的，呵呵，所以另一根用韋達定理求得。第七十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月呵呵，所以呵呵，再算可以再同樣算，但是注