新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：8.1~8.3綜合拔高練

1、8.18.3綜合拔高練五年高考練考點1基本立體圖形 1.(2020課標(biāo),3,5分,)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為(深度解析)A.5-14B.5-12C.5+14D.5+122.(2020浙江,14,4分,)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是.3.(2019課標(biāo),16,5分,)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官

2、員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面,其棱長為.圖1圖2考點2幾何體的表面積和體積4.(2020課標(biāo),12,5分,)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64B.48C.36D.325.(2020課標(biāo),10,5分,)已知ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16,則

3、O到平面ABC的距離為()A.3B.32C.1D.32(2020江蘇,9,5分,)如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.7.(2019天津,11,5分,)已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱長均為5.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.8.(2019江蘇,9,5分,)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是.9.(2019課標(biāo),16,5分,)學(xué)

4、生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.易錯考點3幾何體的外接球和內(nèi)切球10.(2020天津,5,5分,)若棱長為23的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.24C.36D.14411.(2020課標(biāo),15,5分,)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.12.(2019課標(biāo),

5、12,5分,)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,CEF=90,則球O的體積為()A.86B.46C.26D.6三年模擬練 應(yīng)用實踐1.(2020北京密云高三下一模,)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8B.83C.8+22D.8+422.(2020北京一零一中學(xué)高三統(tǒng)練,)有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果該塔形幾何體的最上層正方體的棱長小于1,那么該塔形幾何體中正方體的個數(shù)至少是(

6、)A.8B.7C.6D.43.(2020山東濰坊高三下模擬,)九章算術(shù)中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,ACBC,AA1=2,當(dāng)陽馬B-ACC1A1的體積為43時,塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積的最小值為()A.43B.823C.323D.64234.(2020天津四中高三下線上檢測,)底面是邊長為1的正方形,側(cè)面是等邊三角形的四棱錐P-ABCD的外接球的體積為()A.223B.23C.233D.335.(2020天津北辰高三下第一次診斷,)已知等邊三角形的邊長為2,將該三角形繞其任一邊所在的直線旋

7、轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為.6.(2020天津河西高三下調(diào)查,)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AA1=2AB,且棱柱的表面積為20,則以四邊形A1B1C1D1的中心為頂點,四邊形ABCD的內(nèi)切圓所在平面為底面的圓錐的體積為.7.(2020遼寧省實驗中學(xué)、哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯(lián)合模擬,)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1 m,圓錐SO的底面是正方形A1B1C1D1的內(nèi)切圓,頂點S是正方形ABCD的中心,則圓錐SO的體積為m3,側(cè)面積為m2.8.(2020山東滕州一中高三線上模擬,)已知正三棱錐P-

8、ABC中,Q為BC的中點,PA=2,AB=2,則正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為,過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積的范圍為.9.(2020天津和平新高考適應(yīng)性訓(xùn)練,)如果一個圓錐的高是這個圓錐的內(nèi)切球的半徑的3倍,則圓錐的側(cè)面面積和球的表面積之比為.遷移創(chuàng)新10.(2020山東濟(jì)寧高三線上模考,)農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為 1 的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積

9、為;若該六面體內(nèi)有一球, 則該球的體積的最大值為.答案全解全析五年高考練1.C如圖,設(shè)正四棱錐的底面邊長BC=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM=h,則正四棱錐的高PO=2-a24,以PO的長為邊長的正方形面積為h2-a24,一個側(cè)面三角形面積為12ah,h2-a24=12ah,4h2-2ah-a2=0,兩邊同除以a2可得4a2-2a-1=0,解得a=154,又a0,a=5+14.故選C.解題關(guān)鍵利用以四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,求得底面邊長a與側(cè)面等腰三角形底邊上的高h(yuǎn)之間的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.2.答案1解析設(shè)圓錐的底面半徑為r cm,母線長為l cm,如圖

10、.由題意可得S側(cè)=rl=2,2r=l,r=1.故圓錐的底面半徑為1 cm.3.答案26;2-1解析半正多面體面數(shù)從上至下依次為1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26個面.正方體被半正多面體頂點A,B,C所在平面截得的圖形如圖2,八邊形ABCDEFGH為正八邊形.圖1圖2設(shè)AB=a,則1=222a+a,解得a=2-1,即該半正多面體的棱長為2-1.4.A如圖,由題知ABC為等邊三角形,圓O1的半徑r=2,即O1B=2,BC=23=OO1,在RtOO1B中,OB2=OO12+O1B2=16,球O的半徑R=OB=4,則S球O=4R2=64.故選A.5.C設(shè)等邊ABC的邊長為a,外接圓半徑

11、為r,球心O到平面ABC的距離為h,球的半徑為R,依題意得34a2=934,解得a=3(負(fù)值舍去),則ABC的外接圓半徑為r=33a=3,因為球O的表面積為16,即4R2=16,所以R=2.由R2=h2+r2得h=22-(3)2=1.故選C.6.答案123-2解析此六角螺帽毛坯的體積V=V正六棱柱-V圓柱=634222-142=123-2cm3.7.答案4解析如圖所示,圓柱的高O1O=12PO=12PA2-AO2=1251=1,圓柱的底面半徑r=12AO=12.所以圓柱的體積V=r2O1O=141=4.8.答案10解析因為長方體的體積是120,所以2SBCDCC1=120,則SBCDCC1=6

12、0.所以VE-BCD=13SBCDEC=13SBCD12CC1=1660=10.9.答案118.8解析依題意,知該模型是長方體中挖去一個四棱錐,故其體積V=V長方體-V四棱錐=664-1312463=132(cm3).又因為制作該模型所需的原料密度為0.9 g/cm3,所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為0.9132=118.8(g).易錯警示計算被挖去的四棱錐底面面積時,容易誤認(rèn)為四邊形HEFG為正方形,由勾股定理求得HE=22+32=13,錯認(rèn)為底面面積為13.10.C設(shè)球的半徑為R,易知正方體的體對角線為球的直徑,323=2R,R=3,該球的表面積為4R2=36.故選C.11.答案23解析如圖

13、為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.其中球心為O,設(shè)其半徑為r,AC=3,O1C=1,AO1=AC2-O1C2=22.OO1=OM=r,AO=AO1-OO1=22-r,易知AMOAO1C,OMO1C=AOAC,即r1=22-r3,故3r=22-r,r=22.該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=43223=23.12.D令PA=PB=PC=2x(x0),則EF=x,連接FC,由題意可得FC=3.在PAC中,cosAPC=4x2+4x2-424x2=2x2-12x2.在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx2x2-12x2=x2+2,在FEC中,CEF=90,FC2

14、=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x=22,PA=PB=PC=2x=2.AB=BC=CA=2,三棱錐P-ABC的三個側(cè)面為等腰直角三角形,PA、PB、PC兩兩垂直,故球O是棱長為2的正方體的外接球,設(shè)球O的半徑為R,則2R=32,R=62,球O的體積V=43R3=6.故選D.三年模擬練應(yīng)用實踐1.D由三視圖知該四棱錐是如圖所示的棱長為2的正方體中的四棱錐A-BCDE,其表面積為22+21222+212222=8+42,故選D.2.A最底層正方體的棱長為8,則從下往上數(shù)第二層正方體的棱長為42+42=42,第三層正方體的棱長為(22)2+(22)2=4,第四層正方體的棱長為22+22=22

15、,第五層正方體的棱長為(2)2+(2)2=2,第六層正方體的棱長為12+12=2,第七層正方體的棱長為222+222=1,第八層正方體的棱長為122+122=22,該塔形幾何體的最上層正方體的棱長小于1,該塔形幾何體中正方體的個數(shù)至少是8.故選A.3.B設(shè)AC=x,BC=y,則陽馬B-ACC1A1的體積為132xy=43,xy=2.把塹堵ABC-A1B1C1補形為長方體,設(shè)塹堵ABC-A1B1C1的外接球半徑為R,則2R=x2+y2+42xy+4=22,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時,等號成立,Rmin=2.塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積的最小值為43(2)3=823.故選B.4.B設(shè)點E是正方

16、形ABCD的中心,則四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在PE上,設(shè)外接球的半徑為R,則OP=OB=R,由題意得BE=22,BP=1,所以PE=PB2-BE2=22.所以BE=PE,即O、E重合,四棱錐P-ABCD的外接球的體積V=43223=23.故選B.5.答案2解析易知將該三角形繞其任一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是以3為底面圓半徑,1為高的兩個同底圓錐的組合體,其體積V=213(3)21=2.故答案為2.6.答案23解析如圖,由題意,該四棱柱為直四棱柱,設(shè)AA1=2AB=2a,則四棱柱的表面積S=2a2+4a2a=10a2=20,解得a=2(負(fù)值舍去),圓錐的底面半徑為2

17、2,高為22.圓錐的體積為1322222=23.故答案為23.7.答案12;54解析易得圓錐的高為1 m,底面半徑為12 m,母線長為1+14=52 m,所以體積為31221=12(m3),側(cè)面積為1252=54(m2).8.答案62;,32解析因為正三棱錐P-ABC中,PB=PC=PA=2,AC=BC=AB=2,所以PB2+PA2=AB2,即PBPA,同理PBPC,PCPA,因此可將正三棱錐P-ABC放入正方體中,如圖.記正方體的體對角線的中點為O,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得,O點是正方體的外接球球心,所以點O也是正三棱錐P-ABC外接球的球心.記外接球的半徑為R,則R=122+2+2=62.因為球的最大截面圓為過球心的圓,所以過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積最大為R2=32.因為Q為BC的中點,所以由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得OQ=12PA=22.由球的結(jié)構(gòu)特征可知,當(dāng)OQ垂直于過Q的截面時,截面圓的半徑最小,為R2-OQ2=1,此時截面圓的面積為.因此,過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積的范圍為,32.9.答案32解析作圓錐的軸截面,如