新人教版高中數(shù)學必修第二冊第八章基本立體圖形：8.1 基本立體圖形

1、8.1基本立體圖形 1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形,認識柱、錐、臺、球的結構特征. 2.理解柱、錐、臺之間的關系,認識簡單組合體的結構特征. 3.能運用柱、錐、臺、球的結構特征進行有關計算. 空間幾何體類別定義圖示相關概念多面體一般地,由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,如面ABE,面BAF;兩個面的公共邊叫做多面體的棱,如棱AE,棱EC;棱與棱的公共點叫做多面體的頂點,如頂點E,頂點C旋轉體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面,封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體這條定直線叫做旋轉體的軸 棱柱、棱錐、棱臺

2、名稱定義圖形及表示相關概念結構特征棱柱一般地,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作:棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面:兩個互相平行的面;側面:其余各面;側棱:相鄰側面的公共邊;頂點:側面與底面的公共頂點(1)底面互相平行且全等;(2)側面都是平行四邊形;(3)側棱都相等且互相平行棱錐一般地,有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作:棱錐S-ABCD底面:多邊形面;側面:有公共頂點的各個三角形面;側棱:相鄰側面的公共邊;頂點:各側面的公共頂點(1)底面是一個多邊

3、形;(2)側面都是三角形;(3)各側面有一個公共頂點棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺記作:棱臺ABCD-A1B1C1D1上底面:原棱錐的截面;下底面:原棱錐的底面;側面:其余各面;側棱:相鄰側面的公共邊;頂點:側面與上(下)底面的公共頂點(1)上、下底面互相平行且是相似圖形;(2)各側棱的延長線交于一點;(3)各側面為梯形 棱柱的分類與性質 1.棱柱的分類 (1)按底面多邊形的邊數(shù)分類:底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 (2)按側棱與底面的關系分類: 側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱; 側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;

4、底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱. (3)常見的四棱柱及其關系: 它們的關系用集合表示: 2.直棱柱的性質 (1)側棱垂直于底面; (2)側面都是矩形; (3)側面垂直于底面. 3.正棱柱的性質 (1)側棱垂直于底面,側面垂直于底面; (2)側面都是全等的矩形; (3)底面是全等的正多邊形. 棱錐的分類與正棱錐的性質 1.棱錐的分類 按底面多邊形的邊數(shù)分類:底面是三角形、四邊形、五邊形的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐 2.正棱錐 底面是正多邊形,并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐. 3.正棱錐的性質 (1)正棱錐的側面都是全等的等腰三角形; (2)正棱錐的各側棱都相等; (

5、3)正棱錐的頂點與底面正多邊形中心的連線垂直于底面. 棱臺的分類與正棱臺的性質 1.棱臺的分類 由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺 2.正棱臺 由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺. 3.正棱臺的性質 (1)正棱臺的側棱都相等,側面是全等的等腰梯形,各等腰梯形的高(正棱臺的斜高)相等; (2)正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形; (3)正棱臺的兩底面中心連線、相應的邊心距和斜高組成一個直角梯形;正棱臺的兩底面中心連線、側棱和兩底面中心分別與該側棱相應端點的連線也組成一個直角梯形. 圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及相關概念名稱定義圖形及表示相關概念圓柱以矩形的一邊

6、所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱記作:圓柱OO軸:旋轉軸叫做圓柱的軸;底面:垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面;側面:平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面;母線:無論旋轉到什么位置,平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線圓錐以直角三角形的一條 直角邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐記作:圓錐SO軸:旋轉軸叫做圓錐的軸;底面:垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面;側面:直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面;母線:無論旋轉到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓錐側面的母線圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的

7、部分叫做圓臺記作:圓臺OO與圓柱和圓錐一樣,圓臺也有軸、底面、側面、母線球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉體叫做球體,簡稱球記作:球O球心:半圓的圓心叫做球的球心;半徑:連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑;直徑:連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑 旋轉體的結構特征 1.圓柱的結構特征 (1)用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是一個與底面全等的圓面. (2)經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形,其兩鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑,經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面. (3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸. 2.圓錐的結構特征 (1)用一

8、個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面是一個比底面小的圓面. (2)經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形,其底邊是圓錐底面的直徑,兩腰是圓錐側面的兩條母線. (3)圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側面的母線. 3.圓臺的結構特征 (1)用一個平行于圓臺上、下底面的平面去截圓臺,截面是一個圓面. (2)經(jīng)過圓臺的軸的截面是一個等腰梯形,其上、下底邊是圓臺上、下底面的直徑,兩腰是圓臺側面的兩條母線. 4.球的結構特征 用一個平面去截一個球,截面是一個圓面.如果截面經(jīng)過球心,則截面圓的半徑等于球的半徑;如果截面不經(jīng)過球心,則截面圓的半徑小于球的半徑. 簡單幾何體的分類1. 2.1.棱柱的所

9、有側棱都平行且相等.()2.棱臺的上、下底面互相平行,且各側棱的延長線相交于一點.()3.圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形.()4.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.()提示：如圖,該幾何體的各個面都是三角形,但該幾何體不是三棱錐.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .提示：經(jīng)過圓臺的軸的平面截圓臺得到的等腰梯形的腰才是圓臺側面的母線.如圖,PP1是母線,而PB不是母線. 5.圓臺上底面圓周上任意一點與下底面圓周上任意一點的連線都是圓臺側面的母線.() 如何確定多面體的截面 如圖所示,將裝有水的長方體水槽(圖1)固定底面一邊BC后,傾斜一定

10、角度(圖2、圖3),則傾斜后水槽中的水面是什么形狀? 1.在圖2中,水面與長方體的哪些棱相交,水面是什么形狀?提示:水面與長方體的棱AA1、BB1、CC1、DD1相交,水面的形狀是矩形.2.在圖3中,水面與長方體的哪些棱相交,水面是什么形狀?提示:水面與長方體的棱AB、BB1、CC1、CD相交,水面的形狀是矩形. 作截面的步驟 一是確定截面與多面體的哪些棱相交;二是找到截面與多面體相交棱的公共點;三是將所得的公共點依次連接起來,畫出截面.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是棱AB、BC的中點,畫出過D1、M、N三點的截面. 思路點撥找出截面與長方體各棱的交點,然后將所有交點順次連

11、接形成截線,截線構成的多邊形所在的平面即為過D1、M、N三點的截面.解析如圖,連接MN,延長NM、DA,交于點E,連接D1E,交A1A于點P,延長MN、DC,交于點F,連接D1F,交C1C于點Q,多邊形D1PMNQ所在平面即為過D1、M、N三點的截面.如圖所示的幾何體中,四邊形AA1B1B是邊長為3的正方形,CC1=2,CC1AA1,這個幾何體是棱柱嗎?若是,指出是幾棱柱;若不是,請你試用一個平面截去一部分,使剩余部分是一個側棱長為2的三棱柱,并指出截去的幾何體的特征,在立體圖中畫出截面. 思路點撥利用棱柱的結構特征判斷該幾何體是不是棱柱,若不是,根據(jù)題中條件作出適當?shù)慕孛?解析這個幾何體不是

12、棱柱,因為沒有互相平行的兩個面.截面如圖所示,截去的部分是一個四棱錐C1-EA1B1F.在四邊形ABB1A1中,在AA1上取點E,使AE=2,在BB1上取點F,使BF=2,連接C1E,EF,C1F,則截面C1EF將幾何體分成兩部分,其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其側棱長為2,另一部分是四棱錐C1-EA1B1F. 探究幾何體中基本量的計算 九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問:米堆的體積和堆放的米各為多少?

13、”這是一個關于圓錐的計算問題,如何對幾何體進行計算? 1.在圓錐的計算中,常用到的基本量有哪些?提示:圓錐的基本量有底面半徑、高、母線長.2.圓錐的基本量之間有什么關系?提示:設圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為l,則l2=r2+h2.3.探究該情境中圓錐的基本量分別為多少.(取3)提示:由條件得2r=8,因此r=,又h=5,由半徑、高、母線構成直角三角形,得l=. 幾何體中計算問題的注意事項 1.明確幾何體的基本量 (1)正棱柱的基本量為底面邊長、高等; (2)正棱錐、正棱臺的基本量為高、斜高、邊心距、側棱長等; (3)圓柱、圓錐、圓臺的基本量為高、底面半徑、母線長等; (4)球的基本量為

14、球的半徑. 2.探求基本量之間的關系 (1)正棱錐的高、斜高、邊心距構成直角三角形,利用勾股定理得到各個量之間的關系; (2)作圓柱、圓錐、圓臺或球的軸截面,把軸截面從旋轉體中分離出來得出基本量間的關系.圓臺的一個底面的周長是另一個底面周長的3倍,軸截面的面積等于441 cm2,母線與軸的夾角是45,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.思路點撥設圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm,延長圓臺的母線和高交于一點,構造直角三角形,再利用已知條件求解.解析圓臺的軸截面如圖所示,設圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm,延長AA1交OO1的延長線于點S.在RtSOA中,ASO=45,

15、則SA1O1=SAO=45,SO=AO=3x cm,SO1=A1O1=x cm,OO1=2x cm,又(6x+2x)2x=441,x=,圓臺的高OO1= cm,母線長AA1=OO1=21 cm,兩底面半徑分別為 cm和 cm.已知正四棱錐V-ABCD的底面面積為16,側棱長為2,求這個棱錐的斜高與高.解析如圖,設VO為正四棱錐V-ABCD的高,作OMBC于點M,則M為BC的中點,連接OB,VM.底面ABCD的面積為16,BC=4,BM=OM=2.在RtBMO中,OB=2,在RtVOB中,VB=2,VO=6.在RtVOM中,VM=2(或在RtVBM中,VM=2).故該正四棱錐的高為6,斜高為2.

16、 探究與幾何體表面相關的計算問題在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從長方體表面上一點P出發(fā),沿表面爬行到另外一點Q,探究螞蟻爬行的最短路線. 1.一只螞蟻從長方體表面上一點A出發(fā),沿表面爬行到另外一點B1,如何探究螞蟻爬行的最短路線?提示:A,B1在長方體的同一個面內,由平面幾何知識,知螞蟻爬行的最短路線為線段AB1,其長度為=.2.一只螞蟻從長方體表面上一點A出發(fā),沿表面經(jīng)過線段A1B1上一點爬行到另外一點C1,如何探究螞蟻爬行的最短路線?提示:將平面A1B1C1D1沿棱B1C1,C1D1,D1A1剪開后展開,使點A,B,C1,D1在一個平面內,連

17、接AC1,則沿線段AC1爬行的路程最短,可求得線段AC1的長為=4.3.一只螞蟻從點A出發(fā),沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線.提示:將長方體沿某些棱剪開后展開,使A和C1在同一平面內,求線段AC1的長即可,有三種情況:(1)見問題2;(2)將側面ADD1A1沿棱AA1,AD,DD1剪開后展開,使點A,D,C1,B1在一個平面內,可求得AC1=3;(3)將側面B1BCC1沿棱B1C1,C1C,CB剪開后展開,使點A,A1,C,C1在一個平面內,可求得AC1=.比較可得,螞蟻爬行的最短路線長為.4.如圖所示,已知圓柱的高為80 cm,底面半徑為10 cm,表面上有P、Q兩點,若P點在B點處

18、、Q點在B1點處,一只螞蟻從P點繞圓柱體側面一周爬到Q點(不直接走直線段BB1),如何探究螞蟻爬行的最短路徑長? 提示:將圓柱側面沿母線BB1展開,得到如圖所示的矩形.設圓柱的底面半徑為r,則r=10 cm.在RtPB1Q中,QB1=2r=20(cm),PB1=80 cm,PQ=20(cm),即螞蟻爬行的最短路徑長是20cm.提示:將圓柱側面沿母線AA1展開,得到如圖所示的矩形.設圓柱的底面半徑為r,則r=10 cm.A1B1=2r=r=10(cm).過點Q作QSAA1于點S,在RtPQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10 cm.PQ=10(cm),即螞蟻爬行的最短

19、路徑長是10 cm. 5.如圖所示,若問題4中的P、Q兩點在軸截面上,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點,如何探究螞蟻爬行的最短路徑長? 將空間圖形轉化為平面圖形,是解決立體幾何問題最基本、最常用的方法.立體圖形上兩點之間的最短距離問題常通過把立體圖形轉化為平面圖形,運用“兩點之間線段最短”來解決. 化“曲”為“直”的一般步驟: 1.將幾何體沿著某些棱剪開后展開,畫出其側面展開圖; 2.將所求曲線問題轉化為平面上的線段問題; 3.結合已知條件求得結果.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,D,F分別是棱AB,AA1的中點,E為棱AC上的動點,則DEF的周長的最小值為(