材料力學(xué)第4章彎曲應(yīng)力

1、第四章 彎曲應(yīng)力4-1 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4-2 梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4-4 梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件4-5 梁橫截面上的切應(yīng)力 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件4-6 梁的合理設(shè)計(jì)4-1 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖. 關(guān)于彎曲的概念 受力特點(diǎn)： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用（區(qū)別于扭轉(zhuǎn)）。 變形特點(diǎn)： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。 梁以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。第四章 彎曲應(yīng)力彎曲變形第四章 彎曲應(yīng)力第四章 彎曲應(yīng)力工程實(shí)例F2F1縱向?qū)ΨQ面 對(duì)稱彎曲外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓

2、曲線)是在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線。 非對(duì)稱彎曲梁不具有縱對(duì)稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對(duì)稱的縱向平面；或梁雖有縱對(duì)稱面但外力并不作用在縱對(duì)稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對(duì)稱面一致。第四章 彎曲應(yīng)力. 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 對(duì)于對(duì)稱彎曲的直梁，在計(jì)算簡(jiǎn)圖中通常用梁的軸線來代表梁。第四章 彎曲應(yīng)力(1) 支座的三種基本形式1. 固定端實(shí)例如圖a，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b, c。第四章 彎曲應(yīng)力(b)(c)MRFRxFRy(a) 2. 固定鉸支座實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b，e。 3. 可動(dòng)鉸支座實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖c，f。第四章 彎曲應(yīng)力懸臂梁(2) 梁的三種基本形式簡(jiǎn)支梁外伸梁

3、第四章 彎曲應(yīng)力 在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3) 靜定梁和超靜定梁 圖d，e所示梁及其約束力不能單獨(dú)利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。第四章 彎曲應(yīng)力4-2 梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖. 梁的剪力和彎矩(shearing force and bending moment) 圖a所示跨度為l的簡(jiǎn)支梁其約束力為 梁的左段內(nèi)任一橫截面mm上的內(nèi)力，由mm左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：第四章 彎曲應(yīng)力 截面法 它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是 mm右邊的梁段對(duì)于左邊梁段的作用力和作用力矩。 故根據(jù)作用與反作用原理，

4、mm左邊的梁段對(duì)于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩?cái)?shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點(diǎn)也可由mm右邊分離體的平衡條件加以檢驗(yàn)：第四章 彎曲應(yīng)力從而有第四章 彎曲應(yīng)力 梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯(cuò)動(dòng)(剪切)相對(duì)應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對(duì)應(yīng)，故稱為彎矩。第四章 彎曲應(yīng)力 為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號(hào)相同，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。第四章 彎曲應(yīng)力剪力正負(fù)號(hào)：dx微段，左端向上右端向下時(shí)，為正。反之為負(fù)。彎矩

5、正負(fù)號(hào)：dx微段下凸為正，即下半部縱向受拉。反之為負(fù)。綜前所述，梁某截面上的剪力和彎矩可直接從橫截面任意一側(cè)梁上的外力進(jìn)行簡(jiǎn)化： (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力（或右側(cè)梁段上向下的外力）將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。(2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁段上外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和。第四章 彎曲應(yīng)力 1. 不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。 2. 截面左側(cè)梁段上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段

6、上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。第四章 彎曲應(yīng)力. 剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖 剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力剪力方程和彎矩方程（表示沿梁各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律） 例題4-1（補(bǔ)充） 圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力(a) 距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有解：1. 列剪力方程和彎矩方程 當(dāng)求懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩

7、)時(shí)，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計(jì)算，則可不求出約束力。第四章 彎曲應(yīng)力FS(x)2. 作剪力圖和彎矩圖 根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時(shí)其受拉的邊緣一側(cè))。第四章 彎曲應(yīng)力 (b)(c) 拋物線：凹凸？ 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對(duì)值)其值為 (負(fù)值)，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。第四章 彎曲應(yīng)力 (b) (c) (a) 例題4-2 圖a所示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1. 求支反

8、力第四章 彎曲應(yīng)力(a)2. 列剪力方程和彎矩方程FS(x)第四章 彎曲應(yīng)力 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對(duì)值)其值為 (正值，負(fù)值)，發(fā)生在兩個(gè)支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為 ,即d(M(x)/dx=0時(shí)，x=l/2,發(fā)生在跨中橫截面上。3. 作剪力圖和彎矩圖第四章 彎曲應(yīng)力 簡(jiǎn)支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計(jì)算情況，初學(xué)者對(duì)于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計(jì)算公式應(yīng)牢記在心！第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-3 圖a所示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F 作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力F(a)解：1. 求約束力2. 列剪力方程和彎矩方程 此梁上的集中荷載

9、將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章 彎曲應(yīng)力FAC段梁FS(x)CB段梁第四章 彎曲應(yīng)力FFxFS(x)如截面法，保留右側(cè)梁，計(jì)算更簡(jiǎn)便。3. 作剪力圖和彎矩圖 如圖b及圖c。由圖可見，在b a的情況下，AC段梁在0 xa的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大， 為 （負(fù)值)。 彎矩圖在集中力偶作用處有突變。第四章 彎曲應(yīng)力剪力圖和彎矩圖規(guī)律：（書上P106）1、梁上外力不連續(xù)處（即在集中力、集中力偶作用處、分布載荷開始和結(jié)束處），梁的彎矩方程和彎矩圖應(yīng)該分段。在集中力偶作用處

10、，剪力方程和剪力圖不分段。2、梁上集中力作用處，剪力圖有突變，其左右兩側(cè)橫截面上剪力的代數(shù)差，即等于集中力的值。而在彎矩圖上相應(yīng)處形成一個(gè)尖角（例題4-3）。3、在集中力偶作用處，剪力圖無變化。彎矩圖有突變，其左右兩側(cè)橫截面上彎矩的代數(shù)差，等于集中力偶（例題4-4）。 例題4-2 所示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力. 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用例4-2中：. 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用結(jié)論：將彎矩函數(shù)M(x)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到剪力函數(shù)Fs(x)；將剪力函數(shù)Fs(x)對(duì)x求導(dǎo)，得到均布載荷的集度q。. 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系

11、及其應(yīng)用M(x), FS(x)與q(x)間微分關(guān)系的導(dǎo)出 從圖a所示簡(jiǎn)支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。第四章 彎曲應(yīng)力從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項(xiàng) ，即得第四章 彎曲應(yīng)力 應(yīng)用這些關(guān)系時(shí)需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負(fù)值。由以上兩個(gè)微分關(guān)系式又可得第四章 彎曲應(yīng)力 若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。 常見荷載下FS，M圖的一些特征第四章 彎曲應(yīng)力外力剪力圖彎矩圖集中力作用處集中力偶作用處第四章

12、 彎曲應(yīng)力 利用以上結(jié)論，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|FS|max和|M|max 。第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-7 一簡(jiǎn)支梁在其中間部分受集度為 q=100 kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力x+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm）y

13、FAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq(a)(b)(c)而根據(jù) 可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為1. 校核剪力圖 解：此梁的荷載及約束力均與跨中對(duì)稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2mq 該梁的AC段內(nèi)無荷載， 對(duì)于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100 kN/m。第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE1.6 m0.2m2 mq 根據(jù) 可知CD段內(nèi)的剪力圖應(yīng)為向右下方傾斜的斜直

14、線。由于C點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標(biāo)確為80 kN。根據(jù)斜直線的斜率為 ，可證實(shí)D截面處的剪力確應(yīng)為 對(duì)于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-80 kN。經(jīng)過校核，支座B偏左橫截面上的剪力就是第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE1.6m0.2 m2 mq2. 校核彎矩圖這與圖中所示相符。 該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù) 常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為 的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為第四章 彎曲

15、應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq 對(duì)于該梁的CD段，根據(jù) 可知： 彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的二次曲線。因?yàn)榱荷螩點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒有突變；第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2m2mq 由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖+1648

16、16xMM圖（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq 在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù) 可知，這些均與圖(c)中所示相符。第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm） 對(duì)于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實(shí)圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。第四章 彎曲應(yīng)力+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2

17、mq已知：圖中梁的約束力為思考（見習(xí)題4-5）：試指出圖（a）和圖（b）所示梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯(cuò)誤。正確答案：第四章 彎曲應(yīng)力(a)圖中梁的約束力為正確答案：第四章 彎曲應(yīng)力(b). 按疊加原理作彎矩圖（簡(jiǎn)介）第四章 彎曲應(yīng)力 (1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時(shí)，我們都是按梁未變形時(shí)的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，例如對(duì)于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為第四章 彎曲應(yīng)力(a) 這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時(shí)(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。（工程上可查表附錄I

18、V)第四章 彎曲應(yīng)力(b)(c) (a) (2) 疊加原理 當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時(shí)，由幾項(xiàng)荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參數(shù)值的疊加。第四章 彎曲應(yīng)力例題4-10：按疊加原理做圖（a）簡(jiǎn)支梁的彎矩圖（查附錄IV）剪力圖快速畫法口訣 外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力

19、處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第四章 彎曲應(yīng)力F(b)(c)剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第四章 彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫

20、豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第四章 彎曲應(yīng)力x+-80 kN80 kNFSxFS 圖+164816xMM圖（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第四章 彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第四章 彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有

21、F力作零點(diǎn)；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對(duì)斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。彎矩圖快速畫法口訣彎矩圖，較復(fù)雜，對(duì)照剪圖來畫它；自由端，鉸支端，沒有力偶作零點(diǎn)；剪圖水平彎圖斜，剪力正負(fù)定增減；天上下雨池水滿，向上射出弓上箭；剪圖軸線交叉點(diǎn)，彎矩圖上極值點(diǎn)；均載邊界無橫力，光滑吻接無痕跡；集中力處有轉(zhuǎn)折，順著外力折個(gè)尖；集中力偶有突變，反著力偶符號(hào)彎；升多少？降多少？集中力偶作參考。4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖. 平面剛架 平面剛架由同一平面內(nèi)不同方向的桿，桿端相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。 平面剛架桿件的內(nèi)力當(dāng)荷載作用于剛架所在平面內(nèi)時(shí)，

22、桿件橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外，還會(huì)有軸力。第四章 彎曲應(yīng)力 作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同方向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定： 彎矩圖，畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)； 剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號(hào)； 剪力和軸力的正負(fù)號(hào)仍與前述規(guī)定相同。第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-11 試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖(即作出組成剛架的各桿的內(nèi)力圖)。第四章 彎曲應(yīng)力(a)各桿的內(nèi)力方程為：CB桿：(桿的外側(cè)受拉)(桿的外側(cè)受拉)BA桿： 解：此剛架的C點(diǎn)為自由端，故求內(nèi)力時(shí)如取包含自由端的那部分分離體作為研究對(duì)象，則可不求固定端A處的約束力。

23、第四章 彎曲應(yīng)力(a) 繪內(nèi)力圖時(shí)，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側(cè)，但需注明正負(fù)號(hào)(圖b及圖c)；彎矩圖則畫在桿件彎曲時(shí)受拉的一側(cè)(圖d)。第四章 彎曲應(yīng)力(a). 平面曲桿 平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當(dāng)荷載作用于曲桿所在平面內(nèi)時(shí)，其橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外也會(huì)有軸力 。第四章 彎曲應(yīng)力4-4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 純彎曲 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力。第四章 彎曲應(yīng)力MeM 橫力彎曲 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第四章 彎曲應(yīng)力. 純彎曲時(shí)梁橫截面

24、上的正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo) (1) 幾何方面 藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的縱向線應(yīng)變?cè)谠摍M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況 在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：第四章 彎曲應(yīng)力 1. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第四章 彎曲應(yīng)力 2. 相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與弧線aa和bb保持正交。第四章 彎曲應(yīng)力 根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè)

25、)：平面假設(shè) 梁在純彎曲時(shí)，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。第四章 彎曲應(yīng)力 橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時(shí)橫截面繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的軸 中性軸 。第四章 彎曲應(yīng)力（f)令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義 有縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個(gè)原來平行的橫截面繞中

26、性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了角dq。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為第四章 彎曲應(yīng)力(c) 即梁在純彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e與該點(diǎn)至中性軸的距離 y 成正比。第四章 彎曲應(yīng)力(c)彎曲變形 小變形時(shí)純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。 (2) 物理方面 藉以由縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。 假如梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時(shí)（如低碳鋼），有 這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。第四章 彎曲應(yīng)力M (3) 靜力學(xué)方面 藉以找出確定

27、中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。 由于梁上僅有外力偶Me的作用，梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對(duì)于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對(duì)于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即第四章 彎曲應(yīng)力(d)將 代入上述三個(gè)靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)第四章 彎曲應(yīng)力 其中 為截面對(duì)于z軸的靜矩或一次矩，其單位為m3。 為截面對(duì)于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。 為截面對(duì)于z軸的慣性矩或二次軸矩，其單位為m4。第四章 彎曲應(yīng)力 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求： 1. 橫截面對(duì)于中性軸 z

28、 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心； 2. 橫截面對(duì)于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對(duì)稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對(duì)稱軸，因而這一條件自動(dòng)滿足。(a)(b)(c)第四章 彎曲應(yīng)力由式(c)可知，直梁純彎曲時(shí)中性層的曲率為 上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時(shí)，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化，故知對(duì)于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。 將上式代入得出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：(c)第四章 彎曲應(yīng)力 應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中 y 的正負(fù)，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，

29、所得正應(yīng)力的正負(fù)自動(dòng)表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸 z 的距離。第四章 彎曲應(yīng)力 中性軸 z 為橫截面對(duì)稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對(duì)稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。第四章 彎曲應(yīng)力dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a) 中性軸z為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾

30、何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。hbzyodzyo第四章 彎曲應(yīng)力 中性軸 z 不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第四章 彎曲應(yīng)力. 純彎曲理論的推廣 工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對(duì)于梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡(jiǎn)支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比 大于5時(shí)，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時(shí)

31、的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，即第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-13 圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處(圖b)的正應(yīng)力sa。第四章 彎曲應(yīng)力 解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為第四章 彎曲應(yīng)力由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有危險(xiǎn)截面上點(diǎn)a 處的正應(yīng)力為第四章 彎曲應(yīng)力 該點(diǎn)處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160 MPa來計(jì)算：

32、第四章 彎曲應(yīng)力顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險(xiǎn)截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)榈谒恼?彎曲應(yīng)力 .梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計(jì)。因此可以認(rèn)為梁的危險(xiǎn)截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)是處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中，s為材料的許用彎曲正應(yīng)力。

33、第四章 彎曲應(yīng)力對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作 由拉、壓許用應(yīng)力st和sc不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對(duì)稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力st和許用壓應(yīng)力sc 。第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-16 圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對(duì)于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力st=30 MPa，許用壓應(yīng)力sc=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。第四章 彎曲應(yīng)力(a)(b) 解：最大負(fù)彎矩所在B

34、截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到st，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為 根據(jù) 可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力sc，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。第四章 彎曲應(yīng)力 最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到st，則上邊緣處的最大壓應(yīng)力sc,max為 ，它遠(yuǎn)小于sc。故就C截面而言，梁的強(qiáng)度也由最大拉應(yīng)力控制。第四章 彎曲應(yīng)力 由以上分析可知，該梁的強(qiáng)度條件系受最大拉應(yīng)力控制。至于究竟是B截面上還是C 截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度，可進(jìn)一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：C截面：第四章 彎曲應(yīng)力 當(dāng)

35、然，這個(gè)許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會(huì)減少很多。 于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力st的條件來求該梁的許可荷載F：由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。第四章 彎曲應(yīng)力dx4-5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件. 梁橫截面上的切應(yīng)力(1) 矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。第四章 彎曲應(yīng)力hbzyO 由于mm和nn上的彎矩不相等，故兩截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其

36、兩個(gè)端面mmA1A上與正應(yīng)力對(duì)應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N2也不相等。第四章 彎曲應(yīng)力它們分別為第四章 彎曲應(yīng)力式中， 為面積A*(圖b)對(duì)中性軸z的靜矩； A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。即由于 ，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dFS(圖b)：第四章 彎曲應(yīng)力 為確定離中性軸z為y的這個(gè)縱截面上與切向內(nèi)力dFS對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力t，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t 的情況：第四章 彎曲應(yīng)力 1. 由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的

37、切應(yīng)力必與側(cè)邊平行； 2. 對(duì)稱彎曲時(shí)，對(duì)稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。第四章 彎曲應(yīng)力從而對(duì)于狹長矩形截面可以假設(shè)：1. 橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；2. 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy第四章 彎曲應(yīng)力 于是根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點(diǎn)的切應(yīng)力t 均與橫截面正交，且大小相等。至于t 在dx長度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t 在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有第四章 彎曲應(yīng)力 以上式代入前已得出的式子得 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處

38、的切應(yīng)力t 必與t 互等，從而亦有第四章 彎曲應(yīng)力矩形截面梁橫力彎曲時(shí)切應(yīng)力計(jì)算公式zyyy1式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz 為整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t 的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩， 。第四章 彎曲應(yīng)力 上式就是矩形截面等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律 前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時(shí)，在對(duì)稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。現(xiàn)在分析橫截面上切應(yīng)力t 在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。 上述切應(yīng)力計(jì)算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和

39、b也是一定的，可見t 沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)y之間的關(guān)系確定。第四章 彎曲應(yīng)力bhdy1yyzOy1第四章 彎曲應(yīng)力可見： 1. t 沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化； 2. 同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0):第四章 彎曲應(yīng)力等于1.5倍的平均切應(yīng)力(4) 工字形截面梁1. 腹板上的切應(yīng)力其中第四章 彎曲應(yīng)力 可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。第四章 彎曲應(yīng)力2. 在腹板與翼緣交界處：在中性軸處： 對(duì)于軋制的工字鋼，上式中的 就是型鋼表中給出的比值 ，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。第四章 彎曲應(yīng)力3. 翼緣上的切應(yīng)力 翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零(因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無切應(yīng)力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應(yīng)力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個(gè)橫截面上剪力FS的90%以上。第四章 彎曲應(yīng)力圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。第四章 彎曲應(yīng)力 例題4-17 參見例題4-13，對(duì)于由56a號(hào)工字鋼制成的如圖a所示簡(jiǎn)支梁，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點(diǎn)處(圖b)的切應(yīng)力t a 。梁的自重不