隨機(jī)過程的線性變換NEW隨機(jī)信號分析與處理課件

1、3.隨機(jī)過程的線性變換3.1 線性系統(tǒng)的基本理論3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析3.5 最佳線性濾波器3.6 線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布3.4 白噪聲通過線性系統(tǒng)與等效噪聲帶寬1. 線性系統(tǒng)3.1線性系統(tǒng)的基本理論時(shí)不變性：L.分類：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng) 因果系統(tǒng)、非因果系統(tǒng) 線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)疊加性、齊次性線性：T線性放大器線性濾波器線性系統(tǒng)平方律檢波全波線性檢波非線性系統(tǒng)1. 線性系統(tǒng)3.1線性系統(tǒng)的基本理論3.1變換的基本概念和基本定理2. 連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)L.3.1變換的基本概念和基本定理3. 離散時(shí)不變線性系統(tǒng)L.LX(t)Y(t)

2、3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析問題：給定輸入和線性系統(tǒng)的特性，求輸出。求解：輸出的統(tǒng)計(jì)特征。線性系統(tǒng)的描述方法：微分方程沖擊響應(yīng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程法沖擊響應(yīng)法頻譜法h(t)X(t)Y(t)系統(tǒng)的輸出： 1. 沖擊響應(yīng)法3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)均值1. 沖擊響應(yīng)法3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)1. 沖擊響應(yīng)法3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析互相關(guān)函數(shù)h(t)X(t)Y(t)1. 沖擊響應(yīng)法3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析自相關(guān)函數(shù)h(t)X(t)Y(t)1. 沖擊響應(yīng)法3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析)(tmX)(tmY)(th對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

3、，假定輸入X(t)平穩(wěn),若輸入從-加入(雙側(cè)隨機(jī)信號)3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析 平穩(wěn)性討論則輸出Y(t)平穩(wěn)，且與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入X(t)平穩(wěn),若輸入從-加入(雙側(cè)隨機(jī)信號)3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析 平穩(wěn)性討論則輸出Y(t)平穩(wěn)，且與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析 平穩(wěn)性討論對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入X(t)平穩(wěn),若輸入從0時(shí)刻加入(單側(cè)隨機(jī)信號)則輸出Y(t)非平穩(wěn)。3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析2. 頻譜法只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程的分析輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例1 如圖所示的RC電路，輸入為雙側(cè)平穩(wěn)隨機(jī)過

4、程, 均值為mx,求輸出Y(t)的均值。 3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例1 如圖所示的RC電路，輸入為白噪聲信號,求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，輸出的平均功率和輸入輸出的自相關(guān)函數(shù)。 3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析時(shí)域法變換域方法微分方程法沖擊響應(yīng)法頻譜法系統(tǒng)特性描述微分方程和初始值h(t)H( )適用范圍平穩(wěn)和非平穩(wěn)平穩(wěn)和非平穩(wěn)平穩(wěn)特點(diǎn)運(yùn)算繁瑣h(t)較簡單時(shí)，較方便方法簡單3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析時(shí)域（沖擊響應(yīng)法）頻域（頻譜法）3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通

5、過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬1. 白噪聲通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)信號的產(chǎn)生3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬白噪聲通過線性系統(tǒng)3. 限帶白噪聲低通型限帶白噪聲|H()|1-cc 3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬輸出功率譜：輸出功率：低通型限帶白噪聲3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬低通型限帶白噪聲的相關(guān)函數(shù) pwc-0pwct)(tYR3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬隨機(jī)過程的采樣定理：當(dāng)采樣頻率等于或大于2倍帶寬時(shí)，一個(gè)限帶平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用它的一組樣本值唯一的表示。03. 限帶白噪聲帶通型限帶白噪聲3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬輸出

6、功率譜：相關(guān)函數(shù)：輸出功率：3. 限帶白噪聲帶通型限帶白噪聲3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬帶通型限帶白噪聲3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬白噪聲過線性系統(tǒng)和噪聲等效帶寬 白噪聲過線性系統(tǒng) 平穩(wěn)隨機(jī)信號的產(chǎn)生白噪聲通過線性系統(tǒng)在一般線性系統(tǒng)中，通常都是以半功率點(diǎn)的通頻帶（即3dB帶寬）來表示該系統(tǒng)對確定信號頻譜的選擇性，而這里則以等效噪聲帶寬來表示該系統(tǒng)對輸入白噪聲功率譜的選擇性，它們都是由系統(tǒng)本身參數(shù)決定的。實(shí)際上，當(dāng)線性系統(tǒng)的形式和級數(shù)確定之后，兩者也被確定，有著確定的關(guān)系。級數(shù)越高，兩者越接近。3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬2.

7、等效噪聲帶寬0用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)。2. 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬：理想系統(tǒng)的帶寬，用 來表示。3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬等效原則：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下的輸出平均功率相等，且理想系統(tǒng)的增益為實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬2. 等效噪聲帶寬0等效原則：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下的輸出平均功率相等，且理想系統(tǒng)的增益為實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。性質(zhì)： 噪聲等效通帶只能由線性系統(tǒng)特性確定； 對于帶通系統(tǒng)，輸出平均功率對于低通系統(tǒng)，輸出平均功率3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬

8、CX(t)Y(t)R例3.7 白噪聲通過如圖RC電路，求系統(tǒng)的噪聲等效帶寬。3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)與噪聲等效帶寬噪聲等效帶寬：3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY系統(tǒng)輸出系統(tǒng)描述均值:3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY相關(guān)函數(shù):1. 沖擊響應(yīng)法3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析假定輸入X(n)平穩(wěn),若輸入從-加入(雙側(cè)隨機(jī)信號) 平穩(wěn)性討論則輸出Y(n)平穩(wěn)，且與X(n)聯(lián)合平穩(wěn)；功率譜密度：若用z變換表示3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析2. 頻譜法(平穩(wěn)隨機(jī)序列)例3：設(shè)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)

9、的自相關(guān)函數(shù)為 ，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。 解例3：設(shè)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)的自相關(guān)函數(shù)為 ，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。 解隨機(jī)信號過線性系統(tǒng)分析 沖激響應(yīng)法 h(t)X(t)Y(t)(tmX)(tmY)(th隨機(jī)信號過線性系統(tǒng)分析 頻譜法 只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程的分析課后作業(yè)： 3.10，3.18例4 設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)， X(n)=aX(n-1)+W(n) 系統(tǒng)如圖所示，其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為2，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過程稱為AR過程，求一階AR過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。單位延遲X(n)W(n

10、)aX(n-1)單位延遲X(n)W(n)aX(n-1)3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析自回歸模型（Autoregressive）常用時(shí)間序列模型式中X(n)為零均值、方差為2的平穩(wěn)白噪聲，模型稱為自回歸滑動平均模型，用ARMA(N,r)表示。許多隨機(jī)序列可以看成是典型的白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的，一般表示式為：3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析當(dāng)系數(shù) 均為零時(shí)，模型稱為自回歸模型（Autoregressive），用AR(N)表示。3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析當(dāng)系數(shù) 均為零時(shí)，模型稱為滑動平均模型(Moving Average)，用MA(r)表示。例5:設(shè)有如下差分方程描述的離散

11、線性系統(tǒng)， X(n)=b0W(n)+ b1W(n-1)其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為2，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過程稱為MA過程，求一階MA過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。 單位延遲X(n)W(n)b1b單位延遲X(n)W(n)b1b0習(xí)題： 3.29，3.33（1）3.3隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析滑動平均模型(Moving Average)一. 輸出信噪比最大的線性濾波器二. 匹配濾波器三. 廣義匹配濾波器3.5最佳線性濾波器一. 輸出信噪比最大的線性濾波器A型顯示器3.5最佳線性濾波器)(nh)(th一. 輸出信噪比最大的線性濾波器確知信號零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜Gn(). 信噪比最大信噪比：輸出

12、端信號在t=t0時(shí)的瞬時(shí)功率與噪聲的平均功率之比3.5最佳線性濾波器)(nh)(th輸出噪聲功率為:3.5最佳線性濾波器最佳濾波器:幅頻特性為:相頻特性為:3.5最佳線性濾波器濾波器物理意義分析:相頻特性為:3.5最佳線性濾波器當(dāng):最大輸出信噪比為:輸出信號波形為:當(dāng)t=t0時(shí),輸出信號值最大,是波形s0(t)的尖峰.3.5最佳線性濾波器二. 匹配濾波器及其性質(zhì))(nh)(th確知信號白噪聲信噪比最大匹配濾波器3.5最佳線性濾波器匹配濾波器沖激響應(yīng):即匹配濾波器的沖激響應(yīng)為信號的共軛鏡像。如果c=1,h(t)與s(t)對于t0/2點(diǎn)呈偶對稱關(guān)系.對于實(shí)信號,有:3.5最佳線性濾波器tt0/2s

13、(t) h(t)h(t)s(-t)0s(t)實(shí)信號及其匹配濾波器的沖激響應(yīng)3.5最佳線性濾波器匹配濾波器性質(zhì):最大 輸出信噪比dm與信號s(t)波形無關(guān);輸出最大信噪比只與信號能量有關(guān),而與信號波形無關(guān)。其中3.5最佳線性濾波器如果選擇輸出最大的時(shí)刻t0在信號結(jié)束之前,則匹配濾波器在物理上不可實(shí)現(xiàn)即 t0時(shí)刻應(yīng)當(dāng)選在信號s(t)結(jié)束之后;物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器滿足:3.5最佳線性濾波器 匹配濾波器對信號幅度和時(shí)延具有適應(yīng)性； 匹配濾波器對信號的頻移不具有適應(yīng)性。3.5最佳線性濾波器例1: 單個(gè)矩形脈沖信號求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信號波形.ta0s(t)3.5最佳線性濾波器例1: 單個(gè)矩形脈沖

14、信號求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信號波形. h(t)=cs(t) 匹配濾波器的輸出信號矩形脈沖信號匹配濾波器實(shí)現(xiàn)框圖 積分器延遲線s(t)wjcawtje-+-s0(t)積分器延遲線s(t)wjcawtje-+-s0(t)匹配濾波器的實(shí)現(xiàn)思考1: 單個(gè)矩形中頻脈沖信號其中求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信噪比。思考2: 單個(gè)線性調(diào)頻矩形中頻脈沖信號求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信噪比。3.5最佳線性濾波器矩形脈沖串信號的匹配濾波器 信號的頻譜s(t)的匹配濾波器 取t0=(M-1)T+ 匹配濾波器可表示為 H()=H1()H2() 子脈沖匹配濾波器相參積累器輸出的最大信噪比脈沖串信號匹配濾波實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)三. 廣義匹配濾波器假定噪聲具有有理的功率譜 3.5最佳線性濾波器對于物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)噪聲通過H1()后變成了白噪聲，這是因?yàn)槔?白化濾波器譜分解信號的拉普拉斯變換 解取物理可