高二數(shù)學(xué)選修1-1第一章常用邏輯用語-命題及其關(guān)系

1、 命題及其關(guān)系高二數(shù)學(xué) 選修1-1 第一章 常用邏輯用語 歌德是18世紀(jì)德國的一位著名文藝大師，一天，他與一位批評家“狹路相逢”，這位文藝批評家生性古怪，遇到歌德走來，不僅沒有相讓，反而賣弄聰明，一邊趾高氣揚(yáng)地往前走。一邊大聲說道：“我從來不給傻子讓路！”而對如此的尷尬的局面，歌德只是笑容可掏，謙恭的閃在一旁，一邊有禮貌回答道“呵呵，我可恰恰相反?！苯Y(jié)果故作聰明的批評家，反倒自討沒趣。 你能分析此故事中歌德與批評家的言行語句嗎？ 常用邏輯用語 “數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)” 邏輯是研究思維形式和規(guī)律的科學(xué). 邏輯用語是我們必不可少的工具. 通過學(xué)習(xí)和使用常用邏輯用語,掌握常用邏輯用語的用法,糾正出現(xiàn)的邏

2、輯錯(cuò)誤,體會(huì)運(yùn)用常用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡捷性.1 命題思考?特點(diǎn)：都是陳述句;都可以判斷真假. 下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)? 你能判斷它們的真假嗎?(1)若直線ab,則直線a和直線b無公共點(diǎn);(2)2+4=7;(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)若x2=1,則x=1;(5)兩個(gè)全等三角形的面積相等;(6)3能被2整除.（）（）（）（）（）（）命題的概念 一般地,在數(shù)學(xué)中,我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題判斷為真的語句叫真命題。判斷為假的語句叫假命題。結(jié)論：命題的定義的要點(diǎn)：能判斷真假的陳述句 用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命

3、題。如何判斷一個(gè)語句是不是命題？判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵看這語句是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假” 這兩個(gè)基本條件。有些語句中含有變量，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假，這樣的語句叫開語句，以后會(huì)專門研究。開語句(1) 7是23的約數(shù)嗎? (2) x5. (3) -2a3。（6） x4。看看下列語句是不是命題？不是（疑問句）不是（疑問句）不是（感嘆句） 是 是 不是 例1. 下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù);(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(4)若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行;(5) ;(6) x1

4、5.真命題真命題假命題假命題上面(2)(4)具有“若p,則q”的形式.本章中我們只討論這種形式.“若p,則q”也可寫成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論.記做:（不是命題）（不是命題） 命題“若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)。”具有“若p則q”的形式。 qp通常,我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件, q叫做命題的結(jié)論。“若p則q”形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式, 也可寫成“如果p,那么q” ，“只要p,就有q”等形式。其中p和q可以是命題也可以不是命題.“若p則q”形式的命題的優(yōu)點(diǎn)是條件與結(jié)論容易辨別, 缺點(diǎn)是太格式化且不靈活.“若p

5、則q”形式的命題例2 指出下列命題的條件p和結(jié)論q： （1）若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù)； （2）若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直且平分 解：(1) 條件p：整數(shù)a能被2整除， 結(jié)論q：整數(shù)a 是偶數(shù)。 (2) 寫成若p，則q 的形式：若四邊形是菱形， 則它的對角線互相垂直且平分。 條件p：四邊形是菱形， 結(jié)論q：四邊形的對角線互相垂直且平分。 數(shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式,例如“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，但是把它的形式作適當(dāng)改變，就可以寫成“若p，則q”的形式： 若兩個(gè)平面垂直于同一條直線， 則這兩個(gè)平面平行這樣，它的條件和結(jié)論就很清楚了 “若p則q”形式

6、的命題的書寫例3. 將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假:（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；若兩條直線垂直于同一直線，則這兩條直線平行。假（2） 負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù);（3） 對頂角相等.若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等。真真例3. 將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假:（4）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（5）兩個(gè)全等三角形的面積相等；（6） 3能被2整除；若兩個(gè)平面垂直于同一直線，則這兩個(gè)平面平行。若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等。若一個(gè)數(shù)是3，則這個(gè)數(shù)能被2整除。真假真習(xí)題：課本P 2. 判斷下列命題的真假：（1）

7、能被6整除的整數(shù)一定能被3整除；（2）若一個(gè)四邊形的四條邊相等， 則這個(gè)四邊形是正方形；（3）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；（4）兩個(gè)內(nèi)角等于450 的三角形 是等腰三角形（真命題）（真命題）（真命題）（假命題）3把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷它們的真假：（1）等腰三角形兩腰的中線相等；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；（3）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行解：（1）若一個(gè)三角形是等腰三角形，則該三角形 的兩腰上的中線相等, 它是真命題;（2）若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于 y軸對稱, 它是真命題;（3）若兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面， 則這兩個(gè)平面平行, 它是假命題.練習(xí)將命題“a0

8、時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加” 改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假。解: a0時(shí)，若x增加，則函數(shù)y=ax+b 的值也隨之增加，它是真命題 在本題中，a0是大前提，應(yīng)單獨(dú)給出，不能把大前提也放在命題的條件部分內(nèi)2. 設(shè)有兩個(gè)命題：p：|x|+|x-1|m的解集為R; q：函數(shù)f(x)= - (7-3m)x 是減函數(shù)， 若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)真命題， 求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：若命題p為真命題，則m1； 若命題q為真命題，則7-3m1,即m2.當(dāng)p真q假時(shí)，當(dāng)p假q真時(shí)， 故m取值范圍是1m2.變式：小 結(jié).2 四種命題思 考： 下列四個(gè)命題中，命題（）與命題（）（）（）

9、的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？（）若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)；（）若f (x) 是周期函數(shù)，則f (x) 是正弦函數(shù)；（）若f (x) 不是正弦函數(shù)，則f (x) 不是周期函數(shù)；（）若f (x) 不是周期函數(shù)，則f (x) 不是正弦函數(shù)；思 考 下列四個(gè)命題中，命題（）與命題（）的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （）若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)； （）若f (x) 是周期函數(shù)，則f (x) 是正弦函數(shù)；特點(diǎn)：條件和結(jié)論互換了 一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題其中一個(gè)命

10、題叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題 即若將原命題表示為：若p，則q 則它的逆命題為：若q，則p 即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題例：給出命題“同位角相等，兩直線平行”寫出其逆命題 分析: 條件: 同位角相等; 結(jié)論：兩直線平行(原命題)條件: 兩直線平行; 結(jié)論: 同位角相等(逆命題)其逆命題：兩條直線平行，同位角相等探究：如果原命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？ 例1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等例2若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)； 逆命題：三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形逆命題：若f (x) 是周期函數(shù)，則f (x) 是正弦函數(shù) （真命題）（真命題）（假命題

11、）（真命題）原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題思考下列四個(gè)命題中，命題（）與命題（3）的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （）若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)；（ 3）若f (x) 不是正弦函數(shù)，則f (x)不 是周期函數(shù)；特點(diǎn)：將條件和結(jié)論同時(shí)否定了 一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的的否命題 即若將原命題表示為：若p，則q 則它的否命題為： 若p，則q.即同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命題.例：寫出命題“同位角相等，兩直線平

12、行” 的否命題. 條件: 同位角不相等; 結(jié)論: 兩直線不平行(否命題)分析: 條件: 同位角相等; 結(jié)論：兩直線平行(原命題)否命題：同位角不相等，兩直線不平行.分析: 條件：整數(shù)a不能被整除 ; 結(jié)論：a是奇數(shù)(原命題)例：寫出命題“若整數(shù)a不能被整除， 則a是奇數(shù)”的否命題. 條件：整數(shù)a能被整除 ; 結(jié)論：a不是奇數(shù)(否命題)否命題：若整數(shù)a能被整除，則a是偶數(shù).探究：如果原命題是真命題，那么它的 否命題一定是真命題嗎？ 否命題：同位角不相等，兩直線不平行.例1.原命題：同位角相等，兩直線平行.例2.原命題：若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù).否命題：若f (x) 不是

13、正弦函數(shù)，則f (x)不 是周期函數(shù).（真命題）（真命題）（真命題）（假命題）原命題是真命題，它的否命題不一定是真命題.思 考: 下列四個(gè)命題中，命題（）與命題（4）的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （） 若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)； （） 若f (x) 不是周期函數(shù)，則f (x)不 是正弦函數(shù)；特點(diǎn)：交換原命題的條件和結(jié)論， 并且同時(shí)否定了 一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的的逆否命題 即若將原命題表示為：若p，則q, 則它的逆否命題為：

14、若q，則p. 即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，則得其逆否命題.例：寫出命題“同位角相等，兩直線平行” 的逆否命題. 分析: 條件: 同位角相等; 結(jié)論：兩直線平行(原命題)條件: 兩直線不平行; 結(jié)論: 同位角不相等(逆否命題)其逆否命題：兩直線不平行，同位角不相等.探究：如果原命題是真命題，那么它 的逆否命題一定是真命題嗎？ 例1.原命題：同位角相等，兩直線平行. 逆否命題：兩直線不平行，同位角不相等.例2.原命題：f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)；若逆否命題：f (x) 不是周期函數(shù)，則f (x)不 是正弦函數(shù)；（真命題）（真命題）（真命題）（真命題）原命題是真命題

15、，它的逆否命題一定是真命題.四種命題的概念與表示形式，即如果原命題為：若p，則q，則它的： 逆命題為：若q，則p，即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題. 否命題為：若p，則q，即同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命題. 逆否命題為：若q，則p，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，則得其逆否命題.總 結(jié)練習(xí)：6 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假： （1）若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0， 則這個(gè)整數(shù)能被5整除； （2）若一個(gè)三角形的兩條邊相等， 則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等； （3）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.補(bǔ) 充 題： 寫出命題“若 xy= 0, 則 x = 0或 y = 0

16、”的逆命題、否命題、逆否命題.解：逆命題：若 x = 0或 y = 0,則 xy = 0; 否命題：若 xy 0 ,則 x 0且 y 0; 逆否命題：若 x 0且 y 0 , 則 xy0. 1.命題的概念，如何判斷命題？2.四種命題的概念及其形式， 怎樣寫出一個(gè)簡單的命題 （原命題）的逆命題、 否命題、逆否命題小 結(jié)：.3 四種命題間 的相互關(guān)系（）若f (x) 是正弦函數(shù)，則f (x) 是周期函數(shù)；（）若f (x) 是周期函數(shù)，則f (x) 是正弦函數(shù)；（）若f (x) 不是正弦函數(shù)，則f (x) 不是周期函數(shù)；（）若f (x) 不是周期函數(shù)，則f (x) 不是正弦函數(shù)；pqqppqpq 我

17、們已經(jīng)知道命題(1)與命題(2)(3)(4)之間的關(guān)系你能說出其中任意兩個(gè)命題之間的相互關(guān)系嗎？原命題逆命題否命題逆否命題思考?四種命題之間的關(guān)系總結(jié)原命題若p則q逆命題若q則p否命題若 p則 q逆否命題若 q則p互為逆否 同真同假互為逆否 同真同假互逆命題 真假無關(guān)互逆命題 真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)例1 “若x2+y20，則x，y至少有一個(gè)不為0”是命題A的否命題，寫出命題A及其逆命題、逆否命題并判斷它們的真假。解：命題A:若x2+y2=0，則x，y全都為0； 逆命題：若x，y全都為0，則x2+y2=0； 逆否命題：若x，y至少有一個(gè)不為0，則x2+y20 否命題逆命題互為

18、逆否思考：四種命題的真假性是否也有一定的相互關(guān)系呢？真真真知識(shí)探究 例2.原命題：“若x23x20，則x2”，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x23x20，則x2；逆命題：若x2，則x23x20；否命題：若x23x20，則x2；逆否命題：若x2，則x23x20.（假）（假）（真）（真）知識(shí)探究 例3.已知原命題：“若x0，y0，則xy0”，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x0，y0，則xy0； 逆命題：若xy0，則x0，y0； 否命題：若x0，y0，則xy0； 逆否命題：若xy0，則x0，y0. （假） （假） （

19、假） （假） 知識(shí)探究原命題逆命題否命題逆否命題 一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:思考? 通過我們做過的例題和練習(xí)題，你能從中發(fā)現(xiàn)四種命題的真假性間有什么規(guī)律嗎？真真真真真假假假假假假假假真真真 四種命題的真假性之間的關(guān)系：(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.例4. 證明：若x2+y2=0，則x=y=0.證明：若x，y中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)x0， 則x20，所以x2+y2 0， 也就是說x2+y2 0. 因此，原命題的逆否命題為真命題， 從而原命題為真命題.分析:因?yàn)樵}和它的逆否命題有相同的真假性， 所

20、以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難的時(shí)， 可以通過證明它的逆否命題:若x，y中至少有一 個(gè)不為0，則x2+y2 0. 為真命題，來間接證明原命題為真命題。證明：若a-b=1，則 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2a-4b-3 =a+b+2a-4b-3 =3a-3b-3=3(a-b)-3 =31-3=0 所以原命題的逆否命題為真命題， 所以原命題也為真命題。P8 練習(xí)反證法欲證“若p,則q”為真命題，從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而“非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法。反證法的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

21、(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.證明命題的方法方法一：直接法，從命題的條件p出發(fā)，經(jīng)推理直接得出結(jié)論p，證明其為真命題；方法二：等價(jià)法，證明命題（若p，則q）的等價(jià)命題逆否命題（若q，則q）為真，則原命題也為真；方法三：反證法，證明命題的否定（若p，則q）為假命題，從而間接地證明了命題（若p，則q）為真命題。原詞語 否定詞 原詞語 否定詞 等于任意的是 至少有一個(gè) 都是 至多有一個(gè) 大于 至少有n個(gè) 小于 至多有n個(gè) 一些常見的結(jié)論的否定形式 不是不都是不大于大于或等于一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n-1)個(gè)至少有（n+1)個(gè)不等于某個(gè)用反證法證明：“上帝不是萬能的”證明：假設(shè)上帝是萬能的，那么上帝能 造出一塊他自己都舉不動(dòng)的石頭， 否則上帝