數(shù)學(xué)建模方法

1、1.數(shù)學(xué)建模概論 數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model） 是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題 本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃，它或 能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling） 應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。 （1）.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 例（萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn) ） 十五世紀(jì)中期 ，哥白尼 提出了震驚世界的 日心說(shuō)。丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué) 家第谷花了二十多年時(shí)間 觀察紀(jì)錄下了當(dāng) 時(shí)已發(fā)現(xiàn)的五大 行星的運(yùn)動(dòng)情況 。第谷的學(xué)生和助手 開普勒對(duì)這些資料

2、進(jìn)行了九年時(shí)間的分 析計(jì)算后 得出著名的Kepler三定律。牛頓根據(jù)開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即 萬(wàn)有引力定律。1.行星軌道是一 個(gè)橢圓，太 太陽(yáng)位于此橢圓的一個(gè)焦 點(diǎn)上。 2.行星在單位時(shí)間內(nèi) 掃過(guò)的 面積不變。3.行星運(yùn)行周期的平方正比 于橢圓長(zhǎng)半軸的三次方 ， 比例系數(shù)不隨行星而 改變 （絕對(duì)常數(shù)）開普勒三大定律 這其中必 定是某一 力學(xué)規(guī)律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如圖，有橢圓方程 :矢徑所掃過(guò)的面 積A的微分為:由開普勒第二定 律:常數(shù)立即得出:即:橢圓面積由此得出常數(shù)簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下：行星r太陽(yáng)我們還需算出行星的加速度，為此需要建立 兩種 不同的

3、坐標(biāo)架。第一個(gè)是固定的，以太陽(yáng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿長(zhǎng)軸方向的單位向量記 為i,沿短軸方向的單位向量記 為j，于是：進(jìn)而有 加速度以行星為坐標(biāo)原點(diǎn)建立活動(dòng)架標(biāo)，其兩個(gè)正交的單位向量分別是因此得出由于也就是說(shuō)行星的加速度為由開普勒第三定律知為常數(shù)。若記那么就導(dǎo)出著名的 萬(wàn)有引力定律：再將橢圓方程 兩邊微分兩次，得將前面得到的結(jié)果和焦參數(shù)代入，即得 1.了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。 2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì) 算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。 3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之

4、間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 即建立數(shù)學(xué)模型。 4.模型求解。 5.模型的分析與檢驗(yàn)。 在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助 計(jì)算機(jī) 求出數(shù)值解。 （2）.數(shù)學(xué)建模的一般步驟實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用 （3）. 數(shù)學(xué)模型的分類分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際范疇人口模型、生 態(tài)系統(tǒng)模型 、交通流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、 基因模型等 開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué) 生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí) 解決實(shí)際問(wèn)

5、題的本領(lǐng)。數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的 每一步中都 蘊(yùn)含著能力上的 鍛煉，在調(diào)查研究階段，需 要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè) 時(shí)，又需要用到 想象力和歸納 簡(jiǎn)化能力。 在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工 作成為別人研究工作 的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間 內(nèi)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。 還需要你多少要有點(diǎn) 創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來(lái)就有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。 （4）. 數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng) 近幾年，我校學(xué)生在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模

6、競(jìng)賽中取得了非常出色的成績(jī)，奪得國(guó)家二等獎(jiǎng)4項(xiàng)、省一等獎(jiǎng)16項(xiàng)、省二、三等獎(jiǎng)多項(xiàng)。例1 某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？ （5）. 一些簡(jiǎn)單實(shí)例 似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘

7、到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。 請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè) ？例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。分析 本題多少 有點(diǎn)象 數(shù)學(xué)中 解的存在 性條件 及證明，當(dāng) 然 ，這里的情況要簡(jiǎn)單得多。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。 （請(qǐng)自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明） 例3 餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這

8、樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會(huì)燙手，但也不能太低，否則洗不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴降卓梢韵炊嗌俦P子，請(qǐng)你幫他建模分析一下這一問(wèn)題。盤子有大小嗎 ?是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的 ? 不妨假設(shè)我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時(shí)先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后 一清洗。 不難看出，是水 的溫度在決 定洗盤子的數(shù)量 。盤子是先用冷水洗過(guò)的，其后可能還會(huì)再用清水沖洗，更換熱水并非因?yàn)樗K了，而是因?yàn)?水不夠熱了。 那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假如你想建一個(gè)較精細(xì)的模型，你當(dāng)然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原意

9、只是想了解一下一池?zé)崴骄蠹s可以洗多少盤子， 殺雞 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 簡(jiǎn)化假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮 盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為T1，最終換水時(shí)的溫度為 T2（4）每個(gè)盤子的洗滌時(shí)間 T是一個(gè)常數(shù)。（這一假設(shè)甚至可以去掉 不要）根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。 可見 ，假設(shè)條件 的提出不 僅和你 研究的問(wèn)題 有關(guān)，還和 你準(zhǔn)備利用哪些知 識(shí) 、準(zhǔn)備建立什么樣的模型以及你準(zhǔn)

10、備研究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時(shí)，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。 2.初等模型 某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。 (1). 艦艇的會(huì)合令：則上式可簡(jiǎn)記成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 護(hù)衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 （護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 (2) 雙層玻璃的功效在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層玻

11、璃的，現(xiàn)在我們來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過(guò)單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式 =kT/d 解得：此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有 一般故記h=l/d并令f(h)= 01234567891000.10.20.3

12、0.40.50.60.70.80.91hf(h)考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過(guò)大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過(guò)單層玻璃窗時(shí)的 3% 。 (3) 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過(guò)微積分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，

13、對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此