數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程ch6

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程第六章主講教師：陳立萍北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。它研究如何以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出正確的推斷和預(yù)測(cè)，為采取正確的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。第六章 樣本及抽樣分布6.1 引言 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出其規(guī)律性，因而從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀察，隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性就一定能夠清楚地呈現(xiàn)出來(lái)。 但是，客觀上只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察或試驗(yàn)，也就是說(shuō)：我們獲得的只能是局部的或有限的觀察資料

2、。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究 “如何有效地收集、整理和分析所獲得的有限資料，并對(duì)所研究的問(wèn)題盡可能地給出精確而可靠的推斷”。 現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法。 因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的。概括起來(lái)可以歸納成兩大類。 參數(shù)估計(jì): 根據(jù)數(shù)據(jù)，對(duì)分布中的未知參數(shù) 進(jìn)行估計(jì)； 假設(shè)檢驗(yàn): 根據(jù)數(shù)據(jù)，對(duì)分布的未知參數(shù)的 某種假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式，這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個(gè)分支。6.2 總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱研究問(wèn)題所涉及對(duì)象的全體為總體，總體中的每個(gè)成員為個(gè)體。 例如: 研究某工廠生產(chǎn)的某

3、種產(chǎn)品的廢品率，則這種產(chǎn)品的全體就是總體，而每件產(chǎn)品都是一個(gè)個(gè)體。6.2.1 總體、個(gè)體與樣本 實(shí)際上，我們真正關(guān)心的并不一定是總體或個(gè)體本身，而真正關(guān)心的是總體或個(gè)體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 如：某電子產(chǎn)品的使用壽命，某天的最高氣溫，加工出來(lái)的某零件的長(zhǎng)度等數(shù)量指標(biāo)。因此，有時(shí)也將總體理解為那些研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體。 為評(píng)價(jià)某種產(chǎn)品質(zhì)量的好壞，通常的做法是：從全部產(chǎn)品中隨機(jī)(任意)地抽取一些樣品進(jìn)行觀測(cè)(檢測(cè))，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱這些樣品為一個(gè)樣本。 同樣,我們也將樣本的數(shù)量指標(biāo)稱為樣本。因此，今后當(dāng)我們說(shuō)到總體及樣本時(shí)，既指研究對(duì)象又指它們的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。例1：研究某地區(qū) N 個(gè)農(nóng)戶的年收人。 在

4、這里，總體既指這 N 個(gè)農(nóng)戶，又指我們所關(guān)心的 N個(gè)農(nóng)戶的數(shù)量指標(biāo)他們的年收入( N 個(gè)數(shù)字)。 如果從這 N 個(gè)農(nóng)戶中隨機(jī)地抽出 n 個(gè)農(nóng)戶作為調(diào)查對(duì)象，那么，這 n 個(gè)農(nóng)戶以及他們的數(shù)量指標(biāo)年收入( n個(gè)數(shù)字)就是樣本。 注意：上例中的總體是直觀的，看得見(jiàn)、摸得著的。但是，客觀情況并非總是這樣。例2：用一把尺子測(cè)量一件物體的長(zhǎng)度。 假定 n 次測(cè)量值分別為X1,X2 ,Xn。顯然，在該問(wèn)題中，我們把測(cè)量值X1,X2 ,Xn看成樣本。但總體是什么呢? 事實(shí)上，這里沒(méi)有一個(gè)現(xiàn)實(shí)存在的個(gè)體的集合可以作為上述問(wèn)題的總體?？墒?，我們可以這樣考慮，既然 n 個(gè)測(cè)量值 X1,X2,Xn 是樣本，那么，總

5、體就應(yīng)該理解為一切所有可能的測(cè)量值的全體。又如：為研究某種安眠藥的藥效，讓 n 個(gè)病人同時(shí)服用這種藥，記錄服藥者各自服藥后的睡眠時(shí)間比未服藥時(shí)增加睡眠的小時(shí)數(shù) X1,X2,Xn，則這些數(shù)字就是樣本。 那么，什么是總體呢? 設(shè)想讓某個(gè)地區(qū)(或某國(guó)家，甚至全世界)所有患失眠癥的病人都服用此藥，則他們所增加睡眠的小時(shí)數(shù)之全體就是研究問(wèn)題的總體。 對(duì)一個(gè)總體，如果用X表示其數(shù)量指標(biāo)，那么，X的值對(duì)不同的個(gè)體就取不同的值。因此，如果我們隨機(jī)地抽取個(gè)體，則X的值也就隨著抽取個(gè)體的不同而不同。 所以，X是一個(gè)隨機(jī)變量! 既然總體是隨機(jī)變量X，自然就有其概率分布。我們把X的分布稱為總體分布。 總體的特性是由總

6、體分布來(lái)刻畫(huà)的。因此，常把總體和總體分布視為同義語(yǔ)。.6.2.2 總體分布例 3 (例 l 續(xù))：在例 l中，若農(nóng)戶年收入以萬(wàn)元計(jì)，假定 N戶的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的戶數(shù)分別n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。則X為離散型分布，分布律為:例4 ( 例2續(xù) )：在例2中，假定物體真實(shí)長(zhǎng)度為(未知)。一般說(shuō)來(lái)，測(cè)量值X就是總體，取 附近值的概率要大一些，而離 越遠(yuǎn)的值被取到的概率就越小。 如果測(cè)量過(guò)程沒(méi)有系統(tǒng)性誤差，則X取大于 和小于 的概率也會(huì)相等。 在這種情況下，人們往往認(rèn)為X 服從均值為，方差為2

7、的正態(tài)分布。2反映了測(cè)量的精度。于是，總體X的分布為 N(,2)。 說(shuō)明：這里有一個(gè)問(wèn)題，即物體長(zhǎng)度的測(cè)量值總是在其真值 的附近，它不可能取負(fù)值。 而正態(tài)分布取值在(-,)上。那么，怎么可以認(rèn)為測(cè)量值X服從正態(tài)分布呢? 回答這個(gè)問(wèn)題，有如下兩方面的理由。(1).在前面講過(guò)，對(duì)于XN(,2)， P-3X0，當(dāng)樣本大小 n 增大時(shí)，上面的概率也隨之增大；n 趨于無(wú)窮時(shí)，上式趨近于 1。任給c 0，總有例1：用機(jī)器向瓶子里灌裝液體洗滌劑，規(guī)定每瓶裝 毫升。但實(shí)際灌裝量總有一定波動(dòng)。假定灌裝量的方差 2=1，如果每箱裝這樣的洗滌劑 25 瓶。求這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標(biāo)定值 相差不超過(guò)0.3毫

8、升的概率；又如果每箱裝50瓶時(shí)呢?解：記一箱中 25 瓶洗凈劑灌裝量為 X1,X2, X25 是來(lái)自均值為 , 方差為1的總體的隨機(jī)樣本。根據(jù)抽樣分布定理1，近似地有 當(dāng) n=50時(shí)，同樣可算出：6.4 正態(tài)總體6.4.1 2 分布它是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布。 定義1: 設(shè) X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱隨機(jī)變量服從自由度為 n 的卡方分布，記成 。 分布的密度函數(shù)為由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)： 進(jìn)一步，由中心極限定理可以推出, n 充分大時(shí),近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。分布密度函數(shù)圖形n2 分布上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表4。對(duì)

9、于給定的 (0,1), 稱滿足條件的點(diǎn) n2()為 n2分布的上(右) 分位點(diǎn)。分布分位點(diǎn)t 分布的概率密度為為服從自由度 n 的 t 分布，記為 T tn。6.4.2 t 分布 定義2: 設(shè) X N(0, 1) , Y n2 , 且 X與Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量t 分布的概率密度圖形當(dāng) n 充分大時(shí)，f (x; n) 趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度。 數(shù)學(xué)期望與方差若 T tn , 對(duì)給定的 (0,1)，稱滿足條件t 分布的分位點(diǎn)的點(diǎn) tn()為 tn 分布上 分位點(diǎn)。t 分布的上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表3。 tn 分布上 分位點(diǎn)示意圖6.4.3 F 分布 則稱 F =(X/m)/(Y/n)

10、服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記成 F Fm ,n 。定義3：F 分布的概率密度為 若 FFm, n，對(duì)給定的 (0,1), 稱滿足條件F 分布的分位點(diǎn)的點(diǎn) Fm,n()為F分布的上 分位點(diǎn)。.F 分布上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表5。 F 分布上 分位點(diǎn)示意圖 一個(gè)需要注意的問(wèn)題:這個(gè)關(guān)系式的證明如下：證明：若 X Fm,n，則 Y = X -1 Fn,m。依分位點(diǎn)定義，上式等價(jià)于再根據(jù) Y ( Fn,m ) 的上 分位點(diǎn)定義，有這就證明了(1)式。 在通常 F 分布表中，只對(duì) 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點(diǎn)。但有時(shí)我們也需要知道

11、 比較大的分位點(diǎn)，它們?cè)?F 分布表中查不到。這時(shí)我們就可利用分位點(diǎn)的關(guān)系式(1)把它們計(jì)算出來(lái)。 例如：對(duì)m=12, n=9, =0.95, 我們?cè)?F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知可從F 分布 表中查到 還有一個(gè)重要結(jié)果: 若X tn , 則X2 F1,n。 請(qǐng)同學(xué)們自己證明。定理 1：6.4.4 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布 定理的證明超出了教學(xué)范圍，在此，我們不作證明。 定理的內(nèi)容在后面幾章的討論中將多次用到，希望大家牢記。例1：設(shè)某物體的實(shí)際重量為(未知),現(xiàn)在用一臺(tái)天平稱量它,共稱 n 次,得到X1,X2,Xn。假設(shè)每次稱量過(guò)程彼此獨(dú)立,且無(wú)系統(tǒng)誤差, 則可認(rèn)為這些測(cè)量值獨(dú)立同分布, 均服從正態(tài)分布N(,2),方差2反映了天平及測(cè)量過(guò)程的總精度。我們通常用樣本均值根據(jù)定理1(基本定理),有再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)(見(jiàn)p110,例4.2.6),知例如：當(dāng) = 0.1 時(shí)，也就是說(shuō)：我們的估計(jì)值 與真值 的偏差不超過(guò) 的概率約為 99.74%, 并且隨稱量次數(shù) n 的增加，偏差界限 將越來(lái)越小。若取 n