2023版高三一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件（新高考人教版）：第2章　第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第三講函數(shù)的奇偶性與周期性知識(shí)梳理雙基自測(cè)考點(diǎn)突破互動(dòng)探究名師講壇素養(yǎng)提升知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有_，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有_，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于_對(duì)稱關(guān)于_對(duì)稱f(x)f(x)f(x)f(x)y軸原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有_，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_，那么這個(gè)_就叫做f(x)的最小正周期f(xT)f(

2、x)最小的正數(shù)最小正數(shù)題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)0.()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱()04(必修1P85T1改編)若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)yf(x)圖象上的是()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，f(a)f(a)即點(diǎn)(a，f(a)一定在函數(shù)yf(x)的圖象上B5(必修1P87T12改編)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則它在b，

3、a上是_函數(shù)；若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則它在b，a上是_函數(shù)6(必修1P86T11改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)log4(x23)，則f(2 023)_.減減1B4考點(diǎn)突破互動(dòng)探究例1考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性分析先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域內(nèi)，解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先化簡(jiǎn)，計(jì)算f(x)，再判斷f(x)與f(x)之間的關(guān)系抽象函數(shù)常用賦值法判斷(3)函數(shù)的定義域x(，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函數(shù)(4)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)

4、x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)(6)已知對(duì)任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x0，y0，則有2f(0)2f(0)2，因?yàn)閒(0)0，所以f(0)1.取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)又yR，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性的方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，再判斷f(x)是否等于f(x)或f(x)，據(jù)此得出結(jié)論(2)圖象法：奇(

5、偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱(3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)例2例3BA1求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式；2求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解對(duì)于在x0處有定義

6、的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)0求解變式訓(xùn)練1(1)(角度1)將例2中“函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)”改為“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且定義域?yàn)閤R|x0”，則f(x)的解析式為_.(2)(角度2)(2019北京，13，5分)設(shè)函數(shù)f(x)exaex(a為常數(shù))若f(x)為奇函數(shù)，則a_.1解析(1)f(x)exaex為奇函數(shù)，f(x)f(x)0，即exaexexaex0，(a1)(exex)0，a1.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0，2)時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)求f(2)的值；(3)當(dāng)x(2，4時(shí)，求f(x)的解

7、析式；(4)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 023)例4考點(diǎn)二函數(shù)的周期性自主練透解析(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)f(2)f(02)f(0)0.(3)當(dāng)x(2，0時(shí)，x0，2)，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又當(dāng)x(2，4時(shí)，x4(2，0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.即當(dāng)x(2，4時(shí)，f(x)x26x8.(4)f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1，且f(x)

8、是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 020)f(2 021)f(2 012)f(2 023)0.f(0)f(1)f(2)f(2 021)f(2 022)f(2 023)0.答案(1)證明見解析(2)0(3)f(x)x26x8，x2，4(4)0高考中對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問題解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在有定義的范圍內(nèi)進(jìn)行求解角度1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且f(2)0，則滿足f(x)0

9、的取值范圍是()A(，2B0，2C(，20，2D(，22，)例5考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用多維探究C解析由已知得圖象，故選C引申1若將“奇函數(shù)”改為偶函數(shù)，則結(jié)果為_.解析如圖D引申2若將例5中不等式改為xf(x1)0呢？結(jié)果為_. 1，01，3角度2奇偶性與周期性結(jié)合已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f(2x)f(x)，則f(x)的周期為()A2B1C2D3例6C解析f(2x)f(x)，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(x)f(x2)，又f(x)f(x)，f(x2)f(x)T2.角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)且在區(qū)間0，2上

10、是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)例7D解析因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解

11、題策略1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性2周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解3周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解B(2)(角度2)(2018課標(biāo)全國)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)，若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50CD(2)f(x)是奇函數(shù)，且f(1x)f(1x)，f(1x)f(1x)f(x1)，f(0)0，則f(x

12、2)f(x)，則f(x4)f(x2)f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)f(0)0，則f(1)f(2)f(3)f(4)20200，則f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)f(1)f(2)202，故選C名師講壇素養(yǎng)提升例8解析解法1：對(duì)于任意xR，都有f(x6)f(x)f(3)成立，令x3，則f(36)f(3)f(3)，又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)0.所以f(x6)f(x)，所以f(x)的周期為6，又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期為6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直線x6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，故正確解法2：圖象法函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題變式訓(xùn)練3已知f(x)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x3對(duì)稱，且f(x3)f(x3)，若當(dāng)x0，3時(shí)，f(x)2x1，則下列結(jié)論正確的是_.(填序號(hào))f(x)為偶函數(shù)；f(x)在6，3上單調(diào)遞減；f(x)關(guān)于直