統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見(jiàn)分布的應(yīng)用

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見(jiàn)分布的應(yīng)用1引言在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常見(jiàn)的分布包括指數(shù)分布，普哇松分布，正態(tài)分布，-分布，1 分 布，F(xiàn)-分布.這些常見(jiàn)分布的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題是在口常生產(chǎn)生活中我們 常用到的問(wèn)題，在大部分的文獻(xiàn)資料中對(duì)正態(tài)分布的這一問(wèn)題討論較多，本文將就其它五個(gè) 常見(jiàn)分布的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的介紹.其中包括這五種分布的密度函 數(shù)、性質(zhì)及其在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用.2五中常見(jiàn)分布的定義及其相關(guān)性質(zhì)2.1 /-分布定義1匕少 稱(chēng)隨機(jī)變量X服從,2 -分布，自由度為，如果它有密度函數(shù)12-1 -三,x2 e 2x02r(-)fx (x) = v 2.0 x0性質(zhì) 假設(shè)獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

2、，則隨機(jī)變量X = Xf+ X：+ +X：服從一分布，自由度等于.2.2，一分布定義2舊或 稱(chēng)隨機(jī)變量X服從分布，自由度為，如果它有密度函數(shù)L/ + 1(；一)一史fX () = (1+)2,(-SX 0 x (/? + nix)畦，勺fx (x) = Y2 2x0L 0 ,x0為常數(shù)，這種分布叫作指數(shù)分布.顯然，我們有匚用=Aedx = -。汽廣=1指數(shù)分布含有一個(gè)參數(shù)人，通常把這分種分布記作e(/l).如果隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布 e以)，則記為X。以)，因?yàn)閼?hù)(X) = Pg X02. 5普哇松分布定義513J(?m)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從普哇松分布，如果參數(shù)為人0,記作P(k,/),且易于驗(yàn)證

3、有1) P(X =Q0M = 0,1,2,;普哇松定理國(guó)*制 在重貝努里試驗(yàn)中，事件A在一定試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(與試驗(yàn)總數(shù)有關(guān))，如果當(dāng)時(shí)，嘰 *(A0常數(shù))，則有hm b(k;n, pn) = -eA, (k = 0,1,2,)k!(普哇松定理可以用作近似計(jì)算和理論上服從普哇松分布的實(shí)例的計(jì)算).普哇松分布的期望： E(X) =人,方差：D(X) = 2即期望和方差相等.3常見(jiàn)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用3.1，一分布的應(yīng)用3. 1.1，一分布在參數(shù)區(qū)間估計(jì)上的應(yīng)用設(shè)XN(, W) q未知，那么#的置信度為(1 Q)的置信區(qū)間為t可查/（/? -1）分布表，事實(shí)上，由rO.XNQ/,）n可知M

4、N（O，1）而1_ 2B（x,_x）/（1）再由一分布的性質(zhì)，有支（X,彳咯一1）時(shí) 1）/=! /十FT從而對(duì)于給定的。（0 v。 1）有I s/J? -t a = i-a （r Q待查） s =1-6ZX - a i= V X + a由此得，的置信度為的置信區(qū)間為是自由度為-1的分布之平雙側(cè)分位數(shù).例 從一批產(chǎn)品中隨機(jī)取出20件，并測(cè)量其尺寸，得到下.列20個(gè)數(shù)據(jù)：31.44 31.4431.72 31.04 31.48 32.22 31.17 31.58 31.87 31.88 31.98 31.6831.8731.62 31.96 31.88 31.29 31.12 31.73 31.

5、49假設(shè)在正常條件下，產(chǎn)品尺寸X服從正態(tài)分布NU【,S）,上面的數(shù)據(jù)是對(duì)X的觀(guān)測(cè)值.求：1）求參數(shù)和b，的字樣均值京和子樣方差尸？2）求參數(shù)的置信度為1一。的置信區(qū)間？（a = 0.05）解1）參數(shù)“和b?的點(diǎn)估計(jì)值為京和SJ計(jì)算結(jié)果如下：X = 31.6730 , $2 =0.0966, 5 = 0.3108.2）選?。? = 0.05.對(duì)于a = 0.05,自由度為20-1 = 19, 2/（19） 一分布得 、_(X-2.09 + 2.09 s (X 2.09，Xf0”5 =2.09 ,由上面的結(jié)論的l-a = 0.95置信區(qū)間為X = 31.6730 ， S = 0.3108, = 2

6、0計(jì)算得“的0.95得置信區(qū)間是（31.527831.8182）3.1.2 1 分布在假設(shè)檢驗(yàn)上的應(yīng)用設(shè)總體XNQ1,S）,未知方差，檢驗(yàn)假設(shè)H。： = 0，乩：。0，（檢驗(yàn)法）對(duì)于顯著性水平。（0 v a 51=。，是自由度為- 1的分布之。水平雙側(cè)分位數(shù)，假設(shè)化之。水平的拒絕域是 為 + tan_l 茶 ,接受域是（以o _字 X 為 +j.例 某種中藥飲片中成分A的含量規(guī)定為10%,現(xiàn)在抽驗(yàn)了該藥物一批成品中的五個(gè) 片劑，測(cè)得其中成分A的含量分別為：0.1090 0.0945 0.1038 0.0961 0.0992假 設(shè)該藥物中成分A的含量X服從正態(tài)分布，問(wèn)在5%的顯著性水平下，抽驗(yàn)結(jié)

7、果是否與片 劑中成分A的含量為10%要求相符？解 假設(shè)該批藥中成分A的含量X服從正態(tài)分布NW,S），其中/和O-2均為未知常 數(shù).基本假設(shè)=0.1000 （成份A的平均含量與要求相符）給定顯著性水平a = 0.05, = 5,查，09”雙側(cè)分位數(shù)得將* =2.78假設(shè)“ = 0.1000之0.05-水平 的否定域是V = （x 0.1073 計(jì)算X =0.1005故不能否定假設(shè)H。： = 0.1,因此抽驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明該藥中A的含量合格.另：還可以用，一檢驗(yàn)法檢驗(yàn)：未知bf及b；,=假設(shè)檢驗(yàn)= /A, Hk：其中隨機(jī)變量X隨機(jī)變量YNQ、S）取統(tǒng)計(jì)量,X - YI叩一2）-t = /=一-傾 + s

8、 2）V % + n2對(duì)于給定的顯著性水平。查+2 -2）-分布表，然后計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，即可做出推斷.3.2分布的應(yīng)用設(shè)xN（y）未知條件下的假設(shè)檢驗(yàn)在未知均值時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)H=勇取統(tǒng)計(jì)量i(x頂對(duì)土 = _;% %其中 1 S：=一(X,. x)2 i=i在H0.a2 =成立時(shí)，亍服從自由度為一 1的一分布.對(duì)于給定的顯著性水平。，查自由度為一 1的-分布表求值使得滿(mǎn)足p(x2A2=y. p(x2A=y, 匕kL乙即是得拒絕域：U 琮 I A = *1-0/2, 人2 =七2,-1計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值，若x2 eV則拒絕H:S =勇，否則接受=勇.“己知條件下的假設(shè)檢驗(yàn)在己知 =0的情形下，檢驗(yàn)假設(shè)Ho

9、：b = b對(duì)于顯著性水平Q(OQ1),選取1統(tǒng)計(jì)量= (%.-/0)2由于X.X,X，獨(dú)立同正態(tài)分布，所以KXp?)， (=1為自由度.假設(shè)的否定域：對(duì)于給定的顯著性水平。和自由度，有 圮g= p* 2 琮= y其中g(shù)T，臨2心是/一分布上側(cè)分位數(shù)，因此， 墓q “- 就是假設(shè)H。的。-水平的否定域.323 /己知條件下(T2的置信區(qū)間假設(shè)“ = o,其中。為己知數(shù)，那么的(1 。)置信區(qū)間為( - 0)一, (X|-0)-) Xa/2.n 了=1Aj = - = 0.02522由此確定臨界域?yàn)?-s,2.18U17.5,s)根據(jù)樣本觀(guān)測(cè)值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量/的觀(guān)測(cè)值：_162 89X= 287.

10、89, (X, X)2 =162.89 , x2 =8.14,由于8.14 任(一s,2.18U17.5,8)所以認(rèn)為基本假設(shè)H.S =2 0成立.3.3尸-分布的應(yīng)用3. 3.1 F-分布在假設(shè)檢驗(yàn)上的應(yīng)用設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量X和丫，XN(，W), YN(/),而(X,X,X,”)和（匕，匕，匕）分別為來(lái)自X和來(lái)自V的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.在M，外未知的情 況下，基本假設(shè)H。： ？ = /,/： 5。力對(duì)顯著性水平：選取統(tǒng)計(jì)量FTSy其中:syx)2 f 沙成F = S；/S；W l,_l)對(duì)顯著性水平。，由PFA2=PFAl=匕f匕確定4與久可得臨界域：（-8,/lUR,S），九與乙的求

11、法，扁可直接查尸（頃一1）a之水平上側(cè)分位數(shù)九/2(?-1，-1)，由于2 1/F 尸(一 一 1) PF P = 2 A J 2那么=fa/2 (一 1，一 1)，4=1/ 九“( 一 1，一 1)記& = 1/4/2 (- 1,也 _ 1) = fs Q _ 1， _ 1).所以假設(shè)b = %, H： CT豐拒絕域是（-S，4iU|X，8）接受域是以1兀）尸一分布在參數(shù)區(qū)間估計(jì)上的應(yīng)用設(shè)X,X,X是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，X的分布函數(shù)形如x LiF(), -co / 0(JX.,X，X（,）是前尸個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，*=J, y(o = hlllL 其中, =b(J則S(,r)與，b無(wú)關(guān).記S(,

12、r)的a分位點(diǎn)為Sa(n,r),在0 a 1時(shí)P Sa (外 r) S(, r)0為未知參數(shù)，我們有項(xiàng)X) = !，D(X) = *對(duì)于巳給的置信水平1-a,按公式易知不等式即由此解得其中于是有 1AX-l zr插3。剝土？ /2=T(1+izV上式表明：未知參數(shù)4的置信水平為的置信區(qū)間近似為(A2)H： 4 =人。&易知總體X的均值與方差分別是E(x)= 以)=y o(x) = cr2 (2) = &/矛基本假設(shè)當(dāng)樣本容量充分大時(shí)統(tǒng)計(jì)量1時(shí)。X-近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布/v(o,i)由此計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u的觀(guān)測(cè)值得 =uQ,己知顯著性水平 。，查表得臨界值= 。若冏 0未知；是來(lái)自X的簡(jiǎn) 單隨機(jī)抽樣

13、，則總體的均值和方差分別是E(X) =人,D(X) = 2因?yàn)闃颖綳*乂相互獨(dú)立，與總體X服從相同的分布，所以有E(X,) = 2 , D(X.) = 4 , i = 1,2,在充分大的條件下參數(shù)人的近似的置信水平為的置信區(qū)間可以表示為(4，乙)，即2 A2) = P(e 2 du I a ,(注：按中心極限定理)即扁 人可看成是下列二次方程的根:Z2 + （22 4- ） + A2 = 0 ,n其中是樣本容量.或者說(shuō)（41兀）=X lla j=, +Ua r=-2 yjn5 y/n J例 公共汽車(chē)站在一單位時(shí)間內(nèi)（如半小時(shí)或一小時(shí)）到這的乘客數(shù)服從普哇松分布 P（k,才）,對(duì)不同的車(chē)站，所不同的僅僅是參數(shù)九的取值，現(xiàn)對(duì)一城市某一公共汽車(chē)站進(jìn)行 100個(gè)單位時(shí)間的調(diào)查，這里單位時(shí)間是20分鐘，計(jì)算得到20分鐘內(nèi)來(lái)到該車(chē)站的乘客數(shù) 平均值京=15.2人，試求參數(shù)人的置信水平為95%置信區(qū)間？解 n = 100, a = 0.05, ua = i/0025 = 1.96, X = 15.2應(yīng)用公式得X+ua y/n =15.21.96x J15.2/100 = 14.44,15.96即14.44,15.9