線性回歸中的相關(guān)系數(shù)(精選)

1、線性回歸中的相關(guān)系數(shù)山東 胡大波線性回歸問題在生活中應(yīng)用廣泛，求解回歸直線方程時，應(yīng)該先判斷兩個變量是否是線 性相關(guān)，若相關(guān)再求其直線方程，判斷兩個變量有無相關(guān)關(guān)系的一種常用的簡便方法是繪制 散點圖；另外一種方法是量化的檢驗法，即相關(guān)系數(shù)法.下面為同學們介紹相關(guān)系數(shù)法.一、關(guān)于相關(guān)系數(shù)法-x)( y - y)Ex2 -nx2 I統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)的強弱，當七不全為零，為也不 全為零時，則兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式是：E .-2)乙 y2 - nyii=1)r就叫做變量y與x的相關(guān)系數(shù)（簡稱相關(guān)系數(shù)）.說明：（1）對于相關(guān)系數(shù)r，首先值得注意的是它的符號，當r為正

2、數(shù)時，表示變量x， y正相關(guān)；當r為負數(shù)時，表示兩個變量x，y負相關(guān)；（2）另外注意r的大小，如果re0.75，1 ，那么正相關(guān)很強；如果r e -1，- 0.75，那么負相關(guān)很強；如果re （-0.75,-0.30或r e0.30,0.75），那么相關(guān)性一般；如果 r e -0.25，0.25，那么相關(guān)性較弱.下面我們就用相關(guān)系數(shù)法來分析身邊的問題，確定兩個變量是否相關(guān)，并且求出兩個變 量間的回歸直線.二、典型例題剖析例1測得某國10對父子身高（單位：英寸）如下:父親身高（x ）60626465666768707274兒子 身高（y ）63.565.26665.566.967.167.468

3、.370.170（1）對變量y與x進行相關(guān)性檢驗；（2）如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子身高.解:（1） x = 66.8， = 67，Ex2 = 44794，E y 2 = 44929.22，1 = 4475.6，12 = 4462.24， i=1i=12 = 4489，Exy. = 44836.4，i=1所以V -2 乙 y2 - ny i i=144836.4 -10 x 4475.6(44794 - 44622.4)(44929.22 - 44890)80.480.416730.152 82.04(2)設(shè)回歸直線方程為y = a

4、+ bx ,舊x.y. -10 xy:E x2 - 10 x 2i=144836.4 4475644794 44622.4-0.4685,所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.a = y - bx = 67 - 0.4685 x 66.8 = 35.7042 .故所求的回歸直線方程為y = 0.4685x + 35.7042 .(3)當x = 73英寸時，y = 0.4685x73 + 35.7042 = 69.9047 ,所以當父親身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸.點評：回歸直線是對兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的定量描述，利用回歸直線，可以對一些實 際問題進行分析、預(yù)測，由一個變量的變化可

5、以推測出另一個變量的變化.這是此類問題常 見題型.例2 10名同學在高一和高二的數(shù)學成績?nèi)缦卤恚簒74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數(shù)學成績，y為高二數(shù)學成績.y與x是否具有相關(guān)關(guān)系；如果y與x是相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.解：(1)由已知表格中的數(shù)據(jù)，利用計算器進行計算得E x = 710，舊 j. = 723，x = 71， = 72.3，舊xy = 51467 . TOC o 1-5 h z i=1i =1i=1舊 x2 = 50520，舊 y2 = 52541.i=1i=1E x y -10 xyi ir =i=1件 ”-10

6、； 2 YE y2 - 10y j, i=1i=151467 - 71 x 72.3 x 10疽(50520-0.78.-10 x 712)(52541 -10 x 72.32)由于“ 0.78，由0.78 0.75知，有很大的把握認為x與j之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(2) j與x具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線方程為j = a + bx，則舊x j -10 xyb _ ,乙 _ 51467-10 x 71x 72.3 50520 -10 x 712 .，乙 x2 - 10 x2ii _1a _ y - bx _ 72.3 -1.22 x 71 = -14.32 .所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y = 1.22x -14.