線性代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)

1、線性代數(shù)和空間解析幾何是非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，可以看做是高等代數(shù)和 解析幾何的簡化版。其內(nèi)容大概分為八章，以線性代數(shù)內(nèi)容為主，穿插少量解析幾何知識。 全書邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容關(guān)聯(lián)性強，但是缺乏直觀性，對于沒有基礎(chǔ)的大一新生，不免顯得生硬。第一章主要講述行列式相關(guān)內(nèi)容，直接給出了行列式的定義。這一章的 重點內(nèi)容是根據(jù)行列式的定義推出一些性質(zhì)，利用定義推導(dǎo)出行列式運算的一些性質(zhì)，并且 根據(jù)這些性質(zhì)靈活的化簡計算具體的行列式。其實行列式的計算相當(dāng)繁瑣，我們只需要掌握 最基本的一些方法，如構(gòu)造三角行列式（這種方法很重要，矩陣初等變換也要用）、加邊法、 遞推法等等，還有一個重要的范德蒙行列式需要掌握。在章

2、末，給出了克萊姆法則及其在解 方程組時的應(yīng)用，這本來是線性方程組理論內(nèi)容，為了強化行列式的應(yīng)用，放在了第一章介 紹。第二章講述矩陣的基本內(nèi)容，這是全書的核心，而矩陣?yán)碚撘彩钦麄€線性 代數(shù)體系的核心內(nèi)容之一。這一章內(nèi)容很多，而且聯(lián)系復(fù)雜，但以矩陣的逆和秩為中心內(nèi)容。 首先，介紹的是矩陣的基本概念，基本分類和基本運算，對于矩陣的運算，比較重要的是矩 陣與矩陣之間的乘法，這是個新運算，要多加練習(xí)，在此基礎(chǔ)上，還引出了方陣的冪的概念。 然后就開始通過單位矩陣和1的類比，引出矩陣的逆的概念，給出了矩陣逆的性質(zhì)，給出了 判別矩陣是否可逆的充要條件（以后還有很多補充）和求逆矩陣的伴隨矩陣法。接著通過解 線性

3、方程組的一般解法，引出矩陣的初等變換，給出了行階梯型矩陣、行最簡型矩陣和標(biāo)準(zhǔn) 型矩陣的概念。給出了矩陣秩的定義（顯然，一個方陣是否可逆與其是否滿秩是等價的）， 指出初等行變換不會改變矩陣的秩，并給出了求矩陣秩的方法一一化矩陣為行階梯型矩陣。 接著，又給出了初等矩陣的定義，并且將矩陣初等變換和矩陣與一個初等矩陣相乘建立起一 一對應(yīng)的關(guān)系，用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型，顯然，根據(jù)初等變換不該變矩陣的秩，則初 等變換不改變矩陣可逆性，由于我們可以很容易地觀察出標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的秩和行列式，所以若 一個方陣可逆，它的標(biāo)準(zhǔn)型必然是一個單位陣。于是，每個可逆矩陣都可以寫成N個初等矩 陣的乘積，且初等矩陣都是可逆的

4、，并且都有其明確的變換意義，我們便利用這個結(jié)論給出 了求可逆矩陣的一般方法一一初等變換法（很重要）。最后一部分介紹的是關(guān)于分塊矩陣的 一些知識，其實這些內(nèi)容是矩陣內(nèi)容的推廣，把矩陣中的元素由數(shù)換成了矩陣，內(nèi)容可以類 比于矩陣進行學(xué)習(xí)，但要注意由于矩陣并不是數(shù)，所以比如說行列式運算與一般矩陣的運算 法則不同，這種問題最好還是化為一般矩陣處理，以免超范圍使用性質(zhì)，造成不必要的錯誤。 值得一提的是，分塊矩陣的秩的性質(zhì)很重要，在書的后續(xù)內(nèi)容中有著廣泛的應(yīng)用。第三章是空間向量，屬于向量理論范疇，這是線性代數(shù)體系的另一個核心 內(nèi)容，它與線性方程組理論和解析幾何有著緊密的聯(lián)系。本章主要介紹基本的空間幾何即三

5、 維向量知識，為學(xué)習(xí)更深一層向量理論給出一個直觀印象，這是本書中空間解析幾何部分的 內(nèi)容。首先給出三維向量的直觀概念，空間中既有大小又有方向的量，然后給出了一些性質(zhì)； 建立坐標(biāo)系，向量線性運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，這些都可以類比于平面向量學(xué)習(xí)。下面介紹空 間中的平面和直線的知識，這是本章的重點。給出了平面在空間直角坐標(biāo)系中的方程，利用 兩個平面的交線是直線這一結(jié)論給出直線方程的一般形式，根據(jù)方程解的情況討論空間平面 和直線的位置關(guān)系?？臻g中主要解決距離和角度兩個問題，通過引入的向量積和平面法向量， 給出了一系列相關(guān)求解公式，當(dāng)然，理解這些公式的推導(dǎo)是更重要的，這能大大簡化問題的 求解。最后，書中還給

6、出了平面束和投影的概念，求解直線在某一平面上的投影方程的方法 要掌握。第四章主要內(nèi)容是N維向量，這是第三章在維數(shù)上的延伸。給出向量的一般定義，它不再局限于直觀幾何，而是抽象化了。線性相關(guān)線性無關(guān)線性表示的概念要了解， 重點是要掌握判別向量組是否線性無關(guān)的矩陣判別法。給出線性極大無關(guān)組的概念，將其與 矩陣的秩聯(lián)系起來。然后，給出向量空間以及其維數(shù)和基的概念，在定義內(nèi)積之后，又給出 了歐式空間概念，并研究了內(nèi)積的一些重要性質(zhì)。最后，為了簡化內(nèi)積的運算，我們要進行 坐標(biāo)變換，給出了基變換公式，坐標(biāo)變換公式和將一般基底規(guī)范正交化的方法一一施密特正 交化方法（很重要）。在此基礎(chǔ)上，引入正交矩陣這一概念，

7、并給出了正交矩陣與規(guī)范正交 基的內(nèi)在聯(lián)系。第五章講述線性方程組理論，這是線性代數(shù)中發(fā)展最完善的理論，也是整個 線性代數(shù)體系的直觀基礎(chǔ)。首先介紹線性方程組的一系列概念，通過線性方程組一般解法，給出了線性方程組有解的充要條件。利用齊次線性方程組 和非齊次線性方程組解的關(guān)系，將線性方程組都轉(zhuǎn)化成齊次線性方程組來解決，然后，利用 矩陣這一數(shù)學(xué)工具，說明線性方程組的解的結(jié)構(gòu)是一個向量空間，其維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩有 關(guān)，而向量空間只需用一個極大無關(guān)組表示，并且這個極大無關(guān)組就是維數(shù)個線性無關(guān)的方 程組的解向量構(gòu)成的向量組。這樣，有關(guān)線性方程組的問題就得到了完美的解決。第六章的主要內(nèi)容是特征值和特征向量，這是

8、前幾章內(nèi)容的一個應(yīng)用，也是 第八章二次型理論中的一個工具。首先給出特征值和特征向量的定義，然后將其轉(zhuǎn)化為一個 線性方程組的求解問題。根據(jù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)，若要其特征向量存在，則特征方程的系 數(shù)矩陣必不滿秩，即其行列式為0，可根據(jù)此求向量的特征值，并通過求解線性方程組求出 特征向量及其張成的向量空間。接著，給出特征值的一些性質(zhì)，顯然對角矩陣的特征值極易 求出。結(jié)合相似矩陣的概念，引出了將方陣相似對角化的概念，然后用矩陣?yán)碚摻o出了方陣 能否相似對角化的判別條件和相似對角化的方法。本章還著重研究了實對稱矩陣的一些特殊 性質(zhì)，又根據(jù)正交矩陣特點，結(jié)合實對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交的特點，說明

9、 了實對稱矩陣可以正交相似對角化，這是研究二次曲面時坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)。章末還介紹了一 些特征值理論的應(yīng)用，包括求多階線性遞推數(shù)列的通項公式等。第七章在第四章的基礎(chǔ)上，給出了定義了八條線性運算下的線性空間概念，這 一部分老師不講，也不作為考試內(nèi)容，不過線性空間是線性代數(shù)的主要研究對象的幾何描述， 對于線性代數(shù)理論的完善和空間圖形性質(zhì)的研究也有很大幫助。（詳情可見對線性代數(shù)體 系及矩陣的直觀性理解一文）第八章的主要內(nèi)容是二次型理論和空間中的二次曲面，介紹了二次型的概念以 及相關(guān)定義后，主要講解了如何將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，一共三種方法，不過正交變換法最重 要，因為在研究二次曲面時只能用這種方法。通過將一

10、般二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，可以研究二次 型的一般性質(zhì)，包括正負(fù)慣性定律和正定矩陣的概念和判定。本章后半部分內(nèi)容主要是二次 曲面，這是本書中最重要的幾何內(nèi)容。從最基本的球講起，柱面，旋轉(zhuǎn)曲面，錐面，橢球面， 雙曲面，拋物面，幾種最基本最重要的二次曲面分類介紹其圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)（利用截 痕法）。然后研究一般的一個三元二次方程到底代表什么曲面，這里用到了二次型理論，對 二次型進行正交坐標(biāo)變換，根據(jù)笛卡爾的坐標(biāo)理論（不同直角坐標(biāo)系中圖形的性質(zhì)不變）， 將其化為幾種基本的二次曲面，最后通過討論系數(shù)總結(jié)出空間中共17中二次曲面，而最特 殊最有意義就是一開始介紹的那九種。全書最后還附有多項式和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型等高等代數(shù)中的內(nèi)容，這是對課