2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(36)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1、課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(三十六) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1向量a(1,2)，b(x,1)若(ab)(ab)，則x()A2Beq r(2)C2D2解析：C法一：ab(1x,3)，ab(1x,1)，因?yàn)?ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，即(1x)(1x)30，解得x2法二：因?yàn)?ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|a|b|，所以x2故選C2(2022淄博三模)已知向量a，b滿足|a|b|ab|1，則|2ab|()A3Beq r(3)C7Deq r(7)解析：D由已知可得|ab|2a22abb222ab1，則abeq f(1,2)，因此，|2ab|eq r(2ab

2、2)eq r(4a24abb2)eq r(7)故選D3(2022襄陽(yáng)期中)在水流速度10 km/h的自西向東的河中，如果要使船以10eq r(3) km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為()A北偏西30，20 km/hB北偏西60，10eq r(2) km/hC北偏東30，10eq r(2) km/hD北偏東60，20 km/h解析：A如圖，船從點(diǎn)O出發(fā)，沿eq o(OC,sup7()方向行駛才能垂直到達(dá)對(duì)岸，|eq o(OA,sup7()|10，|eq o(OB,sup7()|10eq r(3)，則|eq o(OC,sup7()|eq r(|OA|2|OB|2

3、)20，則cosBOCeq f(|eq o(OB,sup7()|,|eq o(OC,sup7()|)eq f(r(3),2)，因?yàn)锽OC為銳角，故BOC30，故船以20 km/h的速度，以北偏西30的方向行駛，才能垂直到達(dá)對(duì)岸故選A4(2022金陵月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量eq o(OA,sup7()與eq o(OB,sup7()關(guān)于y軸對(duì)稱，向量a(1,0)，則滿足不等式eq o(OA,sup7()2aeq o(AB,sup7()0的點(diǎn)A(x，y)構(gòu)成的集合用陰影表示為()解析：BA(x，y)，向量eq o(OA,sup7()與eq o(OB,sup7()關(guān)于y軸對(duì)稱，B(x，

4、y)，eq o(AB,sup7()(2x,0)eq o(OA,sup7()2aeq o(AB,sup7()0，x2y22x(x1)2y210，故滿足要求的點(diǎn)A(x，y)在以(1,0)為圓心，1為半徑的圓上以及圓的內(nèi)部故選B5(多選)(2022滕州模擬)設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ac)b不與c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析：BD由于b，c是不共線的向量，因此(ab)c與(ca)b相減的結(jié)果應(yīng)為向量，故A錯(cuò)誤；由于a，b不共線，故a，b，ab構(gòu)成三角形，因此B正確；由于(

5、bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，故C中兩向量垂直，故C錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可以得出D是正確的故選B、D6(多選)(2022青島質(zhì)檢)已知平面向量a(1,2)，b(2,1)，c(2，t)，下列說(shuō)法正確的是()A若(ab)c，則t6B若(ab)c，則teq f(2,3)C若t1，則cosa，ceq f(4,5)D|ac|3解析：BCab(1,3)，若(ab)c，則t60，所以t6，故A錯(cuò)誤；若(ab)c，則23t0，所以teq f(2,3)，故B正確；若t1，則cosa，ceq f(ac,|a|c|)eq f(4,r(5)r(5)eq f(4,5)，故C正確；ac(3

6、，t2)，則|ac|eq r(9t22)3，故D錯(cuò)誤故選B、C7在四邊形ABCD中，eq o(AC,sup7()(3，1)，eq o(BD,sup7()(2，m)，eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()，則該四邊形的面積是_解析：由題意，向量eq o(AC,sup7()(3，1)，eq o(BD,sup7()(2，m)，由eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()，可得eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()32(1)m0，解得m6，所以四邊形的面積為eq f(1,2)|eq o(AC,sup7()|eq o(BD,sup7()|eq f(1,2

7、) eq r(3212)eq r(2262)10答案：108已知向量a，b，其中|a|eq r(3)，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是_，a(ab)_解析：由題意，設(shè)向量a，b的夾角為，因?yàn)閨a|eq r(3)，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32eq r(3)cos 0，解得cos eq f(r(3),2)又因?yàn)?，所以eq f(,6)，則a(ab)|a|2|a|b|cos 32eq r(3)eq f(r(3),2)6答案：eq f(,6)69(2022淮安模擬)已知平行四邊形ABCD中，AB3，AD4，BADeq f(,3)，平面內(nèi)動(dòng)

8、點(diǎn)E，滿足|ED|2|EC|，則(eq o(DB,sup7()eq o(DA,sup7()eq o(AE,sup7()的取值范圍為_(kāi)解析：平行四邊形ABCD中，AB3，AD4，BADeq f(,3)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(3,0)，C(5，2eq r(3)，D(2,2eq r(3)，設(shè)E(x，y)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)E滿足|ED|2|EC|，(x2)2(y2eq r(3)24(x5)2(y2eq r(3)2，即(x6)2(y2eq r(3)24，(x6)244x8，(eq o(DB,sup7()eq o(DA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(AB,sup7()eq

9、 o(AE,sup7()(3,0)(x，y)3x12,24答案：12,2410(2022天津模擬)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(1,0)，|eq o(OC,sup7()|1，且AOC，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若eq f(3,4)，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|的最小值；(2)若eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，向量meq o(BC,sup7()，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及對(duì)應(yīng)的值解：(1)設(shè)D(t,0)(0t1)，由題意知Ceq blc(rc)(avs4alco1(

10、f(r(2),2)，f(r(2),2)，所以eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)t，f(r(2),2)，所以|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|2eq blc(rc)(avs4alco1(tf(r(2),2)2eq f(1,2)(0t1)，所以當(dāng)teq f(r(2),2)時(shí)，|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|最小，最小值為eq f(r(2),2)(2)由題意得C(cos ，sin )，meq o(BC,sup7()(cos 1，sin )，則mn1cos2sin22

11、sin cos 1cos 2sin 21eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)，因?yàn)閑q blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，所以eq f(,4)2eq f(,4)eq f(5,4)，所以當(dāng)2eq f(,4)eq f(,2)，即eq f(,8)時(shí)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)取得最大值1，即mn取得最小值1eq r(2)所以mn的最小值為1eq r(2)，此時(shí)eq f(,8)B級(jí)綜合應(yīng)用11(多選)引入平面向量之間的一種新運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的向量m(x1，y1)，n(x2，y2)，規(guī)定mnx1x2y1y2，則對(duì)于

12、任意的向量a，b，c，下列說(shuō)法正確的有()AabbaB(a)b(ab)Ca(bc)(ab)cD|a|b|ab|解析：ABD設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)A項(xiàng)，因?yàn)閍bx1x2y1y2，bax2x1y2y1，所以abba，故正確；B項(xiàng)，因?yàn)?a)b(x1)x2(y1)y2(x1x2y1y2)(ab)，故正確；C項(xiàng)，a(bc)(x2x3y2y3)a，(ab)c(x1x2y1y2)c，此時(shí)a(bc)(ab)c不恒成立，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)?|a|b|)2( eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2)2xeq oal(2,1)xe

13、q oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)，|ab|2xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)2x1x2y1y2，所以(|a|b|)2|ab|2xeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)2x1x2y1y2(x1y2x2y1)20，所以(|a|b|)2|ab|20，且|a|b|0，|ab|0，所以|a|b|ab|，故正確，故選A、B、D12(2022本溪模擬)騎自行車

14、是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛(ài)，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓D(后輪)的半徑均為eq r(3)，ABE，BEC，ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()的最大值為()A8B2eq r(3)C4eq r(3)D4解析：C以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，過(guò)D作AD的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(8,0)，B(6,2eq r(3)，C(2,2eq r(3)圓D的方程為x2y23，可設(shè)P(eq r(3)cos ，eq r(3)sin )，所

15、以eq o(AB,sup7()(2,2eq r(3)，eq o(BP,sup7()(eq r(3)cos 6，eq r(3)sin 2eq r(3)故eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()2eq r(3)cos 126sin 124eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)4eq r(3)故選C13(2022珠海模擬)已知平面向量a(eq r(3)，eq r(3)，則與a夾角為45的一個(gè)非零向量b的坐標(biāo)可以為_(kāi)(寫出滿足條件的一個(gè)向量即可)解析：設(shè)b(x，y)，abeq r(3)xeq r(3)yeq r(6)eq r(x2y2)eq f(r(2

16、),2)，eq r(x2y2)xy，xy0，且b為非零向量，x1，y0滿足題意，b(1,0)答案：(1,0)(答案不唯一，滿足b(x，y)，xy0且x2y20的任意一個(gè)均可)14在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB2CD3，AD2，若EF在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且EF1，則eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7()的最小值為_(kāi)解析：如圖所示，以A為原點(diǎn)，eq o(AB,sup7()為x軸正方向，eq o(AD,sup7()為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(3,0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，D(0,2)，不妨設(shè)E(t,0)，F(xiàn)

17、(t1,0)(0t2)，則eq o(CE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)，2)，eq o(CF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)，2)，eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)，2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)，2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)4(t1)2eq f(15,4)(t0,2)，eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7

18、()的最小值為eq f(15,4)，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取得答案：eq f(15,4)15如圖所示，在矩形ABCD中，AB2，AD1，分別將邊BC與DC等分成8份，并將等分點(diǎn)自下而上依次記作E1，E2，E7，自左到右依次記作F1，F(xiàn)2，F(xiàn)7，滿足eq o(AEi,sup7()eq o(AFj,sup7()2(其中i，jN*,1i，j7)的有序數(shù)對(duì)(i，j)共有_對(duì)解析：以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則Eieq blc(rc)(avs4alco1(2，f(i,8)，F(xiàn)jeq blc(rc)(avs4alco1(f(j,4)，1)(其中i，jN*,1i，j7)，由

19、eq o(AEi,sup7()eq o(AFj,sup7()2得eq f(i,8)eq f(j,2)2，即i4j16當(dāng)j1,2時(shí)，i1,2，7，共2714對(duì)；當(dāng)j3時(shí)，i1,2,3,4，共4對(duì)，故滿足題意的有序數(shù)對(duì)(i，j)共有18對(duì)答案：1816已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7()0(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求eq o(PE,sup7()eq o(PF,sup7()的最值解：(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )0，得|eq o(PC,sup7()|2eq f(1,4)|eq o(PQ,sup7()|20，即(x2)2y2eq f(1,