中值的基本定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值的基本定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1微分中值定理4.2洛必達(dá)法則4.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值4.4函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)曲線的漸近線與函數(shù)作圖導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用4.1 微分中值定理一、引言二、微分中值定理 1、羅爾(Rolle)定理 2、拉格朗日(Lagrange)定理 3、柯西(Cauchy)定理三 、小結(jié)一、引言(Introduction) 導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，它反映函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；但在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。 中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用問題的模

2、型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的理論基石。二、微分中值定理The Mean Value Theorem 在微分中值定理的三個定理中，拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。 下面我們逐一介紹微分中值定理。1、羅爾 ( Rolle ) 定理(R-Th)1) 在閉區(qū)間 上連續(xù); 2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo);有一點(diǎn)則在內(nèi)至少 使若函數(shù)滿足：3)aboyABx幾何意義: 在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,則此曲線弧上至少有一點(diǎn)處的切線是水平的.或者說切線與端點(diǎn)的連線AB平行.aboyABx證明xaboyAB1) 若

3、即恒為常數(shù),可取(a, b)內(nèi)任一點(diǎn)作為2) 若由知,M , m 至少有一個要在內(nèi)取得.不妨設(shè) M 在內(nèi)點(diǎn)處取得,即所以,證畢.注意：羅爾定理的條件組是結(jié)論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。 若函數(shù)不滿足條件組，則不一定有羅爾定理的結(jié)論。xyo111再如,在右端點(diǎn)不連續(xù),但然而,注意：零值定理求函數(shù)的零點(diǎn)(函數(shù)方程的實(shí)根)，羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)方程的實(shí)根)。題型1：驗(yàn)證定理的正確性。定理結(jié)論中的客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。題型2：找區(qū)間(比較復(fù)雜)；題型3：找函數(shù)(由結(jié)論入手，求解微分方程)在x=0處不可導(dǎo),也不存在結(jié)論中的

4、點(diǎn)注：本例中，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是主動找區(qū)間。例4 設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()+f ()=0證明：構(gòu)造函數(shù) F(x)=f(x)ex則 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于F(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且 F (x)=f (x)ex+f(x)ex所以，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，有F ()=0即 e f ()+e f()=0 f()+f ()=0例5 已知f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，ax1x2x3b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使f ()=0證明

5、：f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)f(x)在區(qū)間x1,x2，x2,x3內(nèi)連續(xù)可導(dǎo) f(x1)=f(x2)=f(x3)由羅爾定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3)使得f ( 1)=0，f ( 2)=0再由羅爾定理得，解答練一練解答練一練解答2）唯一性由零點(diǎn)定理即為方程的正實(shí)根.矛盾,1）存在性注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。2、拉格朗日 (Lagrange) 定理(L-Th)或1) 在閉區(qū)間上連續(xù); 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);至少有一點(diǎn)若函數(shù)滿足：aboyABxC則在內(nèi)定理幾何意義： 在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，在

6、該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行.aboyABxC分析要證即證即證令只須證只須證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.證明易見在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且即根據(jù)羅爾定理知，使即即構(gòu)造輔助函數(shù)2) 定理結(jié)論肯定中間值 的客觀存在,但未指明確切位置,可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確定。(題型1：驗(yàn)證定理的正確性)1) 定理的條件組是充分條件。.注意3)題型2：找區(qū)間；4)題型3：找函數(shù)；5)題型4：證明等式；6)題型5：證明不等式。1) (1)或(2)式對于時也成立.拉格朗日中值公式.2) 若令則,于是拉格朗日公式可寫成:(3)3) 若令則得有限增量公式:(4)說明（2）注 式中的可能不止一個,這并不影響它在理論上的應(yīng)用 4）

7、是函數(shù)增量 的近似表達(dá)式 是函數(shù)增量 的精確表達(dá)式證明 不妨設(shè)在上應(yīng)用中值定理,使所以, 由的任意性知, 對例8 已知函數(shù)f(x)在(,+)內(nèi)滿足關(guān)系式f (x)=f(x)，且f(0)=1,證明：f(x)=ex 。證明：構(gòu)造函數(shù)證明由推論1知即解在閉區(qū)間0，1上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),滿足拉格朗日中值定理的條件, 即即的確在 (0,1) 內(nèi)找到使定理成立.應(yīng)用定理知例9 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間 0,1 上的正確性,并求解答時,例10 證明: 當(dāng)證 設(shè)對在上應(yīng)用拉氏中值定理, 使即因 所以即證明證明若函數(shù)滿足:則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得1) 在閉區(qū)間上連續(xù); 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

8、;且3、柯西(Cauchy)中值定理(C-Th)定理 思考2、證明解答2o 對f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即2、證明 1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)間: 令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .點(diǎn)c不能為任意，因?yàn)楹瘮?shù)和區(qū)間確定時，L-TH結(jié)論中的c的位置是客觀確定的。例17：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)，,使得f (x)，g(x)在a,b上滿足柯西中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得左邊分母有理化又因?yàn)閒(x)在a,b上滿足拉格朗日中值定理，所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得小 結(jié)：羅爾定理 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 且有f(a)f(b) 那么至少存在一點(diǎn)x(a b) 使得f (x)0 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 那么在(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)