數(shù)值計(jì)算方法(第3章)3new

1、3.4 向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性，我們需要對(duì)Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，向量和矩陣的范數(shù)。向量和矩陣的范數(shù)在一維數(shù)軸上，實(shí)軸上任意一點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離用|x|表示。而任意兩點(diǎn)x1，x2之間距離用| x1-x2 |表示。向量和矩陣的范數(shù)而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離用 表示。而平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用 表示。 推廣到n維空間，則稱為向量范數(shù)。向量范數(shù)常見的向量范數(shù)記住公式向量范數(shù)性質(zhì)向量范數(shù)性質(zhì)等價(jià)性質(zhì)：向量的收斂性3.4.2 矩陣范數(shù)相容范數(shù)算子范數(shù)算子范

2、數(shù)一般了解一般了解算子范數(shù)一般了解常見的矩陣范數(shù)矩陣的最大特征值記住公式常見的矩陣范數(shù)記住公式對(duì)稱矩陣范數(shù)一般了解例題對(duì)于一般的方陣，解起來(lái)并不容易。課程后期將討論特征值的數(shù)值解法。3.4.3 矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性例題譜半徑和矩陣序列的收斂性一般了解一般了解矩陣序列的收斂性3.5 病態(tài)方程組與矩陣的條件數(shù)3.5.1 病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組擾動(dòng)方程 由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)限制，在解AX=b時(shí)，舍入誤差是不可避免的。因此我們只能得出方程的近似解 。 是

3、方程組（A+A）x=b+ b (1) 在沒有舍入誤差的解。稱方程（1）為方程Ax=b的擾動(dòng)方程。其中A， b為由舍入誤差所產(chǎn)生的擾動(dòng)矩陣和擾動(dòng)向量。當(dāng)A， b的微小擾動(dòng)，解得（1）的解與Ax=b的解x的相對(duì)誤差不大稱為良態(tài)方程，否則為病態(tài)方程。模糊概念？3.5.2 矩陣的條件數(shù)仍是模糊概念？矩陣的條件數(shù)的性質(zhì)相對(duì)誤差的事后估計(jì)定理3.6.3 例題3.6 解線性方程組的迭代法3.6.1 解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述3.6.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代法Jacobi迭代法例題例題Jacobi迭代法

4、的矩陣形式Jacobi迭代法的算法2007.10.23Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法例題Gauss-Seidel迭代法的算法3.6.3 線性方程組迭代法收斂條件迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件例題例題例題例題3.6.4 松弛迭代SOR法記則可以看作在前一步上加一個(gè)修正量。若在修正量前乘以一個(gè)因子，有對(duì)GaussSeidel迭代格式寫成分量形式，有松弛迭代算法1、輸入系數(shù)矩陣A、向量b和松弛因子omega，和誤差控制eps2、x2=1,1,.,1 /賦初值3、while( |A*x2-b|eps) for(i=

5、0;in;i+) temp-0 for(j=0;ji;j+) temp += Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+) temp += Aij*x2j temp = -(x2i-bi)/Aii x2i = (1-omega)*x2i+omega*temp 4、輸出解x2 迭代矩陣定理：松弛迭代收斂定理：A對(duì)稱正定，則松弛迭代收斂是否是原來(lái)的方程的解？ SOR方法收斂的快慢與松弛因子的選擇有密切關(guān)系.但是如何選取最佳松弛因子,即選取=*,使()達(dá)到最小,是一個(gè)尚未很好解決的問題.實(shí)際上可采用試算的方法來(lái)確定較好的松弛因子. 經(jīng)驗(yàn)上可取1.41.6. 定理 若SOR方法收斂, 則02. 證

6、 設(shè)SOR方法收斂, 則()1,所以 |det()| =|12 n|1 而 det() =det(D-L)-1 (1-)D+U) =det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U) =(1-)n 于是 |1-|1, 或 02 定理 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣, 則解方程組Ax=b的 SOR方法,當(dāng)00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y) =-2 所以 當(dāng)02時(shí),有 (-+)2-(-)2= (2-)(2-) = (2-)(2-)0 所以|21, 因此()1,即S0R方法收斂. 可得 =2/ 設(shè)是B的任一特征值, y是對(duì)應(yīng)的特征向量, 則 (L+U)y=Dy 于是 (Ly,y)+(