數(shù)值分析課件CH1-賴志柱201303

1、數(shù)值分析 Numerical Analysis數(shù)值分析 Numerical Analysis畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院賴志柱2013年03月1數(shù)值分析 Numerical Analysis教材及主要參考書 李慶揚,王能超,易大義.數(shù)值分析（第五版）.清華大學(xué)出版社,2008,12.同濟(jì)大學(xué)計算數(shù)學(xué)教研室.數(shù)值分析基礎(chǔ).同濟(jì)大學(xué)出版社,1998.黃友謙,李岳生.數(shù)值逼近(第二版),北京：高等教育出版社,1987 .關(guān)治,陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ),北京:高等教育出版社,1998（2008重?。? 任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn),高等教育出版社2數(shù)值分析 Numerical Analysis胡祖

2、熾,林源渠.數(shù)值分析,北京:高等教育出版社,1988 .曹志浩,張玉德,李瑞遐.矩陣計算與方程求根(第二版),北京:高等教育出版社,1984 .馮康等編.數(shù)值計算方法,國防工業(yè)出版社,1978 .張池平,施云慧.計算方法,北京:科學(xué)出版社,2002. 周品,何正風(fēng).MATLAB數(shù)值分析,機(jī)械工業(yè)出版社,2009,01.張德豐等.MATLAB數(shù)值計算方法.機(jī)械工業(yè)出版社,2010,01.3數(shù)值分析 Numerical Analysis楊剛,武燕,王宇翔.數(shù)值分析全析精解,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2007.6 .李慶揚.數(shù)值分析復(fù)習(xí)考試指導(dǎo),北京:高等教育出版社,2000 .封建湖,車剛明.計算

3、方法典型題分析解集,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998 .封建湖,聶玉峰,王振海.數(shù)值分析導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2003 .楊蕤.數(shù)值分析全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解,北京:中國時代經(jīng)濟(jì)出版社,2007 .4數(shù)值分析 Numerical Analysis同濟(jì)大學(xué)計算數(shù)學(xué)教研室.數(shù)值計算解題方法與同步訓(xùn)練,上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2001.4.馬東升,熊春光.數(shù)值計算方法習(xí)題及習(xí)題解答,北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.9.孫志忠.計算方法典型例題分析(第二版),北京:科學(xué)出版社,2005 .5數(shù)值分析 Numerical AnalysisNumerical Analysis Using M

4、ATLAB and Spreadsheets - Steven T. KarrisNumerical Analysis-Burden Faires 9thNumerical Method with MATLAB(v3)6數(shù)值分析 Numerical Analysis成績考核辦法1、平時成績大致占20%： 大致：出勤及平時作業(yè)10%，實驗報告10% 具體百分比分配期末酌情處理。2、半期考試成績大致占20%3、期終考試成績大致占60%4、綜合考核成績平時成績20%+期中考試成績20%+期終考試成績60%7數(shù)值分析 Numerical Analysis相關(guān)軟件C, C+ (Visual C+)MAT

5、LAB相關(guān)軟件包Java, c#等8數(shù)值分析 Numerical Analysis第一章 數(shù)值分析與計算科學(xué)引論 1.1 數(shù)值分析的對象、作用與特點 1.2 數(shù)值計算的誤差1.3 誤差定性分析與避免誤差危害9數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1 數(shù)值分析的對象、作用與特點1.1.1 數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)值分析1.1.2 計算數(shù)學(xué)與科學(xué)計算1.1.3 計算方法與計算工具1.1.4 數(shù)值問題與算法1.1.5 數(shù)值分析課程的特點1.1.6 其它10數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.1 數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)值分析數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開數(shù)學(xué)，它通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生緊密聯(lián)

6、系，數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域。數(shù)值分析也稱計算數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個分支，主要研究用計算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)。11數(shù)值分析 Numerical Analysis用計算機(jī)求解科學(xué)技術(shù)問題通常的步驟 （1）根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型；（應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)）（2）由數(shù)學(xué)模型給出數(shù)值計算方法；（可靠、高效的算法）（3）根據(jù)計算方法編制算法程序（數(shù)學(xué)軟件）在計算機(jī)上計算出結(jié)果。其中（2）和（3）是計算數(shù)學(xué)的任務(wù)。 12數(shù)值分析 Numerical Analysis數(shù)值分析的主要內(nèi)容包括插值與逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、線性方程組的數(shù)值求解、非線性方程與方程組求解、特征值

7、計算、常微分方程數(shù)值解等。 數(shù)值分析以數(shù)學(xué)問題為研究對象，把理論與計算緊密結(jié)合，著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論。13數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.2 計算數(shù)學(xué)與科學(xué)計算計算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個分支，研究如何用計算機(jī)解決各種數(shù)學(xué)問題的科學(xué)，它的核心是提出和研究求解各種數(shù)學(xué)問題的高效而穩(wěn)定的算法。計算數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容包括代數(shù)方程(組)、線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值逼近問題，矩陣特征值的求法，最優(yōu)化計算問題，概率統(tǒng)計計算問題等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。14數(shù)值分析 Numerical Analysis計算科學(xué)(Scientific

8、 Computing)，又稱科學(xué)計算(Computational Science)，是一個與數(shù)學(xué)模型構(gòu)建、定量分析方法以及利用計算機(jī)來分析和解決科學(xué)問題相關(guān)的研究領(lǐng)域，它使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計與計算器的技術(shù)，借助計算機(jī)高速計算的能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)或人文中的復(fù)雜問題。狹義的科學(xué)計算是針對某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計有效的計算方法來求解，亦即數(shù)值分析、數(shù)值計算、計算方法。15數(shù)值分析 Numerical Analysis科學(xué)計算是一門工具性、方法性、整合性（邊緣性）的新學(xué)科，是各種科學(xué)與工程計算領(lǐng)域（如氣象、地震、核能技術(shù)、石油探勘、航天工程、 密碼解譯等）中不可缺少的工具。隨著計算機(jī)的高速發(fā)展

9、，數(shù)值計算方法已深入到各個科學(xué)研究領(lǐng)域，計算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計算力學(xué)、計算物理、計算化學(xué)、計算生物學(xué)、計算經(jīng)濟(jì)學(xué)等。 16數(shù)值分析 Numerical Analysis隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)計算與科學(xué)理論、科學(xué)實驗一并被稱為近代科學(xué)研究的三大基本手段。使用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科技活動的主要方法之一。熟練地使用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算，已成為科技工作者的一項基本技能。計算數(shù)學(xué)是科學(xué)計算的核心與基礎(chǔ)。17數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.3 計算方法與計算工具數(shù)值分析也稱計算方法，它與計算工具的發(fā)展密切相關(guān)。計算工具：算籌、算盤、算圖、算表、算尺、手

10、搖及電動計算機(jī)、電子計算機(jī)等。只是在計算機(jī)出現(xiàn)以后，才使計算方法迅速發(fā)展并形成數(shù)學(xué)科學(xué)的一個獨立分支計算數(shù)學(xué)。18數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.4 數(shù)值問題與算法能用計算機(jī)計算的“數(shù)值問題”是指輸入數(shù)據(jù)（即問題中的自變量與原始數(shù)據(jù)）與輸出數(shù)據(jù)（結(jié)果）之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的描述，輸入輸出數(shù)據(jù)可用有限維向量表示。算法是指把對數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為只有加、減、乘、除等基本運算，并確定運算次序的完整而準(zhǔn)確的描述。19數(shù)值分析 Numerical Analysis一般情況下，算法可以如下分類：分類方法1：若算法只包含一個進(jìn)程則稱其為串行算法，否則為并行算法。分類方法2：從

11、算法執(zhí)行所花費的時間角度來講，若算術(shù)運算占絕大多數(shù)時間則稱其為數(shù)值算法，否則為非數(shù)值算法。分類方法3：按算法的內(nèi)部特征分為確定型算法與非確定型算法。20數(shù)值分析 Numerical Analysis通常的科學(xué)計算是實現(xiàn)確定型算法，“確定型”是指計算機(jī)在執(zhí)行算法時，做完每一步都精確地知道下一步該怎么做。智能計算是實現(xiàn)非確定型算法，這是一類基于選擇的算法，計算機(jī)在執(zhí)行這種算法時，存在不能精確地知道下一步該做什么而必須在幾種可能方案中選擇一種去執(zhí)行的情況。 21數(shù)值分析 Numerical Analysis分類方法4：精確算法與近似算法精確算法是指在沒有運算舍入誤差的假設(shè)下，能在確定的運算次數(shù)內(nèi)獲得

12、數(shù)學(xué)問題的精確解。近似算法本身有方法誤差，從而在任何有限的運算次數(shù)內(nèi)只能獲得數(shù)學(xué)問題的近似解。實際上，由于計算機(jī)的字長有限，每次運算都有舍入誤差，從而無論精確解法還是近似算法都只能獲得數(shù)學(xué)問題的近似解。 22數(shù)值分析 Numerical Analysis本課程介紹確定型數(shù)值串行算法。（其它類型算法參閱數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、并行算法等課程。）算法的評價，即算法的可靠性，包括算法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計等幾個方面。一個算法在保證可靠的大前提下再評價其優(yōu)劣才是有價值的?？煽克惴ǖ膬?yōu)劣，應(yīng)該考慮其計算復(fù)雜性：時間復(fù)雜度：計算機(jī)運行時間；空間復(fù)雜度：占據(jù)計算機(jī)存儲空間的多少；邏輯復(fù)雜度：影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)

13、。 23數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.5 數(shù)值分析課程的特點（1）面向計算機(jī)，能根據(jù)計算機(jī)特點提供切實可行的有效算法。（2）有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對誤差進(jìn)行分析。（3）設(shè)計的算法要有好的計算復(fù)雜性，它關(guān)系到算法能否在計算機(jī)上實現(xiàn)。（4）要有數(shù)值實驗，即通過數(shù)值實驗證明是行之有效的。24數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1.6 其它 （1）本課程的基本要求：掌握數(shù)值方法的基本原理（理論分析）；掌握常用的科學(xué)與工程計算的基本方法（算法思想及計算）；能用所學(xué)方法在計算機(jī)上算出正確結(jié)果（編程實現(xiàn)）。2

14、5數(shù)值分析 Numerical Analysis（2）本課程的學(xué)習(xí)方法（建議）：認(rèn)識建立算法和對每個算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動適應(yīng)“公式多”和“講理論”的特點；注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；理解每個算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實際計算，必須真會算。 26數(shù)值分析 Numerical Analysis（3）本課程學(xué)習(xí)結(jié)束后你應(yīng)具備的能力：對具體的數(shù)值計算問題，你會選擇合適的算法，并通過計算機(jī)計算出正確結(jié)果；對給定的算法會從理論上分析其優(yōu)劣性；會根據(jù)原理構(gòu)造解決較簡單數(shù)值計算問

15、題的算法。（4）本課程的現(xiàn)實關(guān)聯(lián)性（強應(yīng)用性）：簡單數(shù)學(xué)用表如平方表、開方表、三角函數(shù)表；現(xiàn)在計算機(jī)中的函數(shù)計算、所有程序中的基本函數(shù)的計算（包括計算器）；（插值方法）用于數(shù)碼相機(jī)增加圖像的分辨率。27數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2 數(shù)值計算的誤差1.2.1 誤差來源與分類1.2.2 誤差與有效數(shù)字1.2.3 數(shù)值運算的誤差估計28數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2.1 誤差來源與分類誤差是人們用來描述數(shù)值計算中近似解的精確程度，是科學(xué)計算中的一個十分重要的概念。模型誤差(Modeling Error)，也稱描述誤差，是數(shù)學(xué)模型與實際問題的差異。反映實際

16、問題有關(guān)量之間的計算公式（數(shù)學(xué)模型）通常是近似的。觀測誤差(Measurement Error)指物理數(shù)據(jù)的不可靠性。數(shù)學(xué)模型中包含的某些參數(shù)是通過觀測或?qū)嶒灥玫降?。注：通?？梢愿鶕?jù)測量工具的精度知道這類誤差的上限。29數(shù)值分析 Numerical Analysis截斷誤差(Truncation Error)，也稱方法誤差，一般指求某數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解時，用有限的過程代替無限的過程所產(chǎn)生的誤差，或用易于計算的問題代替不易計算的問題所產(chǎn)生的誤差，亦即近似解與精確解之間的誤差。例1.1 例1.2 用差商近似導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的誤差也是截斷誤差。，例1.330數(shù)值分析 Numerical Analysis舍入誤

17、差(Roundoff Error)，也稱計算誤差，是由于計算機(jī)的字長有限，原始數(shù)據(jù)在計算機(jī)上表示時產(chǎn)生的誤差，或者計算過程中產(chǎn)生的誤差。在十進(jìn)制運算中一般采用“四舍五入”法（四舍六入法）導(dǎo)致舍入誤差。分析初始數(shù)據(jù)的誤差通常歸結(jié)為舍入誤差。例1.4 用3.14159近似代替 產(chǎn)生的誤差 31數(shù)值分析 Numerical Analysis例1.5 近似計算解：將 作Taylor展開后再積分記則 稱為截斷誤差。 32數(shù)值分析 Numerical Analysis在數(shù)值分析中，總是假定數(shù)學(xué)模型正確合理地反映了客觀實際問題，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，主要研究截斷誤差和舍入誤差對計算結(jié)果的影響。33數(shù)

18、值分析 Numerical Analysis1.2.2 誤差與有效數(shù)字任何復(fù)雜計算問題的誤差分析本質(zhì)上都?xì)w結(jié)為數(shù)的誤差估計。 絕對誤差 相對誤差 有效數(shù)字 度量間的關(guān)系34數(shù)值分析 Numerical Analysis 絕對誤差定義1.1 設(shè) 是準(zhǔn)確值 的一個近似值，稱 為 近似 的絕對誤差，簡稱為誤差。 在不引起混淆時，符號 可簡記作 或 。如果存在正數(shù) 滿足 ，則稱 為 近似 的絕對誤差界(限)，簡稱為誤差界(限)。常記為 35數(shù)值分析 Numerical Analysis注1：絕對誤差是：近似值 - 準(zhǔn)確值（有的教材指：準(zhǔn)確值-近似值）；注2：絕對誤差是有量綱單位的量，并且可能取正值或負(fù)

19、值。注3：通常計算中所要求的誤差，是指估計一個盡可能小的絕對誤差限；注4：絕對誤差越小越具有參考價值。36數(shù)值分析 Numerical Analysis37數(shù)值分析 Numerical Analysis 相對誤差例1.7 測量1公里的長度時有5米的誤差，測量100米的長度時有1米的誤差。哪一種測量更精確？例1.8 在某種考試中，總分150分考139，總分100分考90，兩者的絕對誤差分別為11和10，優(yōu)劣如何？刻畫近似值的精確程度，不僅要看絕對誤差的大小，也要考慮近似數(shù)本身的大小。38數(shù)值分析 Numerical Analysis定義1.2 設(shè) 是準(zhǔn)確值 的一個近似，稱 為 近似 的相對誤差。

20、在不引起混淆時，符號 可以簡記為 或 。在實際計算中，由于真值（準(zhǔn)確值） 總是未知的，通常取為 近似 的相對誤差。39數(shù)值分析 Numerical Analysis在前面的考試成績分析例子中，前者相對誤差(150139)/150=0.073，后者相對誤差(100-90)/100=0.100，顯然前者的成績更優(yōu)。40數(shù)值分析 Numerical Analysis注1：當(dāng)準(zhǔn)確值x=0時，相對誤差沒有意義；注2：相對誤差可正可負(fù)，是一個無量綱量，通常用百分比表示；相對誤差及相對誤差限是無量綱的，但絕對誤差及絕對誤差限是有量綱的；注3：通常要求計算的相對誤差，是指估計一個盡可能小的相對誤差限。注4：近

21、似值的精確程度取決于相對誤差的大小。41數(shù)值分析 Numerical Analysis42數(shù)值分析 Numerical Analysis 有效數(shù)字定義1.3 若近似值 的誤差界 是它某一數(shù)位的半個單位，該位到 的第一位非零數(shù)字一共有 位，則稱近似值 有 位有效數(shù)字，或說 精確到該位。 43數(shù)值分析 Numerical Analysis定義1.3 設(shè) 的近似值 有如下標(biāo)準(zhǔn)形式其中 ， 且 。 如果 為滿足的最大非負(fù)整數(shù)，則稱 為 的具有 位（十進(jìn)制）有效數(shù)字的近似值，或 有 位有效數(shù)字。44數(shù)值分析 Numerical Analysis45數(shù)值分析 Numerical Analysis注1：有效

22、數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半，可見有效數(shù)本身就體現(xiàn)了誤差界；注2：對真值進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)；注3：準(zhǔn)確數(shù)字有無窮多位有效數(shù)字；注4：從實驗儀器所讀的近似數(shù)（最后一位是估計位）不是有效數(shù)，估計最后一位是為了確保對最后一位進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。例如從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)123.4cm是為了得到有效數(shù)123.cm，讀得數(shù)據(jù)156.7cm是為了得到有效數(shù)157.cm。 46數(shù)值分析 Numerical Analysis例1.12 寫出下列各數(shù)的具有5位有效數(shù)字的近似值187.9325，0.03785551，8.000033, 2.7182818解：按定義（或四舍五入原則），上述各數(shù)的具

23、有5位有效數(shù)字的近似值分別為187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183注5：數(shù)字末尾的0不可以隨意添加或省略。47數(shù)值分析 Numerical Analysis 度量間的關(guān)系現(xiàn)象：近似值的有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差界就可以越小，反之亦然。48數(shù)值分析 Numerical Analysis定理1.1實質(zhì)上給出了一種求相對誤差限的方法。49數(shù)值分析 Numerical Analysis50數(shù)值分析 Numerical Analysis51數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2.3 數(shù)值運算的誤差估計 四則運算的誤差估計52數(shù)值分析 Numerical Analy

24、sis53數(shù)值分析 Numerical Analysis 函數(shù)值的誤差估計 當(dāng)自變量有誤差時，計算函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差，其誤差可以利用函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行估計。54數(shù)值分析 Numerical Analysis55數(shù)值分析 Numerical Analysis56數(shù)值分析 Numerical Analysis57數(shù)值分析 Numerical Analysis58數(shù)值分析 Numerical Analysis59數(shù)值分析 Numerical Analysis60數(shù)值分析 Numerical Analysis61數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3 誤差定性分析與避免誤差危害1.3.

25、1 誤差的傳播1.3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性1.3.3 病態(tài)問題與條件數(shù)1.3.4 避免誤差危害的若干原則62數(shù)值分析 Numerical Analysis一個工程或科學(xué)計算問題往往要運算千萬次，由于每步運算都有誤差，如果每步都做誤差分析是不可能的，也不科學(xué)。因為誤差積累有正有負(fù)，絕對值有大有小，都按最壞情況估計誤差限得到的結(jié)果比實際誤差大得多，這種保守的誤差估計不反映實際誤差積累。 63數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3.1 誤差的傳播 誤差傳播及其表現(xiàn) 與誤差相關(guān)的兩個術(shù)語 常用的誤差分析方法64數(shù)值分析 Numerical Analysis 誤差傳播及其表現(xiàn)近似數(shù)參加運算

26、后所得的值一般也是近似值，含有誤差，將這一現(xiàn)象稱為誤差傳播。初始誤差導(dǎo)致后續(xù)計算結(jié)果產(chǎn)生誤差，我們稱其為初值誤差傳播。65數(shù)值分析 Numerical Analysis誤差傳播的表現(xiàn) （1）算法本身可能有截斷誤差；（2）初始數(shù)據(jù)在計算機(jī)內(nèi)的浮點表示一般有舍入誤差； （3）每次運算一般又會產(chǎn)生新的舍入誤差，并傳播以前各步已經(jīng)引入的誤差；（4）誤差有正有負(fù)，誤差積累的過程一般包含有誤差增長和誤差相消的過程，并非簡單的單調(diào)增長；（5）運算次數(shù)非常之多，不可能人為地跟蹤每一步運算。66數(shù)值分析 Numerical Analysis 與誤差相關(guān)的兩個術(shù)語假設(shè)在某些條件下推導(dǎo)出一個理論上的誤差界，如果這個

27、界不依賴于計算結(jié)果，則稱它為先驗界或先驗估計；如果這個界依賴于計算結(jié)果，即是說，僅在計算完成后利用計算的結(jié)果才能具體確定這個界，則稱它為后驗界或后驗估計。67數(shù)值分析 Numerical Analysis 常用的誤差分析方法向前誤差分析方法與向后誤差分析方法區(qū)間分析法概率分析法68數(shù)值分析 Numerical Analysis向前誤差分析方法與向后誤差分析方法向前誤差分析是對每一步運算找出舍入誤差界，隨計算過程逐步向前分析，直至計算出最后結(jié)果的舍入誤差的界。向后誤差分析法是一種先驗估計，特別在矩陣計算的誤差分析中有比較系統(tǒng)的研究，取得了較大的進(jìn)展。而向前誤差分析法只能應(yīng)用于十分簡單的情形。69

28、數(shù)值分析 Numerical Analysis區(qū)間分析法穆爾,Moore，20世紀(jì)60年代把參加運算的數(shù)都看成區(qū)間量，按照區(qū)間運算規(guī)則求得最后結(jié)果的近似值和誤差界。70數(shù)值分析 Numerical Analysis概率分析法 利用概率統(tǒng)計方法，將數(shù)據(jù)和運算中的舍入誤差視為適合某種分布的隨機(jī)變量，然后確定計算結(jié)果的誤差分布。71數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 一種算法，如果在執(zhí)行它的過程中舍入誤差在一定條件下能夠得到控制（或者說舍入誤差的增長不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果），則稱它是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱為數(shù)值不穩(wěn)定的。定義1.4（教材P10，定義3） 一個算法如果

29、輸入數(shù)據(jù)有誤差，而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。72數(shù)值分析 Numerical Analysis算法數(shù)值穩(wěn)定的一個必要條件是：原始數(shù)據(jù)的微小變化只會引起最后結(jié)果有微小的變化。具體地說，假定原始數(shù)據(jù)有誤差 ，而且算法執(zhí)行過程中的一切誤差僅由 引起，設(shè)結(jié)果的誤差為 ，那么穩(wěn)定的算法必滿足“當(dāng) 相對于原始數(shù)據(jù)不太大時， 相對于結(jié)果也不太大”。 如果一種數(shù)值方法有初始誤差 ，由它引起此后運算 步的誤差是 ，常遇到下面兩種情形，其中的 是與 無關(guān)的常數(shù)： 73數(shù)值分析 Numerical Analysis（1）如果 ,稱誤差的增長是線性型的； （2）如果

30、,稱誤差的增長是指數(shù)型的。例1.16 計算 并估計誤差。 74數(shù)值分析 Numerical Analysis75數(shù)值分析 Numerical Analysis76數(shù)值分析 Numerical Analysis77數(shù)值分析 Numerical Analysis78數(shù)值分析 Numerical Analysis79數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3.3 病態(tài)問題與條件數(shù)對一個數(shù)值問題本身，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），引起輸出數(shù)據(jù)（即問題解）相對誤差很大，這就是所謂病態(tài)問題。80數(shù)值分析 Numerical Analysis81數(shù)值分析 Numerical Analysis82數(shù)值分析 Numerical Analysis83數(shù)值分析 Numerical Analysis84數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3.4避免誤差危害的若干原則數(shù)值計算中首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否數(shù)值穩(wěn)定，計算時還應(yīng)盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字的損失，有下面若干原則。 避免相近數(shù)相減 避免除法中除數(shù)的數(shù)量級遠(yuǎn)小于被除數(shù) 防止大數(shù)“吃掉”小數(shù) 注意簡化計算步驟以減少運算次數(shù) 選用數(shù)值穩(wěn)定的