概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件122遍歷過程與馬爾科夫鏈

1、遍歷過程 與 馬爾科夫鏈1 內(nèi) 容 復(fù) 習(xí) 嚴(yán)平穩(wěn)過程一定義1 隨機(jī)過程 ，如果對(duì)任意 維 分布函數(shù),任意實(shí)數(shù) ,滿足: 則稱 為嚴(yán)平穩(wěn)過程,或稱狹義平穩(wěn)過程. 2廣義平穩(wěn)過程 (一) 廣義平穩(wěn)過程的定義定義2 設(shè)隨機(jī)過程 ,對(duì)于任意 ,滿足: (1) 存在且有限;(2) 是常數(shù);(3) 僅依賴于 ,而與 無關(guān),則稱 為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程. 3嚴(yán)平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關(guān)系推論 存在二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過程必定是廣義平穩(wěn)過程.1.廣義平穩(wěn)過程,不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程.2.嚴(yán)平穩(wěn)過程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義平穩(wěn)過程4定義 如果隨機(jī)過程 ,對(duì)任意正整數(shù) , 服從正態(tài)分布則

2、稱 為正態(tài)過程.正態(tài)平穩(wěn)過程設(shè) 是正態(tài)過程, 服從正態(tài)分布,則 必存在,即二階矩存在.5二. 正態(tài)平穩(wěn)過程定義 如果正態(tài)過程 又是(廣義)平穩(wěn)過程,則 稱 為正態(tài)平穩(wěn)過程. 定理二：設(shè) 是正態(tài)過程.則 為嚴(yán)平穩(wěn)過程 為廣義平穩(wěn)過程.6例2 設(shè) 是正態(tài)平穩(wěn)過程,且 令 證明: 是平穩(wěn)過程.7第四節(jié) 遍歷過程(歷經(jīng)過程)一. 時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)函數(shù) 樣本函數(shù) 在區(qū)間 設(shè)隨機(jī)過程 任固定 樣本上的函數(shù)平均值定義為 在 上的函數(shù)平均值定義為當(dāng) 變化時(shí), 8 定義6 稱為隨機(jī)過程 對(duì)于參數(shù) 的平均值,通常稱為隨機(jī)過程 的時(shí)間均值. 顯然 是一個(gè)隨機(jī)變量.在任意 處, 給任意實(shí)數(shù) ，過程在 和 的兩個(gè)

3、狀態(tài)的乘積 在 上的平均值, 記為9定義7 稱為隨機(jī)過程 的時(shí)間相關(guān)函數(shù). (顯然它是一個(gè)隨機(jī)過程. )對(duì)隨機(jī)過程時(shí)間均值 定義, 10時(shí)間相關(guān)函數(shù) 例1 求隨機(jī)相位正弦波的時(shí)間均 值和時(shí)間相關(guān)函數(shù).(記住這個(gè)例題的結(jié)論,以后要用)1112二. 各態(tài)遍歷性定義8 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過程 或 即, 為常 數(shù), 且 的均值具有各態(tài)遍歷性;注： (1) 如果則稱過程13 (2) 如果 則稱過程 的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性. (3) 均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程稱為遍歷過程,或說,該平穩(wěn)過程具有遍歷性. (三) 遍歷過程的例子例1 設(shè)，其中是實(shí)常數(shù), 14不具各態(tài)遍歷性的例子：例2 設(shè) 是一

4、個(gè)隨機(jī)變量,且 則 (1) 是平穩(wěn)過程;(2) 的均值不具有各態(tài)遍歷性.服從區(qū)間 上的均勻分布,的各態(tài)遍歷性.討論 解及例1結(jié)論，由知X(t)具有遍歷性15四. 平穩(wěn)過程具有各態(tài)遍歷性的判別定理引理 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過程,則它的 時(shí)間均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為16定理三 (均值各態(tài)遍歷定理)平穩(wěn)過程 的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是近似計(jì)算 提供依據(jù).五：引入遍歷過程的目的,應(yīng)用意義17例1 設(shè) 是以 為周期的隨機(jī)相位周期 過程,即滿足( 是周期函數(shù))其中 是在 上服從均勻分布的隨機(jī)變量.試證: (1) 是平穩(wěn)過程; (2) 是遍歷過程. 18192021例2 設(shè)平穩(wěn)過程 的自相關(guān)函數(shù)以概率1成

5、立。 證明:對(duì)于任意t, 等式 是以T為周期的周期函數(shù), 提示：22例3解：2324第十三章 馬爾可夫鏈馬爾可夫過程是一類特殊的隨機(jī)過程, 最初是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾可夫1896年生物學(xué),經(jīng)濟(jì),管理,教育,氣象物理,化學(xué)等等.馬爾可夫鏈?zhǔn)请x散狀態(tài)的馬爾可夫過程,提出和研究的應(yīng)用十分廣泛,其應(yīng)用領(lǐng)域涉及計(jì)算機(jī),通信,自動(dòng).控制,隨機(jī)服務(wù),可靠性,25例：一維隨機(jī)游動(dòng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上的五個(gè)位置:0, 1, 2, 3, 4做隨機(jī) 游動(dòng).當(dāng)它處在位置1或2或3時(shí),以的1/3概率向左移動(dòng)一步而以2/3的概率向右移動(dòng)一步;當(dāng)它到達(dá)位置0時(shí),以概率1返回位置1;當(dāng)它到達(dá)位置4時(shí)以概率1停 留在該位置上(稱位置0

6、為反射壁,稱位置4為吸收壁).260123412/32/32/31/31/31/312728 第一節(jié) 馬爾可夫鏈的定義一定義1 設(shè)隨機(jī)過程 的狀態(tài)空間 是 有限集或可列集, 對(duì)于 T 內(nèi)任意n+1個(gè)參數(shù) 和 內(nèi)任意 個(gè)狀態(tài) 如果條件概率 (1) 29恒成立,則稱此過程為馬爾可夫鏈. 式(1)稱為馬爾可夫性,或稱無后效性.注：30系統(tǒng)現(xiàn)時(shí)情況的條件下,系統(tǒng)將來的發(fā)展變化與系統(tǒng)的過去無關(guān).我們稱之為無后效性.許多實(shí)際問題都具有這種無后效性.例如 生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅依賴于這一代而與以往各代無關(guān).馬氏性的直觀含義可以解釋如下:將 看作為現(xiàn)在時(shí)刻, 就是過去時(shí) 刻,而 則是將來時(shí)刻.于是, (1) 式是說,當(dāng)已知31二 馬爾可夫鏈的分類狀態(tài)空間 是離散的(有限集或可列集), 參數(shù)集 可為離散或連續(xù)的兩類.三 離散參數(shù)馬爾可夫鏈（1）轉(zhuǎn)移概率定義2 在離散參數(shù)馬爾可夫鏈中,條件概率 稱為 在 32時(shí)刻(參數(shù)) 由狀態(tài) 一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 的一步轉(zhuǎn)移概率,簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率.條件概