2011年學(xué)而思春季第二講(等積變形)

1、四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. 第二講等積變形四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #、復(fù)習(xí)基本面積公式1、長(zhǎng)方形3、平行四邊形S=ab長(zhǎng)X寬!S=a2S=b22邊長(zhǎng)2對(duì)角線2寧2S=ah底X咼S二ah一2底X高寧2S=(a+b)h一2II(上底+下底)IIX咼寧2二、三角形如何找咼1、找底邊對(duì)邊的頂點(diǎn)2、過(guò)頂點(diǎn)作底邊的垂線四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春

2、季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #直角三角形以一直角邊為底時(shí)，高是另一條直角邊)以一鈍角邊為底時(shí)高在三角形外面)四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. 2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #由三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底乂高寧2我們得到：三角形面積的大小，取決于三角形底和咼的乘積。三角形的面積變化時(shí)，它的底和咼之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化。當(dāng)三角形的底和咼同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化。一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀三、

3、常用結(jié)論1、等底等咼的三角形面積相等。2、平行線所夾的等底三角形面積相等。如右圖，AACD和ABCD夾在一組平行線之間，S=S且有公共底邊CD,那么AACDABCD；S=S反之，如果AACDABCD，且A,B在CD的同側(cè),則可知直線AB平行于CD。3、梯形的兩條對(duì)角線及兩腰所夾的兩個(gè)三角形面積相等。由上一條結(jié)論，AACD與厶BCD的面積相等，同時(shí)減去OCD的面積，余下的面積也應(yīng)該相等，即S=SAAOCABOD4、等高看底：若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍等底看高：若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形的

4、幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍四、例題講解例1如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B,C,D在同一條直線上。（1）求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？（2）求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？解析：（1）觀察三角形ABC與三角形ADC有什么聯(lián)系一一同高！注意：怎樣判斷同高有1個(gè)公共頂點(diǎn)B該頂點(diǎn)所對(duì)邊共線根據(jù)“等高看底”，它倆的面積比其實(shí)就是底邊的比，只是要注意底邊的數(shù)據(jù)：三角形ABC的底邊是BC=12+4=16（厘米）三角形ADC的底邊是DC=4厘米16寧4=4,三角形ABC的面積是三角形ADC面積的4倍（2）同理，三角形ABD與三角形ADC也是同

5、高的，其面積比等于12寧4=3例2如圖，E在AD上,AD垂直于BC,AD=12厘米，DE=3厘米，求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的多少倍？解析：顯然，三角形ABC與三角形EBC有相同的底邊BC。根據(jù)“等底看高”，它倆的面積比其實(shí)就是高的比，12寧3=4,三角形ABC的面積是三角形EBC面積的4倍D有什么方法，提高）學(xué)案1（1）解析：方法不唯一。如圖（1）AFC面積相等。把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形。(4)AEF、（2）（3）將BC邊四等分，連接各等分點(diǎn)，則厶ABD、AADE、如圖（2）,D是BC的二等分點(diǎn)，那么ABD、AADC面積相等，E、F是AC、AB的中點(diǎn)，又將ABD、

6、AADC各自分成兩個(gè)相等的小三角形，從而得到四個(gè)小三角形面積相等。如圖（3）,D是BC的四等分點(diǎn)，E、F是AD的三等分點(diǎn)，從而得到ABD、AAEC、AECF、AFCD面積相等。由這三種方法，我們有沒(méi)有什么體會(huì)呢？小結(jié)：一個(gè)大三角形分成有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)小三角形，面積之比等于兩底邊之比。更一般地，一個(gè)大三角形分成有公共頂點(diǎn)的若干個(gè)個(gè)小三角形，面積之比等于各底邊之比。即，形如這樣的圖形，一定要牢記！四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. #2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #四年級(jí)春季班（八級(jí)下）2. 2011年四年級(jí)春季班第二講等積變形程雪四年級(jí)春季班(八級(jí)下)2. #另外，

7、圖（4）是需要同學(xué)們背下來(lái)的一種方法，它和前面幾種有什么區(qū)別呢？4個(gè)小三角形不光面積相等，而且形狀也相同，你看出來(lái)了嗎？（尖子）學(xué)案2如圖，三角形ABC的面積是24,D、E和F分別是BC、AC和AD的中點(diǎn)。求:三角形DEF的面積。解析：求三角形DEF的面積，能直接用面積公式嗎？顯然不能，那就九只能通過(guò)與三角形ABC比較，看看它們之間的關(guān)系了。只看三角ABD與三角形ADC,它們?cè)谕粋€(gè)大三角形ABC內(nèi)，有相同頂點(diǎn)A,底邊又共線，所以，面積比就是底邊的比。BD=DC,那么，三角形ADC與三角形ABD面積相等，都是是三角形ABC面積的一半24寧2=12,同理，三角形ADE又是三角形ADC面積的一半1

8、2寧2=6。三角形FED的面積是三角形ADE面積的一半，所以三角形FED的面積=6寧2=3。D（提高）學(xué)案2如圖，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE，三角形ADE的面積是20平方厘米,三角形ABC的面積是多少？解析：顯然本題也不能直接用面積公式計(jì)算，只能通過(guò)與已知三角形ADE比較最終得到結(jié)果。既然要與三角形ADE比較，就要看誰(shuí)與它有聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)三角形DEC與它在同一個(gè)三角形內(nèi)，符合剛才的“小結(jié)”的結(jié)論，CE=3AE，那么三角形DEC的面積就是三角形ADE面積的3倍，等于20X3=60（平方厘米）。同理，余下的三角形ABD與三角形ADC在同一個(gè)大三角形里，DC=2BD，所以，三角形ABD的

9、面積是三角形ADC的一半，（20+60）寧2=40（平方厘米）三角形ABC的面積=20+60+40=120（平方厘米）例3如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE=3AB,BD=2BC，三角形BDC的面積是多少？解析：求三角形的面積，首先考慮，面積公式能用嗎？本題沒(méi)有任何邊的數(shù)據(jù)，顯然不行。那只能是跟已知三角形ABC做比較了。那就要找這兩個(gè)三角形的聯(lián)系。它們是共邊的，但對(duì)面的端點(diǎn)不共點(diǎn)，怎么辦？加輔助線，如圖，連結(jié)CE,三角形BCE與三角形ABC不就可以直接比較了嗎？而三角形CDE與三角形BCE也可以直接比較。思路就出來(lái)啦！連結(jié)CED.AE=3AB.BE=2AB.S=2S=2BCEABC又VBD

10、=2BC/.BC=CD.S=S=2CDEBCE.S=2+2=4BDE同學(xué)們想想，連結(jié)AD可以嗎？自己試試看吧！例4如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)AB至D，使BD=AB，延長(zhǎng)BC至E,使CE=BC，延長(zhǎng)CA至F,使AF=2AC，求三角形DEF的面積。解析：本題顯然也不能用面積公式，那么我們就要想方設(shè)法把不知道的幾個(gè)三角形的面積與已知三角形ABC進(jìn)行比較。單獨(dú)看三角形FDA與三角形ABC比較，與例3是不是很相似呢？一底邊共線，但所對(duì)的頂點(diǎn)不共點(diǎn)。那就連結(jié)輔助線唄。你想到了嗎？連結(jié)FB,CDFA=2AC.S=2S=2FBAABCBD=AB.S=S=2FDBFBA.S=2+2=4FDA又.BD=

11、AB.S=S=1CBDABCBC=CE.S=S=1CDECBD.S=1+1=2BDE又*/BC=CE.S=S=1+2=3FCEFBC三角形DEF的面積=4+2+3+1=10例5如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF=2CF，三角形AFE（圖中陰影部分）的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米?解析：顯然還是不能用面積公式，那又要與已知三角形AFE做比較，那么首先想到連結(jié)FB（同學(xué)們想想，連結(jié)CE可以嗎？當(dāng)然可以！這種解法就交給同學(xué)們自己吧）三角形AFB面積是三角形CFB面積的2倍，而三角形AFB面積是三角形AEF面積的2倍，所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍；

12、又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的（3X2）=6倍.因此，平行四邊形的面積為8X6=48（平方厘米）。（提高）學(xué)案3圖中AOB的面積為15cm2,線段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積。解析：看見(jiàn)梯形及其對(duì)角線，首先想到補(bǔ)充的有關(guān)梯形的結(jié)論。有AD0C的面積=AOB的面積=15cm2.0B=30D.*.S=1/3S=15寧3=5(cm2)A0DA0BS=3S=3X15=45(cm2)0BC0DC梯形ABCD的面積=15+15+5+45=80(cm2)BCA（尖子）學(xué)案3如圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E,交DA延長(zhǎng)線

13、于F,若7=】，求ABEF的面積解析：顯然，仍然不能用面積公式，但與已知三角形ADE做比較時(shí)，又沒(méi)有相關(guān)邊的倍數(shù)關(guān)系，那該怎么做呢？我們一定要充分挖掘條件，題目中告訴了“平行四邊形”有什么用？有平行線！那我們能想到什么，平行線所夾等底三角形面積相等！因?yàn)閱?wèn)的是ABEF的面積，所以我們從結(jié)果出發(fā)，看哪個(gè)夾在平行線中的三角形包含BEF，不難看出有BAF。那么連結(jié)CA,CBDF.S=S,BAFCAF.S=SBEFCEA又VCDAB.S=S,CEAADE.S=S=S=1BEFCEAADE例6正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？解析：題中只告訴了大正方形