函數(shù)求導(dǎo)法則-2課件

1、第二節(jié) 函數(shù)求導(dǎo)法則 直接用定義去求每一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是極為復(fù)雜和困難的. 利用本節(jié)給出的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 就能比較方便地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1 設(shè)函數(shù) u = u (x) 及 v = v (x) 都在點 x 處可導(dǎo), 那么 它們的和、差、積、商在x 處也可導(dǎo), u (x) v (x) 在點 x 處也具有導(dǎo)數(shù), 且 （2）u (x) v (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x)（1）u (x) v (x) = u (x) v (x)

2、； （3）【v (x) 0】證（3）取得增量 u, v, 函數(shù) 也取得增量 除法求導(dǎo)法則可簡單地表示為 當(dāng) x 取增量 x 時, 函數(shù) u (x), v (x) 分別乘積求導(dǎo)法則可簡單地表示為 (uv) = uv + uv. 推論1 設(shè) u (x) 在點 x 處可導(dǎo), C 為常數(shù), 則 (Cu) = Cu. 推論2 設(shè) u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在點 x 處均可導(dǎo), 則 (uvw) = uvw + uvw + uvw. 例1 y = x 4 + sinx ln3, 求 y .解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3)= 4x 3 + cosx

3、 . = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx. 例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y. 解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) 例3 例4 y = 2sinxcosxlnx, 求 y. 例5 y = tanx, 求 y. 即 (tanx) = sec 2x. 這就是正切函數(shù)的求導(dǎo)公式. 類似地可求余切函數(shù)的求導(dǎo)公式 (cotx) = csc 2x.例6 y = secx, 求 y. 即 (secx) = secxtanx. 這就是正割函數(shù)的求導(dǎo)公式. 類似地可求余

4、割函數(shù)的求導(dǎo)公式 (cscx) = cscxcotx. 二、反函數(shù)的求導(dǎo)公式 定理2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I y 上單調(diào)、可導(dǎo), 且 , 則它的反函數(shù) y = f (x) 在對應(yīng)區(qū)間 I x 上也單調(diào)、可導(dǎo), 且 簡言之，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)（不等于零）的倒數(shù).任取 x I x , 給 x 以增量, 由 y = f (x) 的因為 y = f (x)連續(xù), 故，從而 單調(diào)性可知 y = f (x + x) - f (x) 0, 于是證又例7. 求函數(shù)解:則類似可求得, 則的導(dǎo)數(shù).為函數(shù)類似可求得解：的反函數(shù)。例8. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：則特別當(dāng)時,例9. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。小結(jié):三、復(fù)合函數(shù)的

5、求導(dǎo)法則 定理3 設(shè)函數(shù) u = g (x) 在點 x 處可導(dǎo), 函數(shù) y = f (u) 在點 u = g (x) 處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù) y = f (g(x)在點 x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 設(shè) x 取增量 x, 則 u 取得相應(yīng)的增量 u, 因為 u = g (x) 可導(dǎo), 則必連續(xù), 所以 x 0 時, 當(dāng) u = 0時, 可以證明上述公式仍然成立. 從而 y 取得相應(yīng)的增量 y , 即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因此 當(dāng) u 0時, 有證中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自身變量的導(dǎo)數(shù). 設(shè) y = f (u), u = g (

6、v), v = h(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 則復(fù)合函數(shù) y = f (g(h(x) 對 x 的導(dǎo)數(shù)為 公式表明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對例10 y = lnsinx, 求 y. 解 設(shè) y = lnu, u = sinx, 則 例11 解 設(shè) 熟練之后, 計算時可以不寫出中間變量, 而直接寫出結(jié)果. 例12 例13 例14 y = lncos(e x), 求 y. 例15 例16 設(shè) x 0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (x ) =x -1. 證解：例17 設(shè)解： 設(shè)例18 設(shè)其中函數(shù)可導(dǎo)，求四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1. 基本導(dǎo)數(shù)公式 (1) (C) = 0;(2) (x ) = x -1;(3) (sinx) = cosx;(4) (cosx) = sinx;(5) (tanx) = sec2x;(6) (cotx) = - csc2x;(7) (secx) = secx tanx;(8) (cscx) = - cscxcotx;(9) (e x) = e x;(10) (a x) = a x lna; 2. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè) u = u(x), v = v(x) 均可導(dǎo), 則(1) (u v) = u v;(2) (uv) = uv + uv;(3) (Cu) = Cu;