線性代數(shù)：第二章小結(jié)

1、2.6.1 內(nèi)容框圖行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算行列式的應(yīng)用2.6.2 基本要求會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算二階和三階行列式。了解n階行列式的定義。知道行列式的性質(zhì)。掌握計(jì)算行列式的方法。掌握克萊姆法則。2.6.3內(nèi)容提要行列式的定義一階行列式，設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，則n階行列式定義為其中為的余子式，為的代數(shù)余子式。注1 一階行列式。注2 行列式是方陣A對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)，用記，不同階行列式可能不同，如 但不同階矩陣必不相同。特殊行列式的值(1)上三角行列式：(2)下三角行列式：(3)對(duì)角行列式：(4) (5) (6) (7) 范德蒙行列式： 其中為連乘積的符號(hào)。行列式的性質(zhì)方陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置

2、的行列式相同，即注 所有隊(duì)列成立的行列式性質(zhì)，對(duì)行也成立。（2）互換行列式中兩列（或行）的位置，行列式變號(hào)推論 如果行列式的兩列（或行）相同，則行列式為零。（3）某數(shù)乘行列式，等于用數(shù)乘它的某一列（或行）的所有元素，即 (*)其中 為 的列向量。 注 在(*)式的右端,數(shù)只能乘某一列(或行),其余列(或行)不變.推論1 數(shù)乘方陣A的行列式等于乘A的行列式,即推論2 如果行列式的一列(或行)為零,則行列式為零.推論3 如果行列式的兩列(或行)對(duì)應(yīng)成比例,則行列式為零.(4)A的行列式中某一列(或行)可分成兩個(gè)向量之和,則A的行列式等于分別由這兩個(gè)列(或行)向量取代 中這一列(或行)構(gòu)成行列式之和

3、,即注 式(*)稱為行列式的加法性質(zhì).推論 將行列式的某一列(或行)的任意*倍加到另一列(或行)上去,行列式不變.(5) 對(duì)于方陣A的行列式,有(6)設(shè)A,B為n階方陣,為A的伴隨矩陣,為A的逆矩陣,有 (7)設(shè)A為n階方陣,B為m階方陣,有注1 數(shù)乘的結(jié)果為用數(shù)乘A的每一個(gè)元素,而的結(jié)果為用數(shù)乘A的某一行或某一列的行列式值,如,應(yīng)為注2 A+B為同維矩陣對(duì)應(yīng)元素相加而成,但式子 一般不成立,例如而不是 注3 性質(zhì)4的推論是計(jì)算行列式的有效工具,即若則,其中中的第i行仍為中的第i行,中的第j行為中的第j行加上中的第i行的k倍.如, 而不是幾次運(yùn)算一起做時(shí)時(shí)應(yīng)注意次序,如而不是；4)行列式的計(jì)算(1)利用行列式的定義計(jì)算.(2)利用行列式的性質(zhì)直接計(jì)算.(3)利用行列式的性質(zhì)化為上(下)三角行列式計(jì)算.(4)利用遞推法計(jì)算.(5)利用范德蒙行列式計(jì)算.注 計(jì)算行列式一般是利用行列式的性質(zhì),化原行列式為特殊行列式計(jì)算,或由遞推公式計(jì)算.5)行列式的應(yīng)用(1)n階方陣A為可逆陣的充分必要條件是,此時(shí),有逆陣公式 (* * *)其中為A的伴隨陣,為的代數(shù)余子式.注1(*)式由公式導(dǎo)出,其具有一定的理論價(jià)值.注2 (2)克萊姆法則對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b當(dāng)時(shí),方程組有唯一解,