2023屆高三數(shù)學單元卷三《一元函數(shù)的導數(shù)及其應用》能力提升卷(及答案)_第1頁
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文檔簡介

1、單元卷三一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(能力提升卷)題號123456789101112答案一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.2021江西六校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)(x2x1)ex,則f(x)的圖象在點(0,f(0)處的切線方程為()A.xy10 B.xy10C.2xy10 D.2xy102.2022蘭州一模已知函數(shù)f(x)eq f(1,6)x3eq f(1,2)ax2bx(a0,b0)的一個極值點為1,則ab的最大值為()A.1 B.eq f(1,2) C.eq f(1,4) D.eq f(1,16)3.2021安徽合肥一模意大利

2、著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690年,雅各布伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學界征求答案.1691年他的弟弟約翰伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案,給出懸鏈線的數(shù)學表達式雙曲余弦函數(shù):f(x)cacosheq f(x,a)caeq f(ef(x,a)ef(x,a),2)(e為自然對數(shù)的底數(shù)).當c0,a1時,記pf(1),mfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2),nf(2),則p,m,n的大小關系為()A.pmn B.nmpC.mpn D.mnp4.2021廣東深圳模擬已知函數(shù)f(x)eq f(a,x)ln x1有

3、且僅有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(,01 B.0,1C.(,02 D.0,25.2021蘭州模擬已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù),若在R上有f(x)f(x)恒成立,且f(1)e(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則下列結(jié)論正確的是()A.f(0)1 B.f(0)1C.f(2)e26.2022河南三市聯(lián)考設0 x1,則aeq f(ex,x),beq blc(rc)(avs4alco1(f(ex,x)eq sup12(2),ceq f(ex2,x2)的大小關系是()A.abc B.acbC.cab D.bac7.2021江蘇蘇州模擬若a,b,cD,g(a),g(b),g(c)可以作為一個三角形的

4、三條邊長,則稱函數(shù)g(x)是區(qū)間D上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)eq f(ln x,x)m是區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,e2),e2)上的“穩(wěn)定函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(2ef(1,e),) B.eq blc(rc)(avs4alco1(2e2f(1,e),)C.eq blc(rc)(avs4alco1(4ef(1,e),) D.eq blc(rc)(avs4alco1(4e2f(1,e),)8.2021北京東城區(qū)期末已知函數(shù)f(x)ln xm與g(x)x2eq f(7,3)x的圖象在區(qū)間1,3上存在關于x軸對稱的點

5、,則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(ln 32,ln f(3,2)f(5,4) B.eq blcrc(avs4alco1(ln 32,f(4,3)C.eq blcrc(avs4alco1(f(4,3),lnf(3,2)f(5,4) D.eq blcrc(avs4alco1(f(5,4),f(4,3)二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.2021山東淄博二模已知e是自然對數(shù)的底數(shù),則下列不等關系中不正確的是()A.ln 2eq f(2,e) B.ln

6、 3eq f(3,e)C.ln eq f(,e) D.eq f(ln 3,ln )eq f(3,)10.2021廣西桂林、崇左調(diào)研已知函數(shù)f(x)x33x23,則下列選項正確的是()A.函數(shù)yf(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線方程為3xy40B.函數(shù)yf(x)有3個零點C.函數(shù)yf(x)在x2處取得極大值D.函數(shù)yf(x)的圖象關于點(1,1)對稱11.2022重慶二模已知函數(shù)f(x)x4ax2ax1(a0),則()A.存在a使得f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間B.f(x)有最小值C.存在a使得f(x)有小于0的極值點D.當x10 x2,且x1x20時,f(x1)f(x2)12.2021山東德州

7、二模已知函數(shù)f(x)eq f(ln x,x),則()A.f(2)f(5)B.若f(x)m有兩個不相等的實根x1,x2,則x1x2e2C.ln 2eq r(f(2,e)D.若2x3y,x,y均為正數(shù),則2x3y三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.2021漳州八校聯(lián)考若函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3eq f(a,2)x2(3a)xb有三個不同的單調(diào)區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是_.14.2021中山模擬已知函數(shù)f(x)x22xa,g(x)ln x2x,如果存在x1eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2),使得對任意的x2eq blcrc(avs4alco1(f(1

8、,2),2),都有f(x1)g(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是_.15.2021山東青島一模定義方程f(x)f(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點”.若函數(shù)g(x)eq f(1,2)x,h(x)ln 2x,(x)sin x(0 x)的“新駐點”分別為,則,的大小關系為_.16.2022河南焦作模擬已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,),其導函數(shù)為f(x),且滿足f(x)0,f(x)f(x)0,若0 x11x2,且x1x21.給出以下不等式:f(x1)ex2x1f(x2);x1f(x2)x2f(x1);x1f(x1)x2f(x2);f(x2)(1x1)f(x1).其中正確的有_(填寫所有正

9、確的不等式的序號).四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)2021河南周口中英文學校月考若函數(shù)f(x)ax3bx4,當x2時,函數(shù)f(x)有極值eq f(4,3).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若方程f(x)k有3個不同的根,求實數(shù)k的取值范圍.18.(12分)2022山東濟南期末已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(a(x1)ex,x0,,x2axf(1,2),x0.)(1)若a2,求f(x)的最小值;(2)若f(x)恰好有三個零點,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)2021山西太原名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)exa(x1

10、)2(aR).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若xa,),不等式f(x)3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.20.(12分)2021江西南昌一模已知函數(shù)f(x)(xb)exeq f(a,2)(xb1)2(a0,bR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若b2,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求證:ea1b.21.(12分)2021廣東惠州模擬已知實數(shù)a0,函數(shù)f(x)eq f(2,x)a2xaln x,x(0,10).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若x1是函數(shù)f(x)的極值點,曲線yf(x)在點P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)(x1x2)處的切線分別為l1,l2

11、,且l1,l2在y軸上的截距分別為b1,b2.若l1l2,求b1b2的取值范圍.22.(12分)2022鄭州二模已知函數(shù)f(x)xexaln xe(aR).(1)當a2e時,不等式f(x)mxm在1,)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若a0時,f(x)的最小值為g(a),求g(a)的最大值以及此時a的值.單元卷三一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(能力提升卷)1.D因為f(x)(x2x1)ex,所以f(x)(x23x2)ex,f(0)1,f(0)2,則f(x)的圖象在點(0,f(0)處的切線方程為y12(x0),即2xy10,故選D.2.D由題意,得f(x)eq f(1,2)x2axb.因為1是函數(shù)f

12、(x)的一個極值點,所以f(1)eq f(1,2)ab0,所以abeq f(1,2),所以abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)eq f(1,16),當且僅當abeq f(1,4)時等號成立,所以ab的最大值為eq f(1,16),故選D.3.C由題意知,當c0,a1時,f(x)eq f(exex,2),f(x)eq f(exex,2)eq f(e2x1,2ex),當x0時,f(x)0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,f(1)eq f(e1e,2)f(1),0eq f(1,2)12,feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(

13、1)f(2),即mpn,故選C.4.A由函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,得方程f(x)0在(0,)上只有一個解,即axxln x,x0只有一個解,令g(x)xxln x,x0,則g(x)ln x,當x(0,1)時,g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當x(1,)時,g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,且g(1)1,作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,則當a0或a1時,f(x)0在(0,)上只有一個解,故選A.5.C設g(x)eq f(f(x),ex),則g(x)eq f(f(x)f(x),ex),又因為f(x)f(x)在R上恒成立,所以g(x)eq f(f(x)f(x),ex)0在R上恒成立,所以函數(shù)g

14、(x)eq f(f(x),ex)在R上單調(diào)遞減,則g(2)g(1),即eq f(f(2),e2)eq f(f(1),e)1,所以f(2)e2.故選C.6.B設f(x)eq f(ex,x),則f(x)eq f(ex(x1),x2),當x(0,1)時,f(x)0,則f(x)在(0,1)上為減函數(shù),x22x,ex2e2x,則eq f(ex2,x2)eq f(e2x,x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ex,x)eq sup12(2),故bc.又0 x2x1,f(x2)f(x),則eq f(ex2,x2)eq f(ex,x),故ca,所以acb,故選B.7.Df(x)eq f(1ln

15、x,x2),當xeq blcrc)(avs4alco1(f(1,e2),e)時,f(x)0;當x(e,e2時,f(x)0;f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e2),e)上單調(diào)遞增,在(e,e2上單調(diào)遞減,f(x)maxf(e)eq f(1,e)m,又feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e2)2e2m,f(e2)eq f(2,e2)m,f(x)min2e2m,由“穩(wěn)定函數(shù)”定義可知:2f(x)minf(x)max,即2(2e2m)eq f(1,e)m,解得m4e2eq f(1,e),即實數(shù)m的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(4e2f(1

16、,e),).故選D.8.A由題可知函數(shù)f(x)ln xm與yx2eq f(7,3)x的圖象在區(qū)間1,3上存在公共點,即方程ln xmx2eq f(7,3)x0在區(qū)間1,3內(nèi)有解,即方程mln xx2eq f(7,3)x在區(qū)間1,3內(nèi)有解.令h(x)ln xx2eq f(7,3)x(x1,3),則h(x)eq f(1,x)2xeq f(7,3)eq f((3x1)(2x3),3x),所以當x1,3時,h(x),h(x)隨x的變化情況如下表:x1eq blc(rc)(avs4alco1(1,f(3,2)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2),3)3h(x)0h(x

17、)eq f(4,3)ln eq f(3,2)eq f(5,4)ln 32由上表可知h(1)eq f(4,3),h(3)ln 32eq f(4,3),heq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)ln eq f(3,2)eq f(5,4),所以當x1,3時,h(x)eq blcrc(avs4alco1(ln 32,ln f(3,2)f(5,4),故m的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(ln 32,ln f(3,2)f(5,4),故選A.9.ACD令f(x)ln xeq f(x,e),則f(x)eq f(1,x)eq f(1,e),當0 xe時f(x)0,當xe時,f(x)

18、0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,)上單調(diào)遞減,故f(x)maxf(e)ln eeq f(e,e)0,則f(2)ln 2eq f(2,e)0,得ln 2eq f(2,e),故A錯誤;f(3)ln 3eq f(3,e)0,得ln 3eq f(3,e),故B正確;f()ln eq f(,e)0,得ln eq f(,e),故C錯誤;對D項,令g(x)eq f(ln x,x),則g(x)eq f(1ln x,x2),當0 xe時,g(x)0,當xe時,g(x)0,所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,)上單調(diào)遞減,則g(3)g(),得eq f(ln 3,3)eq f(ln ,),即

19、eq f(ln 3,ln )eq f(3,),故D錯誤,故選ACD.10.ABDA項,f(x)3x26x,f(1)363,且f(1)1331,函數(shù)yf(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線方程為3xy40,A正確;B項,令f(x)3x26x0,解得x0或x2,函數(shù)yf(x)在(,0)和(2,)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減.又f(1)10,f(0)30,f(2)10,f(3)30,在(1,0),(0,2),(2,3)上各有一零點,即函數(shù)yf(x)有3個零點,B正確;C項,由B知函數(shù)yf(x)在x2處取得極小值,C錯誤;D項,令g(x)x33x,xR,g(x)x33xg(x),函數(shù)g(x)為

20、奇函數(shù),則g(x)的圖象關于原點對稱.將函數(shù)g(x)x33x的圖象向右平移一個單位長度再向上平移一個單位長度可得函數(shù)h(x)(x1)33(x1)1x33x23f(x)的圖象,函數(shù)yf(x)的圖象關于點(1,1)對稱,D為真命題.11.BCf(x)4x32axa,令g(x)f(x),則g(x)12x22a,當a0時,g(x)0,f(x)單調(diào)遞增,又f(eq r(3,a)3a2aeq r(3,a)0,f(0)a0,f(x)在(eq r(3,a),0)內(nèi)存在唯一零點,記為x0,則f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,f(x0)既是極小值又是最小值;當a0時,f(x)在eq blc(

21、rc)(avs4alco1(,r(f(a,6)和eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6),)上單調(diào)遞增,在eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6),r(f(a,6)上單調(diào)遞減,f(0)a0,feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(4,3)r(f(a,6),若aeq f(27,8),則feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)0,f(x)在(,0)上有兩個零點,記為x1,x2,在(0,)上有一個零點,記為x3,則f(x)在(,x1)和(x2,x3)上單調(diào)遞減,在(x1,x2

22、)和(x3,)上單調(diào)遞增,x1為小于0的極小值點,f(x1)和f(x3)中的較小者即為f(x)的最小值;若eq f(27,8)a0,則feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)0,f(x)只在(0,)上存在唯一零點,記為x4,f(x)在(,x4)上單調(diào)遞減,在(x4,)上單調(diào)遞增,f(x4)為最小值,故B,C正確,A錯誤;對于D,當x10 x2,且x1x20時,f(x1)f(x2)xeq oal(4,1)xeq oal(4,2)a(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)a(x1x2)(x1x2)(x1x2)(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)a)a,取

23、a(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2),則有f(x1)f(x2)0,故D錯誤.故選BC.12.AD對于A,f(2)eq f(ln 2,2)ln eq r(2),f(5)eq f(ln 5,5)lneq r(5,5),又(eq r(2)102532,(eq r(5,5)1025,3225,所以eq r(2)eq r(5,5),則有f(2)f(5),A正確;對于B,若f(x)m有兩個不相等的實根x1,x2,則x1x2e2,故B不正確;證明如下:函數(shù)f(x)eq f(ln x,x),定義域為(0,),則f(x)eq f(1ln x,x2),當f(x)0時,0 xe;當f(x)0時,xe

24、,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,)上單調(diào)遞減,則f(x)maxeq f(1,e),且xe時,有f(x)0,所以若f(x)m有兩個不相等的實根x1,x2,則有0meq f(1,e).不妨設x1x2,則有0 x1ex2,要證x1x2e2,只需證x2eq f(e2,x1),且x2eq f(e2,x1)e,又f(x1)f(x2),所以只需證f(x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1),令F(x)f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x)(0 xe),則有F(x)(1ln x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)f(1,

25、e2),當0 xe時,1ln x0,eq f(1,x2)eq f(1,e2)0,所以有F(x)0,即F(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,且F(e)0,所以F(x)0恒成立,即f(x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1),即f(x2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1),即x1x2e2.對于C,由B可知,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,則有f(2)f(e),即eq f(ln 2,2)eq f(ln e,e),則有l(wèi)n 2eq f(2,e)eq r(f(2,e),故C不正確.對于D,令2x3ym,x,y均為正數(shù),則m1,解得xlog2meq f(ln

26、m,ln 2),ylog3meq f(ln m,ln 3),2x3yeq f(2ln m,ln 2)eq f(3ln m,ln 3)(ln m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,ln 2)f(3,ln 3),f(2)f(3)eq f(ln 2,2)eq f(ln 3,3)eq f(3ln 22ln 3,6)eq f(ln 8ln 9,6)eq f(ln f(8,9),6)0,則有f(2)f(3),即0eq f(ln 2,2)eq f(ln 3,3),即eq f(2,ln 2)eq f(3,ln 3),所以2x3y0,故D正確.故選AD.13.(,6)(2,)f(x)x2ax3a

27、,要使f(x)有三個不同的單調(diào)區(qū)間,則f(x)0有兩個不同的實數(shù)根,故(a)24(3a)0,即a(,6)(2,).14.eq blc(rc(avs4alco1(,ln 2f(21,4)g(x)eq f(1,x)2eq f(12x,x)0,xeq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2),g(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2)上單調(diào)遞減,g(x)ming(2)ln 24.f(x)x22xa(x1)2a1,f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2)上單調(diào)遞增,f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f

28、(5,4)a.存在x1eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2),使得對任意的x2eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),2),都有f(x1)g(x2)成立,eq f(5,4)aln 24,aln 2eq f(21,4).15.由題意知g(x)eq f(1,2),所以eq f(1,2)eq f(1,2),則1.h(x)eq f(1,x),由ln 2xeq f(1,x),得ln 2eq f(1,),在(0,)上h(x)為增函數(shù),h(x)eq f(1,x)為減函數(shù),h(1)1h(1)ln 2,若01,則h()h(1)h(1)h(),故與h()h()矛盾,所以1.(x)co

29、s x,由cos xsin x得cos sin ,則tan 1,又(0,),eq f(,4)1,.16.設F(x)exf(x),則F(x)exf(x)f(x)0,由此可得F(x)單調(diào)遞減,所以ex1f(x1)ex2f(x2),即f(x1)ex2x1f(x2),故正確;因為f(x)0,f(x)f(x)0,所以f(x)0,所以f(x)單調(diào)遞減,所以f(x2)f(x1)eq f(x2,x1)f(x1),所以x1f(x2)x2f(x1),故正確;對于,由分析可知f(x1)ex2x1f(x2),欲使x1f(x1)x2f(x2),且x1x21,即f(x1)xeq oal(2,2)f(x2)成立,只需滿足e

30、x2eq f(1,x2)xeq oal(2,2)即可,即證x2eq f(1,x2)2ln x2(x21),設m(x)xeq f(1,x)2ln x,則m(x)1eq f(1,x2)eq f(2,x)eq f((x1)2,x2)0,則m(x)單調(diào)遞增,所以m(x2)m(1)0,故正確;對于,假設f(x2)(1x1)f(x1)成立,因為ex1f(x1)ex2f(x2),所以ex1eq f(1,x1)f(x1)f(x2),所以ex1eq f(1,x1)1x1,取x1eq f(1,2),則eeq f(3,2)eq f(1,2),所以eeq f(3,2)2不成立,故不正確.故答案為.17.解(1)f(x

31、)3ax2b,由題設得eq blc(avs4alco1(f(2)12ab0,,f(2)8a2b4f(4,3),)解得aeq f(1,3),b4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)eq f(1,3)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2),令f(x)0,得x2或x2.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)單調(diào)遞增eq f(28,3)單調(diào)遞減eq f(4,3)單調(diào)遞增因此,當x2時,f(x)有極大值eq f(28,3),當x2時,f(x)有極小值eq f(4,3),所以函數(shù)f(x)eq f(1,3)x34x4的圖象大致如圖

32、所示.若f(x)k有3個不同的根,則直線yk與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,所以eq f(4,3)keq f(28,3).綜上,實數(shù)k的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3),f(28,3).18.解(1)當a2時,f(x)eq blc(avs4alco1(2(x1)ex,x0,,x22xf(1,2),x0.)當x0時,f(x)2(x2)ex,所以f(x)在(,2)上單調(diào)遞減,在(2,0上單調(diào)遞增,此時f(x)的最小值為f(2)eq f(2,e2);當x0時,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,此時f(x)的最小值為f(1)eq f(1,2).因為e

33、q f(2,e2)eq f(1,2),所以f(x)的最小值為eq f(1,2).(2)顯然a0.因為當x0時,f(x)有且只有一個零點1,所以原命題等價于f(x)在(0,)上有兩個零點.所以eq blc(avs4alco1(a220,,a0,)解得aeq r(2),故實數(shù)a的取值范圍是(eq r(2),).19.解(1)f(x)exa,當a0時,f(x)exa0,f(x)在(,)上單調(diào)遞增.當a0時,由f(x)exa0,得xln a;由f(x)exa0,得xln a,所以f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增.綜上,當a0時,函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞增;當a0時,f

34、(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增.(2)當a0時,因為x0,所以f(x)ex23恒成立,所以a0符合題意;當a0時,由(1)知f(x)minf(a)f(0)a33,不符合題意;當a0時,由(1)知f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,f(x)在(ln a,)上單調(diào)遞增.下面先證明:aln a(a0).設g(x)xln x,因為g(x)1eq f(1,x)eq f(x1,x),所以當x(0,1)時,g(x)0,當x(1,)時,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)10,因此aln a.所以f(x)在a,)上單調(diào)遞增,所

35、以f(x)minf(a)eaa2a2.令h(x)exx2x2,則h(x)ex2x1.令u(x)ex2x1(x0),則u(x)ex2.由u(x)0,得xln 2;由u(x)0,得0 xln 2.所以u(x)在(0,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,)上單調(diào)遞增,所以u(x)u(ln 2)32ln 20,即當x0時,h(x)0,所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,所以當x0時,h(x)h(0)3,所以f(x)min3,所以f(x)3恒成立,故a0符合題意.綜上,實數(shù)a的取值范圍是0,).20.(1)解當b2時,f(x)(x2)exeq f(a,2)(x1)2,則f(x)(x1)exa(x1)(x1

36、)(exa),因為a0,所以分類討論:當ln a1,即0ae時,由f(x)0得ln ax1,由f(x)0得x1或xln a,此時f(x)在(,ln a),(1,)上單調(diào)遞增,在(ln a,1)上單調(diào)遞減;當ln a1,即ae時,由f(x)0得1xln a,由f(x)0得x1或xln a,此時f(x)在(,1),(ln a,)上單調(diào)遞增,在(1,ln a)上單調(diào)遞減;當ln a1,即ae時,f(x)0恒成立,此時f(x)在R上單調(diào)遞增.綜上,當0ae時,f(x)在(ln a,1)上單調(diào)遞減,在(,ln a),(1,)上單調(diào)遞增;當ae時,f(x)在(1,ln a)上單調(diào)遞減,在(,1),(ln

37、a,)上單調(diào)遞增;當ae時,f(x)在R上單調(diào)遞增.(2)證明f(x)(xb1)(exa),由f(x)在R上單調(diào)遞增,知(xb1)(exa)0恒成立,易知yxb1,yexa在R上均單調(diào)遞增,要使(xb1)(exa)0恒成立,則yxb1與yexa的零點相等,即b1ln a,即bln a1,故要證ea1b,只需證ln a1ea1.設g(a)ea1ln a1,則g(a)ea1eq f(1,a),易知g(a)在(0,)上單調(diào)遞增,且g(1)0,故由g(a)0,得0a1,由g(a)0,得a1,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,則g(a)g(1)0,即ln a1ea1,原不等式得證

38、.21.解(1)f(x)eq f(2,x2)a2eq f(a,x)eq f((ax2)(ax1),x2)(0 x10).a0,0 x10,ax20.當eq f(1,a)10,即aeq blc(rc(avs4alco1(0,f(1,10)時,f(x)0,f(x)在(0,10)上單調(diào)遞減;當0eq f(1,a)10,即aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10),)時,當xeq blc(rc)(avs4alco1(0,f(1,a)時,f(x)0;當xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a),10)時,f(x)0,f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0,f

39、(1,a)上單調(diào)遞減,在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a),10)上單調(diào)遞增.綜上所述,當aeq blc(rc(avs4alco1(0,f(1,10)時,f(x)在(0,10)上單調(diào)遞減;當aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10),)時,f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0,f(1,a)上單調(diào)遞減,在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a),10)上單調(diào)遞增.(2)x1是f(x)的極值點,f(1)0,即(a2)(a1)0,解得a1或a2(舍),此時f(x)eq f(2,x)xln x,f(x)eq f(2,x2)eq f(1,x)1.l1方程為yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x1)x1ln x1)eq blc(rc)(avs4alc

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