2023屆高三數(shù)學(xué)單元卷三《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》能力提升卷（及答案）

1、單元卷三一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(能力提升卷)題號(hào)123456789101112答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.2021江西六校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)(x2x1)ex，則f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為()A.xy10 B.xy10C.2xy10 D.2xy102.2022蘭州一模已知函數(shù)f(x)eq f(1,6)x3eq f(1,2)ax2bx(a0，b0)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則ab的最大值為()A.1 B.eq f(1,2) C.eq f(1,4) D.eq f(1,16)3.2021安徽合肥一模意大利

2、著名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地猜測(cè)鏈條自然下垂時(shí)的形狀是拋物線.直到1690年，雅各布伯努利正式提出該問(wèn)題為“懸鏈線”問(wèn)題并向數(shù)學(xué)界征求答案.1691年他的弟弟約翰伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式雙曲余弦函數(shù)：f(x)cacosheq f(x,a)caeq f(ef(x,a)ef(x,a),2)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).當(dāng)c0，a1時(shí)，記pf(1)，mfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，nf(2)，則p，m，n的大小關(guān)系為()A.pmn B.nmpC.mpn D.mnp4.2021廣東深圳模擬已知函數(shù)f(x)eq f(a,x)ln x1有

3、且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(，01 B.0，1C.(，02 D.0，25.2021蘭州模擬已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若在R上有f(x)f(x)恒成立，且f(1)e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()A.f(0)1 B.f(0)1C.f(2)e26.2022河南三市聯(lián)考設(shè)0 x1，則aeq f(ex,x)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(ex,x)eq sup12(2)，ceq f(ex2,x2)的大小關(guān)系是()A.abc B.acbC.cab D.bac7.2021江蘇蘇州模擬若a，b，cD，g(a)，g(b)，g(c)可以作為一個(gè)三角形的

4、三條邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)g(x)是區(qū)間D上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)eq f(ln x,x)m是區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,e2)，e2)上的“穩(wěn)定函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(2ef(1,e)，) B.eq blc(rc)(avs4alco1(2e2f(1,e)，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(4ef(1,e)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(4e2f(1,e)，)8.2021北京東城區(qū)期末已知函數(shù)f(x)ln xm與g(x)x2eq f(7,3)x的圖象在區(qū)間1，3上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)

5、，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(ln 32，ln f(3,2)f(5,4) B.eq blcrc(avs4alco1(ln 32，f(4,3)C.eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，lnf(3,2)f(5,4) D.eq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，f(4,3)二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2021山東淄博二模已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中不正確的是()A.ln 2eq f(2,e) B.ln

6、 3eq f(3,e)C.ln eq f(,e) D.eq f(ln 3,ln )eq f(3,)10.2021廣西桂林、崇左調(diào)研已知函數(shù)f(x)x33x23，則下列選項(xiàng)正確的是()A.函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為3xy40B.函數(shù)yf(x)有3個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)yf(x)在x2處取得極大值D.函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱11.2022重慶二模已知函數(shù)f(x)x4ax2ax1(a0)，則()A.存在a使得f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間B.f(x)有最小值C.存在a使得f(x)有小于0的極值點(diǎn)D.當(dāng)x10 x2，且x1x20時(shí)，f(x1)f(x2)12.2021山東德州

7、二模已知函數(shù)f(x)eq f(ln x,x)，則()A.f(2)f(5)B.若f(x)m有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，則x1x2e2C.ln 2eq r(f(2,e)D.若2x3y，x，y均為正數(shù)，則2x3y三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2021漳州八校聯(lián)考若函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3eq f(a,2)x2(3a)xb有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.14.2021中山模擬已知函數(shù)f(x)x22xa，g(x)ln x2x，如果存在x1eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，使得對(duì)任意的x2eq blcrc(avs4alco1(f(1

8、,2)，2)，都有f(x1)g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.15.2021山東青島一模定義方程f(x)f(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)eq f(1,2)x，h(x)ln 2x，(x)sin x(0 x)的“新駐點(diǎn)”分別為，則，的大小關(guān)系為_(kāi).16.2022河南焦作模擬已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)0，f(x)f(x)0，若0 x11x2，且x1x21.給出以下不等式：f(x1)ex2x1f(x2)；x1f(x2)x2f(x1)；x1f(x1)x2f(x2)；f(x2)(1x1)f(x1).其中正確的有_(填寫(xiě)所有正

9、確的不等式的序號(hào)).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)2021河南周口中英文學(xué)校月考若函數(shù)f(x)ax3bx4，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值eq f(4,3).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.(12分)2022山東濟(jì)南期末已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(a（x1）ex，x0，,x2axf(1,2)，x0.)(1)若a2，求f(x)的最小值；(2)若f(x)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.(12分)2021山西太原名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)exa(x1

10、)2(aR).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若xa，)，不等式f(x)3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.(12分)2021江西南昌一模已知函數(shù)f(x)(xb)exeq f(a,2)(xb1)2(a0，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若b2，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增，求證：ea1b.21.(12分)2021廣東惠州模擬已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)eq f(2,x)a2xaln x，x(0，10).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)(x1x2)處的切線分別為l1，l2

11、，且l1，l2在y軸上的截距分別為b1，b2.若l1l2，求b1b2的取值范圍.22.(12分)2022鄭州二模已知函數(shù)f(x)xexaln xe(aR).(1)當(dāng)a2e時(shí)，不等式f(x)mxm在1，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若a0時(shí)，f(x)的最小值為g(a)，求g(a)的最大值以及此時(shí)a的值.單元卷三一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(能力提升卷)1.D因?yàn)閒(x)(x2x1)ex，所以f(x)(x23x2)ex，f(0)1，f(0)2，則f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y12(x0)，即2xy10，故選D.2.D由題意，得f(x)eq f(1,2)x2axb.因?yàn)?是函數(shù)f

12、(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f(1)eq f(1,2)ab0，所以abeq f(1,2)，所以abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)eq f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,4)時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為eq f(1,16)，故選D.3.C由題意知，當(dāng)c0，a1時(shí)，f(x)eq f(exex,2)，f(x)eq f(exex,2)eq f(e2x1,2ex)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(1)eq f(e1e,2)f(1)，0eq f(1,2)12，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(

13、1)f(2)，即mpn，故選C.4.A由函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得方程f(x)0在(0，)上只有一個(gè)解，即axxln x，x0只有一個(gè)解，令g(x)xxln x，x0，則g(x)ln x，當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，且g(1)1，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，則當(dāng)a0或a1時(shí)，f(x)0在(0，)上只有一個(gè)解，故選A.5.C設(shè)g(x)eq f(f（x）,ex)，則g(x)eq f(f（x）f（x）,ex)，又因?yàn)閒(x)f(x)在R上恒成立，所以g(x)eq f(f（x）f（x）,ex)0在R上恒成立，所以函數(shù)g

14、(x)eq f(f（x）,ex)在R上單調(diào)遞減，則g(2)g(1)，即eq f(f（2）,e2)eq f(f（1）,e)1，所以f(2)e2.故選C.6.B設(shè)f(x)eq f(ex,x)，則f(x)eq f(ex（x1）,x2)，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，則f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，x22x，ex2e2x，則eq f(ex2,x2)eq f(e2x,x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ex,x)eq sup12(2)，故bc.又0 x2x1，f(x2)f(x)，則eq f(ex2,x2)eq f(ex,x)，故ca，所以acb，故選B.7.Df(x)eq f(1ln

15、x,x2)，當(dāng)xeq blcrc)(avs4alco1(f(1,e2)，e)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(e，e2時(shí)，f(x)0；f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e2)，e)上單調(diào)遞增，在(e，e2上單調(diào)遞減，f(x)maxf(e)eq f(1,e)m，又feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e2)2e2m，f(e2)eq f(2,e2)m，f(x)min2e2m，由“穩(wěn)定函數(shù)”定義可知：2f(x)minf(x)max，即2(2e2m)eq f(1,e)m，解得m4e2eq f(1,e)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(4e2f(1

16、,e)，).故選D.8.A由題可知函數(shù)f(x)ln xm與yx2eq f(7,3)x的圖象在區(qū)間1，3上存在公共點(diǎn)，即方程ln xmx2eq f(7,3)x0在區(qū)間1，3內(nèi)有解，即方程mln xx2eq f(7,3)x在區(qū)間1，3內(nèi)有解.令h(x)ln xx2eq f(7,3)x(x1，3)，則h(x)eq f(1,x)2xeq f(7,3)eq f(（3x1）（2x3）,3x)，所以當(dāng)x1，3時(shí)，h(x)，h(x)隨x的變化情況如下表：x1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)3h(x)0h(x

17、)eq f(4,3)ln eq f(3,2)eq f(5,4)ln 32由上表可知h(1)eq f(4,3)，h(3)ln 32eq f(4,3)，heq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)ln eq f(3,2)eq f(5,4)，所以當(dāng)x1，3時(shí)，h(x)eq blcrc(avs4alco1(ln 32，ln f(3,2)f(5,4)，故m的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(ln 32，ln f(3,2)f(5,4)，故選A.9.ACD令f(x)ln xeq f(x,e)，則f(x)eq f(1,x)eq f(1,e)，當(dāng)0 xe時(shí)f(x)0，當(dāng)xe時(shí)，f(x)

18、0，所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，故f(x)maxf(e)ln eeq f(e,e)0，則f(2)ln 2eq f(2,e)0，得ln 2eq f(2,e)，故A錯(cuò)誤；f(3)ln 3eq f(3,e)0，得ln 3eq f(3,e)，故B正確；f()ln eq f(,e)0，得ln eq f(,e)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D項(xiàng)，令g(x)eq f(ln x,x)，則g(x)eq f(1ln x,x2)，當(dāng)0 xe時(shí)，g(x)0，當(dāng)xe時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，則g(3)g()，得eq f(ln 3,3)eq f(ln ,)，即

19、eq f(ln 3,ln )eq f(3,)，故D錯(cuò)誤，故選ACD.10.ABDA項(xiàng)，f(x)3x26x，f(1)363，且f(1)1331，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為3xy40，A正確；B項(xiàng)，令f(x)3x26x0，解得x0或x2，函數(shù)yf(x)在(，0)和(2，)上單調(diào)遞增，在(0，2)上單調(diào)遞減.又f(1)10，f(0)30，f(2)10，f(3)30，在(1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)，由B知函數(shù)yf(x)在x2處取得極小值，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，令g(x)x33x，xR，g(x)x33xg(x)，函數(shù)g(x)為

20、奇函數(shù)，則g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.將函數(shù)g(x)x33x的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)h(x)(x1)33(x1)1x33x23f(x)的圖象，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，D為真命題.11.BCf(x)4x32axa，令g(x)f(x)，則g(x)12x22a，當(dāng)a0時(shí)，g(x)0，f(x)單調(diào)遞增，又f(eq r(3,a)3a2aeq r(3,a)0，f(0)a0，f(x)在(eq r(3,a)，0)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，記為x0，則f(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，f(x0)既是極小值又是最小值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在eq blc(

21、rc)(avs4alco1(，r(f(a,6)和eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)，)上單調(diào)遞增，在eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)，r(f(a,6)上單調(diào)遞減，f(0)a0，feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(4,3)r(f(a,6)，若aeq f(27,8)，則feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)0，f(x)在(，0)上有兩個(gè)零點(diǎn)，記為x1，x2，在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)，記為x3，則f(x)在(，x1)和(x2，x3)上單調(diào)遞減，在(x1，x2

22、)和(x3，)上單調(diào)遞增，x1為小于0的極小值點(diǎn)，f(x1)和f(x3)中的較小者即為f(x)的最小值；若eq f(27,8)a0，則feq blc(rc)(avs4alco1(r(f(a,6)0，f(x)只在(0，)上存在唯一零點(diǎn)，記為x4，f(x)在(，x4)上單調(diào)遞減，在(x4，)上單調(diào)遞增，f(x4)為最小值，故B，C正確，A錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x10 x2，且x1x20時(shí)，f(x1)f(x2)xeq oal(4,1)xeq oal(4,2)a(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)a(x1x2)(x1x2)(x1x2)(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)a)a，取

23、a(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)，則有f(x1)f(x2)0，故D錯(cuò)誤.故選BC.12.AD對(duì)于A，f(2)eq f(ln 2,2)ln eq r(2)，f(5)eq f(ln 5,5)lneq r(5,5)，又(eq r(2)102532，(eq r(5,5)1025，3225，所以eq r(2)eq r(5,5)，則有f(2)f(5)，A正確；對(duì)于B，若f(x)m有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，則x1x2e2，故B不正確；證明如下：函數(shù)f(x)eq f(ln x,x)，定義域?yàn)?0，)，則f(x)eq f(1ln x,x2)，當(dāng)f(x)0時(shí)，0 xe；當(dāng)f(x)0時(shí)，xe

24、，所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，則f(x)maxeq f(1,e)，且xe時(shí)，有f(x)0，所以若f(x)m有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，則有0meq f(1,e).不妨設(shè)x1x2，則有0 x1ex2，要證x1x2e2，只需證x2eq f(e2,x1)，且x2eq f(e2,x1)e，又f(x1)f(x2)，所以只需證f(x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1)，令F(x)f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x)(0 xe)，則有F(x)(1ln x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)f(1,

25、e2)，當(dāng)0 xe時(shí)，1ln x0，eq f(1,x2)eq f(1,e2)0，所以有F(x)0，即F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，且F(e)0，所以F(x)0恒成立，即f(x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1)，即f(x2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(e2,x1)，即x1x2e2.對(duì)于C，由B可知，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，則有f(2)f(e)，即eq f(ln 2,2)eq f(ln e,e)，則有l(wèi)n 2eq f(2,e)eq r(f(2,e)，故C不正確.對(duì)于D，令2x3ym，x，y均為正數(shù)，則m1，解得xlog2meq f(ln

26、m,ln 2)，ylog3meq f(ln m,ln 3)，2x3yeq f(2ln m,ln 2)eq f(3ln m,ln 3)(ln m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,ln 2)f(3,ln 3)，f(2)f(3)eq f(ln 2,2)eq f(ln 3,3)eq f(3ln 22ln 3,6)eq f(ln 8ln 9,6)eq f(ln f(8,9),6)0，則有f(2)f(3)，即0eq f(ln 2,2)eq f(ln 3,3)，即eq f(2,ln 2)eq f(3,ln 3)，所以2x3y0，故D正確.故選AD.13.(，6)(2，)f(x)x2ax3a

27、，要使f(x)有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則f(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故(a)24(3a)0，即a(，6)(2，).14.eq blc(rc(avs4alco1(，ln 2f(21,4)g(x)eq f(1,x)2eq f(12x,x)0，xeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，g(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上單調(diào)遞減，g(x)ming(2)ln 24.f(x)x22xa(x1)2a1，f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上單調(diào)遞增，f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f

28、(5,4)a.存在x1eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，使得對(duì)任意的x2eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，都有f(x1)g(x2)成立，eq f(5,4)aln 24，aln 2eq f(21,4).15.由題意知g(x)eq f(1,2)，所以eq f(1,2)eq f(1,2)，則1.h(x)eq f(1,x)，由ln 2xeq f(1,x)，得ln 2eq f(1,)，在(0，)上h(x)為增函數(shù)，h(x)eq f(1,x)為減函數(shù)，h(1)1h(1)ln 2，若01，則h()h(1)h(1)h()，故與h()h()矛盾，所以1.(x)co

29、s x，由cos xsin x得cos sin ，則tan 1，又(0，)，eq f(,4)1，.16.設(shè)F(x)exf(x)，則F(x)exf(x)f(x)0，由此可得F(x)單調(diào)遞減，所以ex1f(x1)ex2f(x2)，即f(x1)ex2x1f(x2)，故正確；因?yàn)閒(x)0，f(x)f(x)0，所以f(x)0，所以f(x)單調(diào)遞減，所以f(x2)f(x1)eq f(x2,x1)f(x1)，所以x1f(x2)x2f(x1)，故正確；對(duì)于，由分析可知f(x1)ex2x1f(x2)，欲使x1f(x1)x2f(x2)，且x1x21，即f(x1)xeq oal(2,2)f(x2)成立，只需滿足e

30、x2eq f(1,x2)xeq oal(2,2)即可，即證x2eq f(1,x2)2ln x2(x21)，設(shè)m(x)xeq f(1,x)2ln x，則m(x)1eq f(1,x2)eq f(2,x)eq f(（x1）2,x2)0，則m(x)單調(diào)遞增，所以m(x2)m(1)0，故正確；對(duì)于，假設(shè)f(x2)(1x1)f(x1)成立，因?yàn)閑x1f(x1)ex2f(x2)，所以ex1eq f(1,x1)f(x1)f(x2)，所以ex1eq f(1,x1)1x1，取x1eq f(1,2)，則eeq f(3,2)eq f(1,2)，所以eeq f(3,2)2不成立，故不正確.故答案為.17.解(1)f(x

31、)3ax2b，由題設(shè)得eq blc(avs4alco1(f（2）12ab0，,f（2）8a2b4f(4,3)，)解得aeq f(1,3)，b4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)eq f(1,3)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增eq f(28,3)單調(diào)遞減eq f(4,3)單調(diào)遞增因此，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值eq f(28,3)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值eq f(4,3)，所以函數(shù)f(x)eq f(1,3)x34x4的圖象大致如圖

32、所示.若f(x)k有3個(gè)不同的根，則直線yk與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以eq f(4,3)keq f(28,3).綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(28,3).18.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)eq blc(avs4alco1(2（x1）ex，x0，,x22xf(1,2)，x0.)當(dāng)x0時(shí)，f(x)2(x2)ex，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，0上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)的最小值為f(2)eq f(2,e2)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)的最小值為f(1)eq f(1,2).因?yàn)閑

33、q f(2,e2)eq f(1,2)，所以f(x)的最小值為eq f(1,2).(2)顯然a0.因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)1，所以原命題等價(jià)于f(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn).所以eq blc(avs4alco1(a220，,a0，)解得aeq r(2)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(eq r(2)，).19.解(1)f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)exa0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增.當(dāng)a0時(shí)，由f(x)exa0，得xln a；由f(x)exa0，得xln a，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f

34、(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤0，所以f(x)ex23恒成立，所以a0符合題意；當(dāng)a0時(shí)，由(1)知f(x)minf(a)f(0)a33，不符合題意；當(dāng)a0時(shí)，由(1)知f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，f(x)在(ln a，)上單調(diào)遞增.下面先證明：aln a(a0).設(shè)g(x)xln x，因?yàn)間(x)1eq f(1,x)eq f(x1,x)，所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(1)10，因此aln a.所以f(x)在a，)上單調(diào)遞增，所

35、以f(x)minf(a)eaa2a2.令h(x)exx2x2，則h(x)ex2x1.令u(x)ex2x1(x0)，則u(x)ex2.由u(x)0，得xln 2；由u(x)0，得0 xln 2.所以u(píng)(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以u(píng)(x)u(ln 2)32ln 20，即當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，h(x)h(0)3，所以f(x)min3，所以f(x)3恒成立，故a0符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，).20.(1)解當(dāng)b2時(shí)，f(x)(x2)exeq f(a,2)(x1)2，則f(x)(x1)exa(x1)(x1

36、)(exa)，因?yàn)閍0，所以分類討論：當(dāng)ln a1，即0ae時(shí)，由f(x)0得ln ax1，由f(x)0得x1或xln a，此時(shí)f(x)在(，ln a)，(1，)上單調(diào)遞增，在(ln a，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)ln a1，即ae時(shí)，由f(x)0得1xln a，由f(x)0得x1或xln a，此時(shí)f(x)在(，1)，(ln a，)上單調(diào)遞增，在(1，ln a)上單調(diào)遞減；當(dāng)ln a1，即ae時(shí)，f(x)0恒成立，此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)0ae時(shí)，f(x)在(ln a，1)上單調(diào)遞減，在(，ln a)，(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(1，ln a)上單調(diào)遞減，在(，1)，(ln

37、a，)上單調(diào)遞增；當(dāng)ae時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增.(2)證明f(x)(xb1)(exa)，由f(x)在R上單調(diào)遞增，知(xb1)(exa)0恒成立，易知yxb1，yexa在R上均單調(diào)遞增，要使(xb1)(exa)0恒成立，則yxb1與yexa的零點(diǎn)相等，即b1ln a，即bln a1，故要證ea1b，只需證ln a1ea1.設(shè)g(a)ea1ln a1，則g(a)ea1eq f(1,a)，易知g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，故由g(a)0，得0a1，由g(a)0，得a1，所以g(a)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，則g(a)g(1)0，即ln a1ea1，原不等式得證

38、.21.解(1)f(x)eq f(2,x2)a2eq f(a,x)eq f(（ax2）（ax1）,x2)(0 x10).a0，0 x10，ax20.當(dāng)eq f(1,a)10，即aeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,10)時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減；當(dāng)0eq f(1,a)10，即aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)，)時(shí)，當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，10)時(shí)，f(x)0，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f

39、(1,a)上單調(diào)遞減，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，10)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)aeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,10)時(shí)，f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減；當(dāng)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)，)時(shí)，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上單調(diào)遞減，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，10)上單調(diào)遞增.(2)x1是f(x)的極值點(diǎn)，f(1)0，即(a2)(a1)0，解得a1或a2(舍)，此時(shí)f(x)eq f(2,x)xln x，f(x)eq f(2,x2)eq f(1,x)1.l1方程為yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x1)x1ln x1)eq blc(rc)(avs4alc