中考備考中的二次函數(shù)問題（李柏生）

1、PAGE PAGE 8中考備考中的二次函數(shù)問題 拋物線上求點(diǎn)的坐標(biāo)的技巧與方法歸納武漢市漢鐵初中 李柏生二次函數(shù)問題，一直是中考中的一個難點(diǎn)問題，近年來，二次函數(shù)問題經(jīng)常被很多省市作為中考的壓軸題，它是幾何問題與函數(shù)問題的綜合題，幾乎涵蓋所有的幾何考點(diǎn)和函數(shù)考點(diǎn)，加之對代數(shù)中等式的變形，方程的思想等都有較高的要求。這個問題一直是教師在指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生感到困難的問題，而很多二次函數(shù)問題都涉及到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，對于這類問題的求解技巧與方法筆者作了以下的歸類和總結(jié)：一、當(dāng)直線與拋物線相交時，可以采用直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方法求解。例1：已知拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)

2、（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），且AB2，交y軸于點(diǎn)C。（1）求這個拋物的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得銳角MCA的正切值大于3？若存在，求出點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由。分析：本題第（2）題主要求出M橫坐標(biāo)的最大值和最小值的零界值，由畫圖象可知：當(dāng)時，有最大值，當(dāng)MC與AC垂直時，有最小值，而求解方法可以利用，所在的直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，求出的坐標(biāo)。簡解：當(dāng)時，過A作ACAK交的延長線于K。Rt中，過K作KD軸，垂足為D。1+290，2+390，13又KDAAOC90，KDAAOC，DA3CO9，DK3AO9KC：，（舍） 過C作ACM2C交拋物線于M2過M2作M2E

3、y軸，垂足為E，易得M2CE為等腰Rt, （舍） 成立，不成立M的橫坐標(biāo)的范圍為例2：如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于另外一點(diǎn)B。（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且DBP45，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：由（1）（2）可知：，本題求解方法眾多，其中一種方法利用BP直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立求得。簡解：過D作DKBD交BP的延長線于K。過D作DFx軸，垂足為F，過K作KEDF，垂足為E，由DKB為等腰Rt, 可得DKEBDFBFDE1，KEDF4，K（1，3）KB：，解得（舍） 當(dāng)時

4、，二、可以利用幾何手段求出拋物線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，用同一字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得。求拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，可由該點(diǎn)向軸，軸引垂線，可以考慮相似、全等、勾股定理、面積、特殊圖形的性質(zhì)等找出該點(diǎn)到軸，軸垂線段的長度的數(shù)量關(guān)系，從而用同一字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式，即可解得。例3：已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P為拋物線上的點(diǎn)，且在第二象限，若POA的面積等于POB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：由（1）可得過P分別作軸的垂線，垂足分別為F、E點(diǎn)，實(shí)際上是POB與POA的高之比。利用面積比和底之比從而求出高之比。簡解：如

5、圖，當(dāng)，即AO3又，AOPF，OBPE2，設(shè)PF3m，PE2m，將其代入解析式，中解得，（舍）例4：拋物線經(jīng)過點(diǎn)交軸于A，B（A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)，且OC3OA。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為軸上方拋物線上的一點(diǎn)，若PCB與AOC相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)。分析：由PCB與AOC相似，可能是PCBAOC，也可能是CPBAOC。由（1）可得若CPBAOC，如圖1過P分別作軸的垂線，垂足分別為E、F，由CPBAOC，可得AOCCPB90，從而PCFPBE，若PCBAOC，如圖2，由PCBAOC，AOCPCB90，過P作PGy軸。得PGCCOB，從而可求P。簡解：若CPBAOC，如圖1，AOCCPB90，

6、1+290，2+390，23.又PFCPEB90PFCPEB，設(shè)PE=m，PE3m，將其代入解析式中，解得（舍）若PCBAOC如圖2，BOC為等腰RtBCO45，又PCB90，PCG45又PGC90，PCG為等腰Rt，設(shè)，代入解析式中，（舍），三、設(shè)拋物線上的點(diǎn)為，用解方程組的方法求出的值，從而求得P的坐標(biāo)。法拋物線上的點(diǎn)向軸分別作了垂線之后，無法通過幾何手段找出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系時，可以用兩個字母設(shè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，但需要兩個等式聯(lián)立成方程組來求。拋物線的解析式可作為一個等式，另一個等式可以通過幾何手段，比如利用相似、勾股定理、面積、全等等找到等量。例5：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與

7、軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，且OBOC3OA。（1）求拋物線的解析式；（2）若CH/軸交掃物線的對稱軸于H，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MHDM？求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。分析：由本題（1）可知：C（0，3），A（1，0），B（3，0）第（2）問中，H（2，3）若過M作軸與軸的垂線，找不到M到軸的垂線段的長，而且利用好條件MHDM，我們可以設(shè)，一方面有，另一方面有可得，從而通過聯(lián)立解方程組求得。簡解：當(dāng)M在拋物線的對稱軸右側(cè)時，過M作MG對稱軸，垂足為G，設(shè)RtHMD中，由MGHD，又，解得（舍），當(dāng)M在拋物線的對稱軸的左側(cè)時，由與

8、M關(guān)于對稱軸對稱，例6：如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，D為拋物線的項(xiàng)點(diǎn)，A（1，0），連結(jié)DA，DB，有DADB，且ABD的面積為1.（1）求這個拋物線的解析式；（2）連結(jié)CD，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得CDM為以CD為底的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。分析：由畫圖可知，存在、分別在對稱軸的兩側(cè)，由題可知垂直平分CD，但不能用的高中的知識求解。在求M1時，過M1分別作軸的垂線，但無法找到兩垂線段之間的數(shù)量關(guān)系，而且還沒有用好這個條件。過作y軸的平行線，分別過C，D作這條平行線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，可設(shè)，在RtM1CE中和RtM1DF中，由勾股定

9、理得 ，又，所以有與聯(lián)立可求得簡解：當(dāng)M在拋物線對稱軸右側(cè)時，解得（舍），四、當(dāng)要求拋物線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)時，兩個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都有關(guān)系，用兩個字母表示這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，同時代入拋物線的解析式中，聯(lián)立成為方程組而求解。例7：拋物線經(jīng)過A（1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與軸交于另一點(diǎn)B。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，過點(diǎn)E（1，1）作EFx軸于點(diǎn)F，將AEF繞平面內(nèi)的某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后得MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F點(diǎn)對應(yīng)），使點(diǎn)M、N在拋物線上，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)。分析：由中心對稱的知識可知：MNAE，NQEF，MQAF，畫出圖形MNQ，如圖所示。MQAF2，EFNQ1，可

10、設(shè)同時代入解析式中，聯(lián)立即可得到。簡解：聯(lián)立得方程組為用加減消元法即可很快可得：，例8：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的項(xiàng)點(diǎn)A在軸上，與y軸交于點(diǎn)B（0，1），且。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線AB平移至EF，使EF2AB，E、F正好落在拋物線上，求E、F的坐標(biāo)。分析：過點(diǎn)E作軸的平行線，過點(diǎn)F作y軸的平行線，兩線交于H點(diǎn)。得FHEBOA，可設(shè)，代入解析式聯(lián)可求得簡解：由加減消元法可得以上通過實(shí)例介紹了求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的技巧和方法，即：一、利用直線和拋物線的解析式聯(lián)立求；二、用同一字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中；三、用兩個字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再找兩個等式聯(lián)立成為方程組的方法求，其中一個方程由拋物線的解析式轉(zhuǎn)化得到，另一個通過幾何手段得到