高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第8章　立體幾何課時(shí)規(guī)范練42　空間直線、平面的垂直關(guān)系

1、課時(shí)規(guī)范練42空間直線、平面的垂直關(guān)系基礎(chǔ)鞏固組1.(2021廣東珠海一模)已知,是兩個(gè)不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,下列條件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm,mC.,lD.lm,m答案:D解析:由,是兩個(gè)不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,知:對(duì)于選項(xiàng)A,lm,ln,m,n,則l與相交、平行或l,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,lm,m,則l與相交、平行或l,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,l,則l與相交、平行或l,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,lm,m,則由線面垂直的判定定理得l,故D正確.2.(2021河北滄州模擬)如圖,已知AB,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑,且ABCD,若該

2、圓柱的側(cè)面積是其上底面面積的23倍,則AB與平面BCD所成的角為()A.6B.4C.3D.512答案:C解析:如圖,連接AC,AD.設(shè)EF為圓柱下底面內(nèi)與CD垂直的直徑,記EFCD=H,連接AH,BH,由對(duì)稱(chēng)性可知:AHCD,BHCD,AHBH=H,CD平面ABH,設(shè)AMBH,垂足為M,則CDAM,CDBH=H,AM平面BCD,直線AB在平面BCD內(nèi)的射影為BM,易知點(diǎn)M在BH上,ABH為AB與平面BCD所成的角.2HFBF=23HF2,BF=3HF,tanABH=tanBHF=BFHF=3,ABH=BHF=3,AB與平面BCD所成的角為3.3.(2021安徽定遠(yuǎn)中學(xué)高三月考)在正方體ABCD

3、-A1B1C1D1中,給出下列四個(gè)推斷:A1C1AD1;A1C1BD;平面A1C1B平面ACD1;平面A1C1B平面BB1D1D.其中正確推斷的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,在中,由正方體的性質(zhì)可知AD1BC1,A1C1B即為異面直線A1C1與AD1所成的角,在A1C1B中顯然A1C1B=60,A1C1與AD1成60角,故錯(cuò)誤;在中,A1C1AC,ACBD,A1C1BD,故正確;在中,A1C1AC,AD1BC1,A1C1BC1=C1,ACAD1=A,A1C1平面A1C1B,BC1平面A1C1B,AC平面ACD1,AD1平面ACD1,平面A

4、1C1B平面ACD1,故正確;在中,A1C1B1D1,A1C1BB1,B1D1BB1=B1,B1D1平面BB1D1D,BB1平面BB1D1D,A1C1平面BB1D1D,又A1C1平面A1C1B,平面A1C1B平面BB1D1D,故正確.4.(2021陜西寶雞模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn),AB=2DF,PH為PAD中AD邊上的高.(1)證明:PH平面ABCD;(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積;(3)證明:平面EFC平面PAB.(1)證明:AB平面PAD,PH平面PAD,PHAB.又PHAD,

5、ADAB=A,PH平面ABCD.(2)解:E是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E到平面BCF的距離h=12PH=12.三棱錐E-BCF的體積V=13SBCFh=1312FCADh=161212=212.(3)證明:取PA的中點(diǎn)為G,連接DG,EG,PD=AD,DGPA,又AB平面PAD,平面PAD平面PAB.又平面PAD平面PAB=PA,DGPA,DG平面PAD,DG平面PAB.由點(diǎn)E,G是棱PB,PA的中點(diǎn),則EG12AB,又DF12AB,EGDF,DGEF,EF平面PAB.EF平面EFC,平面EFC平面PAB.5.(2021陜西西安中學(xué)二模)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是半圓弧上異

6、于C,D的點(diǎn).(1)證明:直線DM平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC平面PBD?說(shuō)明理由.(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為半圓弧上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.(2)解:當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),所以MCOP.因?yàn)镸C平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.綜合提升組6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,將

7、ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過(guò)程中()A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直C.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直答案:C解析:如圖,作AEBD,CFBD,依題意,得AB=1,BC=2,AE=CF=63,BE=EF=FD=33.A,假設(shè)存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直,BDAE,BD平面AEC.BDEC,這與BDCF矛盾,排除A.B,若存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直,則BC平面ACD,從而平面ACD平面BCD,即點(diǎn)A在底面BC

8、D上的射影應(yīng)位于線段CD上,這是不可能的,排除B.C,若存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直,則CD平面ABC,從而平面ABC平面BCD.取BC的中點(diǎn)M,連接ME,則MEBD,AEM就是二面角A-BD-C的平面角,此角顯然存在,即當(dāng)點(diǎn)A在底面上的射影位于BC的中點(diǎn)時(shí),直線AB與直線CD垂直,故C正確.D,由上所述,可排除D.故選C.7.(2021江蘇宿遷期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=PA=2,AB=1,E為PC的中點(diǎn).求證:(1)BEPD;(2)BE平面PAD;(3)平面PCD平面PAD.證明:(方法一)(1)如圖,取PD的中點(diǎn)F,連

9、接AF,EF,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以FEDC,且FE=12DC,又因?yàn)镈C=2AB,ABDC,所以FEAB,且FE=AB,所以四邊形ABEF是平行四邊形,所以BEAF.又因?yàn)镻A=AD,F為PD的中點(diǎn),所以AFPD,所以BEPD.(2)由(1)知BEAF,AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)镻A底面ABCD,所以PAAB.又因?yàn)锳DAB,PAAD=A,所以AB平面PAD.又因?yàn)锳BDC,所以DC平面PAD.又因?yàn)镈C平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(方法二)因?yàn)镻A底面ABCD,ADAB,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在

10、直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由題意可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1).(1)因?yàn)锽E=(0,1,1),PD=(0,2,-2),所以BEPD=0,所以BEPD.(2)因?yàn)锳D=(0,2,0),AP=(0,0,2),DC=(2,0,0),所以ADDC=0,APDC=0.又ADAP=A,所以DC=(2,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量.因?yàn)锽E=(0,1,1),所以BEDC=0.又BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)由(2)知DC為平面PAD的一個(gè)法向量,則DC平面PAD.又DC平面PCD,所以平面PCD平面

11、PAD.8.(2021河北衡水中學(xué)周測(cè))如圖,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分別為邊AB,AD的中點(diǎn).現(xiàn)將ADE沿DE折起,得四棱錐A-BCDE.(1)求證:EF平面ABC;(2)若平面ADE平面BCDE,求四面體FDCE的體積.(1)證明:如圖,取線段AC的中點(diǎn)M,連接MF,MB.因?yàn)镕,M為AD,AC的中點(diǎn),所以MFCD,且MF=12CD.在折疊前,四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點(diǎn),所以BECD,且BE=12CD.所以MFBE,且MF=BE.所以四邊形BEFM為平行四邊形,故EFBM.又EF平面ABC,BM平面ABC,所以EF平面ABC.(2)解:在折疊前,四邊形ABCD

12、為矩形,AD=2,AB=4,E為AB的中點(diǎn),所以ADE,CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.所以DEA=CEB=45,且DE=EC=22.又DEA+DEC+CEB=180,所以DEC=90,即DECE.又平面ADE平面BCDE,平面ADE平面BCDE=DE,CE平面BCDE,所以CE平面ADE,即CE為三棱錐C-EFD的高.因?yàn)镕為AD的中點(diǎn),所以SEFD=1212ADAE=1422=1,所以四面體FDCE的體積V=13SEFDCE=13122=223.創(chuàng)新應(yīng)用組9.(2021浙江寧波十校聯(lián)考)如圖所示,已知ABC與BCD所在平面互相垂直,BAC=60,BCD=90,AB=AC,CD=2BC,點(diǎn)P,Q分別在邊BD,CD上,沿直線PQ將PQD翻折,使D與A重合.(1)證明:ADPQ;(2)求直線AP與平面ABC所成角的正弦值.(1)證明:由題意可得AP=DP,AQ=DQ.取線段AD的中點(diǎn)R,連接PR,QR,顯然ADPR,ADQR.因?yàn)镻RQR=R,PR平面PQR,QR平面PQR,所以AD平面PQR,所以ADPQ.(2)解:設(shè)BC=2,則AB=AC=2,CD=4,BD=AD=25.由余弦定理得cosADB=